Proposition de TER.
Master 1 Informatique,
année 2006 - 2007.
Le problème du "Road Coloring".
- Titre:
Le problème du "Road Coloring".
- Encadrant:
Stéphane Bessy et Stéphan Thomassé.
- Parcours: ACR.
- Modules connexes:
Algorithmique (bonne maitrise) et éventuellement Calculabilité-complexité.
- Résumé:
Monsieur A donne rendez-vous à ses amis: B, C , D et E.
Pour cela il a peint les routes en rouge et bleu comme indiqué, et
a dit à chacun: "Prends la route Bleu, puis de nouveau la Bleu,
la Rouge, encore la Rouge, la Bleu puis finalement la Rouge et
tu seras arrivé."
On peut vérifier que chacun, suivant l'instruction donnée par
Monsieur A arrive bien à bon port.
Plus formellement, étant donné un graphe orienté D de degré sortant constant
2, une bonne coloration des arcs de D est une coloration de ses
arcs en 2 couleurs : rouge (noté R) et bleu (noté B) telle que chaque
sommet soit début d'un arc rouge et d'un arc bleu. On considère des
mots sur les deux lettres R et B. Appliquer un mot w sur un
sommet x du digraphe revient à se placer sur x et à
suivre lettre après lettre les arcs dont la couleur correspond à la
lettre courrante. Le sommet d'arrivée est appelé image de x
par w.
Dans l'exemple précédent, on a appliqué le mot BBRRBR à chacun des sommets.
Appliquer un mot w à un ensemble de sommets X revient
à appliquer w à chacun des sommets de X. L'ensemble des
images de ces sommets est appelé image de X par w.
Enfin, un mot w est dit contractant, si l'image
de V, ensemble de tous les sommets du graphe, par w est
constitué d'un seul sommet (ce qui est le cas sur l'exemple précédent).
La Conjecture du Problème de "Road Coloring" affirme que, à une
famille d'exception près, quelsoit
le digraphe D choisi au départ avec degré sortant constant, D
admet toujours une bonne coloration de ses arcs qui possède un mot contractant.
Cette Conjecture est ouverte depuis 1970. Elle est résolue dans le cas
où D possède un circuit de longueur un entier premier (O'Brien, 1981)
et aussi dans le cas où D est eulérien (Kari 2001).
Le but de ce TER est, d'une part, d'implémenter (de préférence
en C/C++) les deux cas de résolution connus ainsi que le calcul
d'invariants de graphes autour de cette question. D'autre part, il est
attendu de faire un état de l'art concernant le problème du Road
Coloring.