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Normal-just$0o20 Exemple-just$x x *!   x 7 g  "h  d  PikC\^d}Yrt4MO:SUn   K d f h   - F H o   " ; = Q j l x ::::::::::::::::::::::::::l,B$؀;ldG7$@0( C D!_ B S  ?x CGACqsxz*3NW ^ a t y CGxy9:hjxzjow|%.:a'0 DE4Q%*W^ + F H  Z ] t t u v y mlulat ulat:Chapitre 4mlulat ulat:Chapitre 4mlulat ulat:Chapitre 4mlulat ulat:Chapitre 4mlulat ulat:Chapitre 4mlulat ulat:Chapitre 4mlulat ulat:Chapitre 4ml8ulat ulat:lments temporaires:Enreg. auto. deChapitre 4ml8ulat ulat:lments temporaires:Enreg. auto. deChapitre 4ml8ulat ulat:lments temporaires:Enreg. auto. deChapitre 4  hhOJQJo(@s s $hs s ( x P@PP @GTimes New Roman5Symbol3 Arial3Times;Helvetica"q+f"+b^Y0ds ;  Chapitre 4mlmlhP5CöԷcolEnKB=VJe] FDocument Microsoft WordNB6WWord.Document.8U`Jx킱nF6{1VU:kx#eìE)9Iedǽ&C #Z[Jȱ0"@PΙ.Y.\À.gPʏ@k2:z_mG.E9rW@\m vc>4Fb\zRLME/Y*L&);Xp [2(9aV_exg .o>+83i gahcWu˔k2¡qHI Qxoa[} Z.-Mwh3!DE}%/1N9rg?_B˙bb0 cEaJ#A^M\%{VuG[Sh~l)gnc|a"FG5CJOJ**PJQJ**mH 0J  8;NOR       / 0 g ()*237Ibcefopqstu1@1**1,*1.*0@1,0B@0(,0@00 @00181:1081:1B81:1X81 :1:1 :1X:1L;1;1;1;1>1*<0>1@1@1B14@1@0D1D1(D1fD1D1F1F0000101212101@00B@0404140*60!@0!@0!@0!@GTimes New Roman5Symbol3 Arial3Times; [4@4NormalCJOJPJQJmH D@DTitre 1$<@&5CJKHOJQJ>@>Titre 2$<@&56OJQJ8@8Titre 3$<@&OJQJ2A@2Police par dfaut&/`&Liste 7&o&Exemple2o2Normal-centered.o". 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G I r   J c e g x::::::::::::::::::::::::::l,B$؀;ldGj@0( C D!_ B S  ?x  8Aox,.D F & (   ^ g 'ty~js$%,.luFQ :yjo0 1 : G d e p    L r  & ( @ *,ttuvyml'ulat ulat:Documents:langages Chapitre 4ml'ulat ulat:Documents:langages Chapitre 4ml'ulat ulat:Documents:langages Chapitre 4ml'ulat ulat:Documents:langages Chapitre 4ml'ulat ulat:Documents:langages Chapitre 4ml'ulat ulat:Documents:langages Chapitre 4ml'ulat ulat:Documents:langages Chapitre 4ml>ulat ulat:lments temporaires:Enreg. auto. delangages Chapitrml>ulat ulat:lments temporaires:Enreg. auto. delangages Chapitrml'ulat ulat:Documents:langages Chapitre 4  hhOJQJo(@++K+ C$Eƀb'"FG5CJOJ**PJQJ**mH 0J  8;NOR       / 0 g (*+,-56:Lefhirstvwx1@1**1,*1.*0@1,0B@0(,0@00 @00181:1081:1B81:1X81 :1:1 :1X:1L;1;1;1;1>1*<0>1@1@1B14@1@0D1D1(D1fD1D1F1F0H1H0000101212101@00B@0404140*60!@0!@0!@0!@GTimes New Roman5Symbol3 Arial3Times;Helvetica"q+fɛ+py 0d)  Chapitre 4mlmluation.3  Cette soustraction est asymtrique.  INCORPORER Equation.3  Valeur absolue abs(x,y) = |x-y| =  INCORPORER Equation.3  Signe  IN ՜.+,D՜.+,< hp  'lirmme)   Chapitre 4 Titre 6> _PID_GUID'AN{23003F00-7F22-11D2-90FE-0005029BCFC0}ͬL² _6E<\Ozgtfb`sɋځC%>T>dÕfұD/qTS SgisfDLP$ Oh+'0P    $08@H' Chapitre 4 hapmlplpNormalemlm112Microsoft Word 8.0d@L@V&@f~'  (. A!"#$% (. A!"#$% ~js$%,.luFQ :yjo0 1 : G d e p    L r  & ( @ g jbjb TJt]888$<,$0^&2   ! ! ! xzzzzzz,xF!  ! ! ! A88   AAA! $8R  x668888! xAAX"xy0zE pChapitre 4 Fonctions rcursives Les fonctions de base Annulation Null(x) = 0  INCORPORER Equation.3  Successeur S(x) = x + 1  INCORPORER Equation.3  Projection  INCORPORER Equation.3  Par exemple:  INCORPORER Equation.3  Ce sont les seules fonctions de base dont nous avons besoin. Les schmas qui permettent dengendrer dautres fonctions sont au nombre de 2. Substitution (composition gnralise) Soit deux fonctions f(x) et g(x). h(x) = f(g(x)) est dit tre obtenue par substitution. Plus gnralement, si f est une fonction m arguments f(x1, xm), il faut m fonctions n arguments g1(x1, xm), gm(x1, xm) afin de dfinir h: h(x1, xn) = f(g1(x1, xm), gm(x1, xm)) Schma de rcursion primitive Le schma de rcursion primitive permet de dfinir une fonction par rcurence. Par exemple:  INCORPORER Equation.3  Calcul de Somme(3,2): Somme(3,2) = Somme (3, 1+1) = Somme (3, 1) + 1 = Somme (3, 0 + 1) +1 = Somme (3, 0 + 1) +1 = (Somme (3, 0) + 1) +1 = (Somme (3, 0) + 1) +1 = (3 + 1) +1 = (4) +1 = (4) +1 Pour avoir un schma gnral, il faut: 1 fonction avec 1 argument de moins; 1 fonction avec 1 argument de plus. Soit h(x1, xn-1) une fonction n-1 arguments et g(x1, xn, xn+1) une fonction n+1 arguments. Alors la fonction f n arguments est dfinie par le schma de rcursion primitive:  INCORPORER Equation.3  La somme devient alors:  INCORPORER Equation.3  Quelles fonctions h et g peut-on trouver afin que la dfinition de Somme corresponde sa dfinition par rcurrence? Il faut dabord avoir h(x) = x donc h(x) =  INCORPORER Equation.3 . Ensuite, il faut que g(x, y, Somme(x,y)) = Somme(x,y) + 1 = S(Somme(x,y)). Donc g(x,y,z) =  INCORPORER Equation.3 . Cette fonction est obtenue par substitution. Donc on obtient:  INCORPORER Equation.3  La classe des fonctions rcursives primitives est la plus petite classe des fonctions engendre par le schma de rcursion primitive, et contenant les fonctions de base. Quelques fonctions rcursives primitives Somme(x, y) = x + y  INCORPORER Equation.3  Produit(x, y) = x *y  INCORPORER Equation.3  La fonction  INCORPORER Equation.3 est une fonction 3 arguments obtenue par substitution. Puissance(x, y) = xy  INCORPORER Equation.3  Factorielle(x) = x! = 1*2*3*4**(x-1)*x = INCORPORER Equation.3   INCORPORER Equation.3  Dcrmentation(x) Q|~[gF0 p\XUeAcWQnRl"z}I"Dg>1?Jg `n)b Ķ 0_D;QϨ"(x) = INCORPORER Equation.3   INCORPORER Equation.3  Soustraction  INCORPORER Equation.3  Cette soustraction est asymtrique.  INCORPORER Equation.3  Valeur absolue abs(x,y) = |x-y| =  INCORPORER Equation.3  Signe  IN 4 5 M N O P : ; S T U V n o        K L d e f g {ib ji<EHU#j*9 CJOJPJQJUVmH ja7EHU#j?9 CJOJPJQJUVmHH* j^3EHU#j19 CJOJPJQJUVmH j].EHU#j9 CJOJPJQJUVmH j)EHU#j9 CJOJPJQJUVmH j$EHU#j9 CJOJPJQJUVmH jU&g h i >@BDHJz|~(*Z\^`}v jUEHU jPEHU#jh9 CJOJPJQJUVmH jLEHU#j9 CJOJPJQJUVmH jHEHU#j9 CJOJPJQJUVmH j'DEHU#j9 CJOJPJQJUVmH j?EHU#j?9 CJOJPJQJUVmH jU'h FH&(bd6ab*(,*,d6ab  o      Chapitre 4mlml  'lirmme)   Chapitre 4 Titre 6> _PID_GUID'AN{23003F00-7F22-11D2-90FE-0005029BCFC0}ͬL² _6E<\Ozgtfb ՜.+,D՜.+,< hp  'lirmme)   Chapitre 4 Titre 6> _PID_GUID'AN{23003F00-7F22-11D2-90FE-0005029BCFC0}ͬL² _6E<\Ozgtfb`sɋځC%>T>dÕfұD/qTS SgisfDLP$ Oh+'0P    $08@H' Chapitre 4 hapmlplpNormalemlm111Microsoft Word 8.0d@ @V&@<\  entre en fonction, alors nous avons la classe des fonctions rcurives. g jbjb Hq]888$<^^^^,$& BDDDDDD,6*Fp  p88  08R  B668888 B""BoyN^ :Chapitre 4 Fonctions rcursives Les fonctions de base Annulation Null(x) = 0  INCORPORER Equation.3  Successeur S(x) = x + 1  INCORPORER Equation.3  Projection  INCORPORER Equation.3  Par exemple:  INCORPORER Equation.3  Ce sont les seules fonctions de base dont nous avons besoin. Les schmas qui permettent dengendrer dautres fonctions sont au nombre de 2. Substitution (composition gnralise) Soit deux fonctions f(x) et g(x). h(x) = f(g(x)) est dit tre obtenue par substitution. Plus gnralement, si f est une fonction m arguments f(x1, xm), il faut m fonctions n arguments g1(x1, xm), gm(x1, xm) afin de dfinir h: h(x1, xn) = f(g1(x1, xm), gm(x1, xm)) Schma de rcursion primitive Le schma de rcursion primitive permet de dfinir une fonction par rcurence. Par exemple:  INCORPORER Equation.3  Calcul de Somme(3,2): Somme(3,2) = Somme (3, 1+1) = Somme (3, 1) + 1 = Somme (3, 0 + 1) +1 = Somme (3, 0 + 1) +1 = (Somme (3, 0) + 1) +1 = (Somme (3, 0) + 1) +1 = (3 + 1) +1 = (4) +1 = (4) +1 Pour avoir un schma gnral, il faut: 1 fonction avec 1 argument de moins; 1 fonction avec 1 argument de plus. Soit h(x1, xn-1) une fonction n-1 arguments et g(x1, xn, xn+1) une fonction n+1 arguments. Alors la fonction f n arguments est dfinie par le schma de rcursion primitive:  INCORPORER Equation.3  La somme devient alors:  INCORPORER Equation.3  Quelles fonctions h et g peut-on trouver afin que la dfinition de Somme corresponde sa dfinition par rcurrence? Il faut dabord avoir h(x) = x donc h(x) =  INCORPORER Equation.3 . Ensuite, il faut que g(x, y, Somme(x,y)) = Somme(x,y) + 1 = S(Somme(x,y)). Donc g(x,y,z) =  INCORPORER Equation.3 . Cette fonction est obtenue par substitution. Donc on obtient:  INCORPORER Equation.3  La classe des fonctions rcursives primitives est la plus petite classe des fonctions engendre par le schma de rcursion primitive, et contenant les fonctions de base. Quelques fonctions rcursives primitives Somme(x, y) = x + y  INCORPORER Equation.3  Produit(x, y) = x *y  INCORPORER Equation.3  La fonction  INCORPORER Equation.3 est une fonction 3 arguments obtenue par substitution. Puissance(x, y) = xy  INCORPORER Equation.3  Factorielle(x) = x! = 1*2*3*4**(x-1)*x = INCORPORER Equation.3   INCORPORER Equation.3  Dcrmentation(x) Q|~[gF0 p\XUeAcWQnRl"z}I"Dg>1?Jg `n)b Ķ 0_D;QϨ"(x) = INCORPORER Equation.3   INCORPORER Equation.3  Soustraction  INCORPORER Equation.3  Cette soustraction est asymtrique.  INCORPORER Equation.3  Valeur absolue abs(x,y) = |x-y| =  INCORPORER Equation.3  Signe  IN 4 5 M N O P : ; S T U V n o        K L d e f g {ib ji<EHU#j*9 CJOJPJQJUVmH ja7EHU#j?9 CJOJPJQJUVmHH* j^3EHU#j19 CJOJPJQJUVmH j].EHU#j9 CJOJPJQJUVmH j)EHU#j9 CJOJPJQJUVmH j$EHU#j9 CJOJPJQJUVmH jU&2345lm*0,t0 24.6t84< >ABDFH} jlEHU#j69 CJOJPJQJUVmH jgEHU#jY9 CJOJPJQJUVmH j`cEHU#j9 CJOJPJQJUVmH j_EHU#j9 CJOJPJQJUVmH jU j [EHU#jV9 CJOJPJQJUVmH*(. A!"#$% : Automates de Turing et Fonctions rcursives Passage du fonction rcursive un automate de Turing g h i >@BDHJz|~(*Z\^`}v jUEHU jPEHU#jh9 CJOJPJQJUVmH jLEHU#j9 CJOJPJQJUVmH jHEHU#j9 CJOJPJQJUVmH j'DEHU#j9 CJOJPJQJUVmH j?EHU#j?9 CJOJPJQJUVmH jU'h FH&(bd6ab*(,*,d6ab  o     2345lm*0,t0 24.6t84< >ABDF} jlEHU#j69 CJOJPJQJUVmH jgEHU#jY9 CJOJPJQJUVmH j`cEHU#j9 CJOJPJQJUVmH j_EHU#j9 CJOJPJQJUVmH jU j [EHU#jV9 CJOJPJQJUVmH)d une Exercices (. A!"#$%  (. A!"#$% : Automates de Turing et Fonctions rcursives Automates de Turing *,,,.,0,0000t0 24444,6.6t84<> >ABDDFAutomates de Turing *,,,.,0,0000t0 24444,6.6t84<> >ABDDFHHHLa caractristique d une fonction rcursive vient du fait desss qu elles sont mcanisables et donc qu elles reprsentent une classe calculable en machine. On peut facilement imaginer une machine de Turing qui ralise les fonctions de base et une machine qui partir de machines connues ralise les schmas de rcursion et de substituion. t Ces fonctions ne sont pas trop complexe lorsque seulement un paramtre entre dans la rcursion. Elles sont appeles fonctions rcursives primitives. s Lorsque l on dfinit un schma de rcursion o plusieurs paramtres ne sont pas trop complexe lorsque seulement un paramtre entre dans la rcursion. Elles sont appeles fonctions rcursives primitives. s Lorsque l on dfinit un schma de rcursion o plusieurs paramtres entre en fonction, alors nous avons la classe des fonctions rcurives.