\title{Valeur de jeux en stratégie pure}
\language{fr}
\range{-5..5}
\author{Emeric Gioan}
\email{egioan@math.unice.fr}
\computeanswer{no}
\format{html}
\precision{100}

# matrice aleatoire

\integer{n=randint (2..4)}
\integer{m=randint (2..4)}
\integer{r=randint (1..4)}

\matrix{U=slib(matrix/random \n,\m, \r)}

#calculs minmax et maxmin

\matrix{initl=row(1,\U)}
\matrix{initc=column(1,\U)}

\text{pr_msg=
U=Mat([\U]);
minl=Mat([\initc]);
for(i=1, \n,
	minl[1,i]=U[i,1];
	for(j=1, \m,
		if(U[i,j]<minl[1,i], minl[1,i]=U[i,j]);
		);
	);
minl}
\matrix{minl=pari(\pr_msg)}

\text{pr_msg=
minl=Mat([\minl]);
tminl=matrix(\n,1,i,j,0);
for(i=1, \n,
	tminl[i,1]=minl[1,i];
	);
tminl}
\matrix{tminl=pari(\pr_msg)}

\text{pr_msg=
minl=Mat([\minl]);
maxmin=minl[1,1];
for(i=1, \n,
	if(minl[1,i]>maxmin, maxmin=minl[1,i]);
	);
maxmin
}
\integer{maxmin=pari(\pr_msg)}
	
\text{pr_msg=
U=Mat([\U]);
maxc=Mat([\initl]);
for(j=1, \m,
	maxc[1,j]=U[1,j];
	for(i=1, \n,
		if(U[i,j]>maxc[1,j], maxc[1,j]=U[i,j]);
		);
	);
maxc
}
\matrix{maxc=pari(\pr_msg)}

\text{pr_msg=
maxc=Mat([\maxc]);
minmax=maxc[1,1];
for(j=1, \m,
	if(maxc[1,j]<minmax, minmax=maxc[1,j]);
	);
minmax
}
\integer{minmax=pari(\pr_msg)}

#teste valeur et definition des bonnes reponses 

\if{\minmax=\maxmin}
{\text{br=oui} \text{mr=non} \text{textesol= minmax=maxmin=\minmax donc le jeu a la valeur \minmax en stratégie pure}}
{\text{br=non} \text{mr=oui}
\text{textesol= minmax>maxmin donc le jeu n'a pas de valeur en stratégie pure.}}

\matrix{res= "  ", \maxmin; \minmax, "  "}

#############################

\statement{ <U>Si vous ne savez pas répondre, vous pouvez consulter la solution illustrée en entrant une réponse quelconque</U>.<BR><BR>


Le tableau suivant donne les gains de X selon les stratégies de X (en lignes) et les stratégies de Y (en colonnes).<BR>
<BR><CENTER>\([\U])</CENTER><BR>
Calculer le gain maximal garanti de X (maxmin) et la perte minimale garantie de Y (minmax). <BR>
Le jeu a t'il une valeur en stratégie pure ?
<BR>

}

\answer{maxmin}{\maxmin}{type=integer}
\answer{minmax}{\minmax}{type=integer}
\choice{valeur en stratégie pure ?}{\br}{\mr}

############################

\solution{
<BR>
\([\U])\([\tminl])
<BR>
\([\maxc])\([\res])
<BR>
<BR>
Pour chaque stratégie de X on calcule le gain minimal de X en fonction des stratégies de Y (colonne de droite). Puis on calcule le maximum de cette colonne (maxmin).<BR>

<B> ICI : </B> maxmin =
\maxmin
<BR><BR>

Pour chaque stratégie de Y on calcule le gain maximal de X en fonction des stratégies de X (ligne du bas). Puis on calcule le minimum de cette ligne (minmax). <BR>

<B> ICI : </B> 
minmax =
\minmax
<BR><BR>

Le jeu a une valeur en stratégie pure si et seulement si minmax=maxmin. La valeur du jeu est alors minmax=maxmin.
<BR>

<B> ICI : </B> \textesol
<BR><BR>

<I> Remarque :</I> on peut aussi parfois simplifier le tableau par élimination des stratégies dominées (au sens large), car cela ne change pas la valeur éventuelle du jeu.
}