\title{Equilibres d'efficacité Pareto}
\language{fr}
\range{-5..5}
\author{Emeric Gioan}
\email{egioan@math.unice.fr}
\computeanswer{no}
\format{html}
\precision{100}

#definition des paiements aleatoires

\integer{n=randint (2..4)}
\integer{m=randint (2..4)}
\integer{r=randint (1..5)}

\matrix{U=slib(matrix/random \n,\m, \r)}
\matrix{V=slib(matrix/random \n,\m, \r)}


#affichage de la matrice comme tableau HTML

\text{tableau=
<CENTER>
<TABLE BORDER=1 WIDTH=300>
}

\for{i=1 to \n}
	{
	\text{tableau=\tableau
		<TR>
		}
	\for{j=1 to \m}
		{
		\integer{u=pari(U=Mat([\U]);U[\i,\j])}
		\integer{v=pari(V=Mat([\V]);V[\i,\j])}
		\text{tableau=\tableau
		<TD><TABLE BORDER=0 WIDTH=100%>
<TR><TD></TD><TD><CENTER>\v</CENTER></TD></TR>
<TR><TD><CENTER>\u</CENTER></TD><TD></TD></TR>
</TABLE>
			}
		}
	\text{tableau=\tableau
		</TR>
		}
	}
\text{tableau=\tableau
</TABLE></CENTER>
}

#calcul des equilibres de Pareto dans une matrice booleenne MP

\text{pr_msg=
U=Mat([\U]);
V=Mat([\V]);
P=Mat([\V]);
for(i=1, \n,
	for(j=1, \m,
		P[i,j]=1;
	 	for(k=1, \n,
			for(l=1, \m,
				if(  
( 
( (U[i,j]<U[k,l]) && (V[i,j]<=V[k,l]) ) 
||				
( (U[i,j]<=U[k,l]) && (V[i,j]<V[k,l]) )
), 
P[i,j]=0);
				);
			);
		);
	);
P}
\matrix{MP=pari(\pr_msg)}

#transformation en une liste texte

\integer{nP=0}
\text{P=  }
\for{i=1 to \n}
	{\for{j=1 to \m}
		{
		\integer{u=pari(MP=Mat([\MP]);MP[\i,\j])}
		\if{\u=1}
			{
				\if{\nP>0}{
					\text{P=\P
					,
					}
				}
			\integer{nP=\nP+1}
			\text{P=\P
				\i\j
				}
			}
		}
	}

#cas vide

\if{\nP=0}{\text{P=vide}}

#tableau solution

\text{tabsolP=
<CENTER>
<TABLE BORDER=1 WIDTH=300>
}

\for{i=1 to \n}
	{
	\text{tabsolP=\tabsolP
		<TR>
		}
	\for{j=1 to \m}
		{
		\integer{u=pari(U=Mat([\U]);U[\i,\j])}
		\integer{v=pari(V=Mat([\V]);V[\i,\j])}
		\integer{tcel=pari(M=Mat([\MP]);M[\i,\j])}
		\if{\tcel=1}{\text{bcel=<B>}\text{fbcel=</B>}\text{colcel=lightgrey}}{\text{bcel=}\text{fbcel=}\text{colcel=white}}
		\text{tabsolP=\tabsolP
		<TD BGCOLOR=\colcel><TABLE BORDER=0 WIDTH=100%>
<TR><TD></TD><TD><CENTER><FONT>\bcel\v\fbcel</FONT></CENTER></TD></TR>
<TR><TD><CENTER><FONT>\bcel\u\fbcel</FONT></CENTER></TD><TD></TD></TR>
</TABLE>
			}
		}
	\text{tabsolP=\tabsolP
		</TR>
		}
	}
\text{tabsolP=\tabsolP
</TABLE></CENTER>
}



\statement{<U>Si vous ne savez pas répondre, vous pouvez consulter la solution illustrée en entrant une réponse quelconque</U>.<BR><BR>


Le tableau suivant donne les gains de X <FONT SIZE=2> (en bas à gauche de chaque case) </FONT>
et de Y <FONT SIZE=2> (en haut à droite de chque case) </FONT> selon les stratégies de X <FONT SIZE=2> (en lignes) </FONT> et les stratégies de Y <FONT SIZE=2> (en colonnes) </FONT>.<BR>
<BR>

\tableau<BR>
<BR>


Trouver les équilibres d'efficacité Pareto (ou optimums Pareto) de ce jeu.
<BR>
<BR>
<BR>

<I> <U>MODE DE SAISIE</U>.<BR> Si l'ensemble est vide, entrez <B>vide</B>.<BR>
Entrez un couple (x,y) 
de stratégies x et y respectivement de X et Y comme un couple de numéros xy <B>accolés</B>, <U>par exemple</U> : 12 pour (1,2).<BR>
Entrez la liste des couples (x,y) comme une liste, <U>par exemple</U> : 11, 12, 23... ou vide.
</I>
<BR>
<BR>
}


\answer{TOUS les équilibres d'efficacité Pareto}{\P}{type=set}



\solution{<BR>

Un équilibre d'efficacité Pareto est un couple de stratégies 
tel qu'il n'existe pas un autre couple de stratégies 
augmentant strictement le gain
d'un des joueurs sans baisser le gain de l'autre.<BR>
<BR>
\tabsolP
<BR>
Dans le tableau ci-dessus, les cases grisées sont les optimums Pareto.
Ces cases ne sont pas comparables entre elles, au sens où changer de case grisée se fait toujours au détriment d'un des deux joueurs.
Par contre, pour chaque autre case, il existe un case grisée qui améliore les gains des deux joueurs à la fois.<BR><BR>

<I>Remarque</I> :
un équilibre d'efficacité Pareto (ou optimum Pareto) traduit le fait
que les joueurs <I>coopèrent</I>, contrairement aux équilibres de Nash
pour lesquels chaque joueur cherche à améliorer son gain individuellement.<BR>
 
}