\title{Valeur de jeux 2*2 en stratégie mixte ou pure}

\language{fr}
\range{-5..5}
\author{Emeric Gioan}
\email{egioan@math.unice.fr}
\computeanswer{no}
\format{html}
\precision{100}

# definition aleatoire du jeu

\integer{rh=5}
\integer{rb=2}

\integer{a=randint(-\rb..\rh)}
\integer{b=randint(-\rh..\rb)}
\integer{c=randint(-\rh..\rb)}
\integer{d=randint(-\rb..\rh)}

\matrix{m=\a,\b
\c,\d}

# calcul de minmax et maxmin

\if{\a>\b}{\integer{ml1=\b}}{\integer{ml1=\a}}
\if{\c>\d}{\integer{ml2=\d}}{\integer{ml2=\c}}
\if{\ml1>\ml2}{\integer{maxmin=\ml1}}{\integer{maxmin=\ml2}}

\if{\a>\c}{\integer{mc1=\a}}{\integer{mc1=\c}}
\if{\b>\d}{\integer{mc2=\b}}{\integer{mc2=\d}}
\if{\mc1>\mc2}{\integer{minmax=\mc2}}{\integer{minmax=\mc1}}

#calcule valeur u et abcisse du point selle p

\if{\minmax=\maxmin}
{
\integer{selle=1}
\real{u=\minmax}
\real{p=1}
}
{
\integer\selle=0
\real{u=((\a)*(\d)-(\b)*(\c))/((\a)-(\b)+(\d)-(\c))}
\real{p=((\d)-(\c))/((\a)-(\b)+(\d)-(\c))}
}

#calcul des strategies dominantes d1=premiere strategie dominante, dm1=premiere strategie dominee

\if{(\a>=\b) and (\c>=\d)}{\text{d1=y2} \text{dm1=y1}
				\if{\b>=\d}{\text{d2=x1} \text{dm2=x2}}{\text{d2=x2} \text{dm2=x1} } }

\if{\a<\b and \c<\d}{\text{d1=y1} \text{dm1=y2}
				\if{\a>=\c}{\text{d2=x1} \text{dm2=x2}}{\text{d2=x2} \text{dm2=x1} }}

\if{\a>=\c and \b>=\d}{\text{d1=x1} \text{dm1=x2}
				\if{\b>=\a}{\text{d2=y1} \text{dm2=y2}}{\text{d2=y2} \text{dm2=y1} }}

\if{\a<\c and \b<\d}{\text{d1=x2} \text{dm1=x1}
				\if{\d>=\c}{\text{d2=y1} \text{dm2=y2}}{\text{d2=y2} \text{dm2=y1} }}

#definition des reponses au choix strategie pure ou pas

\if{\selle=1}{\text{br=oui} \text{mr=non}}{\text{br=non} \text{mr=oui}}

# definition de la solution

\if{\selle=1}
	{\text{t1=<B> ICI : </B> \d1 domine \dm1, puis \d2 domine \dm2, on a donc un point selle \d1,\d2 et la valeur du jeu est \minmax.}
	\text{t2=<B> ICI : </B> utiliser les stratégies mixtes ne sert à rien.}
	}
	{\text{t1=<B> ICI : </B> il n'y a pas de stratégie dominante pour X ni pour Y.}
	\text{t2=<B> ICI : </B> la valeur mixte <I> valm </I> est solution de : <I>valm=(\a) p +(\c) (1-p), valm=(\b) p +(\d) (1-p)</I>. Soit <I> valm=\u </I>.}
	}

#definition du dessin

\integer{r=pari(r=abs(\a); if(r<abs(\b), r=abs(\b)); if(r<abs(\c), r=abs(\c)); if(r<abs(\d), r=abs(\d)); r)}
\integer{rmin=-(\r)}
\integer{rmax=(\r)}

\text{repere=
xrange 0,1
yrange \rmin-0.5,\rmax+0.5
linewidth 1
line 0,0,1,0, black
}

\for{i=\rmin to \rmax}{
\text{repere=\repere 
line 0,\i,0.01,\i, black }
}

\for{i=\rmin to \rmax}{
\text{repere=\repere 
line 0.99,\i,1,\i, black }
}

\text{repere=\repere 
text black , 0.02,1, small, 1
text black , 0.02,-0.02, small, 0
text black , 0.98,-0.02, small, 1
}

\text{droites= }

\for{i=1 to 2}{
\matrix{col=column(\i,\m)}
\integer{v1=item(1,\col)}
\integer{v2=item(2,\col)}
\real{ytext=(\v2)+0.1*((\v1)-(\v2))}
\text{droites=\droites 
	line 0,\v2,1,\v1, blue
	text black, 0.04, \ytext, small, y\i
	}
}

\text{droites=\droites
	linewidth 2
 	line 0,\u,\p,\u, green
	text green, 0.15, \u, small, valm}

\text{dessin=
	\repere
	\droites}

# enonce

\statement{<U>Si vous ne savez pas répondre, vous pouvez consulter la solution illustrée en entrant une réponse quelconque</U>.<BR><BR>


Le tableau suivant donne les gains de X selon les stratégies de X (en lignes) et les stratégies de Y (en colonnes).<BR>
<BR>

<CENTER>\([\m])</CENTER>

<BR><BR>
Trouver la valeur du jeu en stratégie mixte.<BR>
Ce jeu a t'il une valeur en stratégie pure ?<BR>
Peut-on trouver sa valeur par élimination de stratégies dominées (au sens large) ?
<BR>

}

#questions

\answer{valeur}{\u}{type=numeric}

\choice{stratégie pure ?}{\br}{\mr}

\choice{élimination ?}{\br}{\mr}

#solution

\solution{<BR><BR>
<U> Dans le cas très particulier où <B> DEUX </B> joueurs ont chacun <B> DEUX </B> stratégies</U> : <BR><BR>
- Le jeu 2*2 a une valeur en stratégie pure si et seulement si il
peut être simplifié complètement par élimination de stratégies dominées (au sens large). 
Et lorsqu'il y une valeur en stratégie pure, elle est <I> toujours </I> égale à la valeur en stratégie mixte.<BR><BR>
\t1 <BR><BR>
- Si le jeu 2*2 n'a pas de valeur en stratégie pure,
sa valeur en stratégie mixte est donnée par l'ordonnée du point d'intersection des deux droites
(une pour chaque stratégie de Y) de gain de X en fonction de la proportion choisie entre ses deux stratégies.<BR><BR>
\t2 <BR><BR>
La valeur du jeu apparait en vert sur le dessin suivant.<BR>
\draw{200,200}{\dessin}
<BR>
} 