\title{Equilibres en stratégies dominantes}
\language{fr}
\range{-5..5}
\author{Emeric Gioan}
\email{egioan@math.unice.fr}
\computeanswer{no}
\format{html}
\precision{100}

#definition des paiements aleatoires

\integer{n=randint (2..3)}
\integer{m=randint (2..3)}
\integer{r=randint (1..2)}

\matrix{U=slib(matrix/random \n,\m, \r)}
\matrix{V=slib(matrix/random \n,\m, \r)}


#affichage de la matrice comme tableau HTML

\text{tableau=
<CENTER>
<TABLE BORDER=1 WIDTH=300>
}

\for{i=1 to \n}
	{
	\text{tableau=\tableau
		<TR>
		}
	\for{j=1 to \m}
		{
		\integer{u=pari(U=Mat([\U]);U[\i,\j])}
		\integer{v=pari(V=Mat([\V]);V[\i,\j])}
		\text{tableau=\tableau
		<TD><TABLE BORDER=0 WIDTH=100%>
<TR><TD></TD><TD><CENTER>\v</CENTER></TD></TR>
<TR><TD><CENTER>\u</CENTER></TD><TD></TD></TR>
</TABLE>
			}
		}
	\text{tableau=\tableau
		</TR>
		}
	}
\text{tableau=\tableau
</TABLE></CENTER>
}

#calcul des strategies dominantes de X

\text{pr_msg=
U=Mat([\U]);
V=Mat([\V]);
W=matrix(1,\n);
for(i=1, \n,
	W[1,i]=1;
	for(j=1, \n,
		for(k=1, \m,
			if(U[i,k]<U[j,k], W[1,i]=0);
			);
		);
	);
W}
\matrix{MDomX=pari(\pr_msg)}

#transformation en une liste texte

\text{DomX= }
\integer{nDomX=0}
\for{i=1 to \n}
	{ \integer{v=pari(M=Mat([\MDomX]);M[1,\i])}
	\if{\v=1}
{\integer{nDomX=\nDomX+1} 
\if{\nDomX>1}{\text{DomX=\DomX
,}}
\text{DomX=\DomX
\i}
}
}
	

#calcul des strategies dominantes de Y

\text{pr_msg=
U=Mat([\U]);
V=Mat([\V]);
W=matrix(1,\m);
for(i=1, \m,
	W[1,i]=1;
	for(j=1, \m,
		for(k=1, \n,
			if(V[k,i]<V[k,j], W[1,i]=0);
			);
		);
	);
W}
\matrix{MDomY=pari(\pr_msg)}

#transformation en une liste texte

\text{DomY= }
\integer{nDomY=0}
\for{i=1 to \m}
	{ \integer{v=pari(M=Mat([\MDomY]);M[1,\i])}
	\if{\v=1}
{\integer{nDomY=\nDomY+1} 
\if{\nDomY>1}{\text{DomY=\DomY
,}}
\text{DomY=\DomY
\i}
}
}

#liste des equilibres en strategies dominantes

\text{Dom=  }
\for{i=1 to \nDomX}
	{\for{j=1 to \nDomY}
		{
		\integer{u=item(\i,\DomX)}
		\integer{v=item(\j,\DomY)}
\if{\i=1 and \j=1}{}{
\text{Dom=\Dom
,
}
}
		\text{Dom=\Dom
			\u\v
			}
		}
	}

#cas vide

\if{\nDomX=0}{\text{DomX=vide}}
\if{\nDomY=0}{\text{DomY=vide}}
\if{\nDomX=0 or \nDomY=0}{\text{Dom=vide}}

#tableau solution

\text{tabsolD=
<CENTER>
<TABLE BORDER=1 WIDTH=300>
}

\for{i=1 to \n}
	{
	\text{tabsolD=\tabsolD
		<TR>
		}
	\for{j=1 to \m}
		{
		\integer{u=pari(U=Mat([\U]);U[\i,\j])}
		\integer{v=pari(V=Mat([\V]);V[\i,\j])}
		\integer{tx=pari(M=Mat([\MDomX]);M[1,\i])}
		\integer{ty=pari(M=Mat([\MDomY]);M[1,\j])}
		\if{\tx=1}{\text{colx=blue} \text{bx=<B>}\text{fbx=</B>}}{\text{colx=black}\text{bx=}\text{fbx=}}
		\if{\ty=1}{\text{coly=red}\text{by=<B>}\text{fby=</B>}}
{\text{coly=black}\text{by=}\text{fby=}}
		\if{\tx=1 and \ty=1}{\text{colcel=lightgrey}}{\text{colcel=white}}
		\text{tabsolD=\tabsolD
		<TD BGCOLOR=\colcel><TABLE BORDER=0 WIDTH=100%>
<TR><TD></TD><TD><CENTER><FONT COLOR=\coly>\by\v\fby</FONT></CENTER></TD></TR>
<TR><TD><CENTER><FONT COLOR=\colx>\bx\u\fbx</FONT></CENTER></TD><TD></TD></TR>
</TABLE>
			}
		}
	\text{tabsolD=\tabsolD
		</TR>
		}
	}
\text{tabsolD=\tabsolD
</TABLE></CENTER>
}


\statement{<U>Si vous ne savez pas répondre, vous pouvez consulter la solution illustrée en entrant une réponse quelconque</U>.<BR><BR>

Le tableau suivant donne les gains de X <FONT SIZE=2> (en bas à gauche de chaque case) </FONT>
et de Y <FONT SIZE=2> (en haut à droite de chque case) </FONT> selon les stratégies de X <FONT SIZE=2> (en lignes) </FONT> et les stratégies de Y <FONT SIZE=2> (en colonnes) </FONT>.<BR>
<BR>

\tableau<BR>
<BR>


Trouver les ensembles :<BR>
- de stratégies dominantes de X,<BR>
- de stratégies dominantes de Y,<BR> 
- d'équilibres en stratégies dominantes.<BR>
<BR>

<I> <U>MODE DE SAISIE</U>.<BR> Si un ensemble est vide, entrez <B>vide</B>.<BR>
Entrez la liste de stratégies de X ou de Y comme la liste de leurs numéros, <U>par exemple</U> : 1,2,3... ou vide.<BR>
Entrez la liste des couples (x,y) 
de stratégies x et y respectivement de X et Y comme une liste de couples de numéros xy <B>accolés</B>, <U>par exemple</U> : 11, 12, 23... ou vide.
</I>
<BR>
}
# \([\MDomX])<BR>
# DomX=\DomX<BR>
# nDomX=\nDomX<BR>
# \([\MDomY])<BR>
# DomY=\DomY<BR>
# nDomY=\nDomY<BR>
# dom=\Dom<BR>


\answer{stratégies dominantes de X}{\DomX}{type=set}
\answer{stratégies dominantes de Y}{\DomY}{type=set}
\answer{équilibres en stratégies dominantes}{\Dom}{type=set}


\solution{<BR>
Une stratégie d'un joueur est dominante lorsqu'il n'a pas
un (strictement) meilleur gain  en changeant de stratégie,
quelle que soit la stratégie de l'autre joueur.<BR>

Si un joueur a plusieurs stratégies dominantes, celles-ci 
doivent donc lui apporter
les mêmes gains quelle que soit la stratégie de l'autre joueur.<BR>

Un équilibre en stratégie dominante est un couple de stratégies dominantes pour chaque joueur.<BR>

\tabsolD

Dans le tableau ci-dessus,
les stratégies dominantes de X sont les lignes bleues,
les stratégies dominantes de Y sont les colonnes rouges,
et les équilibres en stratégies dominantes sont les cases grisées.


}