<!doctype html public "-//w3c//dtd html 4.0 transitional//en"> <html> <head>    <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1">    <meta name="GENERATOR" content="Microsoft FrontPage 4.0">    <title>Les Points de Lagrange. Didactique. </title> </head> <body text="#000000" bgcolor="#FFFFCC" link="#0000EE" vlink="#0080FF" alink="#FF0000">  <p>&nbsp;</p> <p>&nbsp;</p> <p>  <center><b><font size=+2 color="#FF0000" face="Comic Sans MS"> Les points de LAGRANGE - Etude didactique.</font></b></center></p> <p align="center"><font face="Comic Sans MS" color="#800000" size="3">Description - Position - Calcul de L1 - Calcul de L2</font></p> <p align="center"><font face="Comic Sans MS" color="#800000" size="3">Annexe 1 : <a href="file:///D:/3-Multimania1/Fransyl/lagrange/cruithne.htm">Cruithne, l'astrode compagnon de la Terre</a></font></p> <p align="center"><font face="Comic Sans MS" color="#800000" size="3">Annexe 2 : <a href="lagr-courrier.htm"> Les points de Lagrange dans le systme solaire</a></font></p> <hr width="30%"> <p>&nbsp;</p> <p><font face="Comic Sans MS">Au 16i&egrave;me et 17i&egrave;me si&egrave;cle, les c&eacute;l&egrave;bres Copernic, Tycho Brah&eacute;, Kepler et Newton comprirent et d&eacute;crivirent les lois fondamentales de la m&eacute;canique c&eacute;leste et de la gravitation. Puis au 18i&egrave;me si&egrave;cle le math&eacute;maticien Joseph Louis Lagrange d&eacute;duisit math&eacute;matiquement qu'un couple d'astres en interaction gravitationnelle (par exemple le Soleil et la Terre) poss&eacute;dait dans son voisinage 5 zones ou points d'&eacute;quilibre, qu'on nomma les points de Lagrange. Le sch&eacute;ma ci-dessous montre les emplacements des 5 points de Lagrange du couple Terre-Soleil.</font>  </p>  <p>&nbsp; <div align="center">   <center>   <table border="0" width="100%">     <tr>       <td width="281" valign="middle" align="center"><img border="1" src="lagr05color.gif" width="281" height="251"></td>       <td><font face="Comic Sans MS">Trois sont instables, il s'agit de L1, L2 et L3 situ&eacute;s sur l'axe Terre-Soleil. Un objet plac&eacute; sur un de ces points sera dans un &eacute;quilibre pr&eacute;caire (comme lorsqu'on met une balle au sommet d'une vasque renverse) au bout de quelques temps il tendra &agrave; s'en &eacute;carter et d&eacute;rivera dans une orbite solaire ou terrestre.</font> <br><font face="Comic Sans MS">Les deux autres, L4 et L5, sont stables (imaginons cette fois la mme balle  l'intrieur d'une vasque) et sont situ&eacute;s r&eacute;ciproquement aux sommets de deux triangles &eacute;quilat&eacute;raux ayant comme base commune le segment Soleil-Terre.</font> <br><font face="Comic Sans MS">Les points L3, L4 et L5, &eacute;tant sur l'orbite terrestre il est relativement facile de les positionner g&eacute;om&eacute;triquement.</font> <br><font face="Comic Sans MS">L3 est diam&eacute;tralement oppos&eacute; &agrave; la Terre donc en permanence &agrave; 1 UA (Unit&eacute; Astronomique)&nbsp; derri&egrave;re le Soleil.</font> <br><font face="Comic Sans MS">L4 et L5 sont aux sommets des triangles &eacute;quilat&eacute;raux par cons&eacute;quent L4 se situe sur l'orbite terrestre &agrave; 1 UA en avant de la Terre, tandis que L5 se situe &agrave; 1 UA en arri&egrave;re de la Terre.</font>        </td>     </tr>   </table>   </center> </div>  <p>&nbsp; <div align="center">   <center>   <table border="0" width="100%">     <tr>       <td><font face="Comic Sans MS">Tout comme les courbes de niveaux         permettent de visualiser le relief sur une carte gographique, les         quipotentielles des lobes de Roche permettent de voir le         &quot;relief&quot; gravitationnel dans l'environnement des astres. Sur         la figure ci-contre nous retrouvons tous les lments du schma         prcdent, associs  ces quipotentielles lesquelles sont         reprsentes en lignes marrons, tandis que les points de Lagrange sont         en bleu. On constate que des lignes quipotentielles se referment         autour de L4 et L5 qui se trouvent ainsi  l'intrieur d'une zone         close, d'o la stabilit qui en rsulte. La situation de L1, L2 et L3         est diffrente puisque leurs zones respectives sont         &quot;ouvertes&quot; avec plusieurs chappatoires possibles, d'o le         phnomne d'instabilit.</font></td>       <td width="280"><img border="1" src="eq-pot01b.gif" width="279" height="271"></td>     </tr>   </table>   </center> </div> <blockquote> <p align="left"><b><font color="#FF6600" face="Comic Sans MS" size="5">Comment calculer la position de L1 ?</font></b> </blockquote> <p><font face="Comic Sans MS">La position de L1 est plus d&eacute;licate &agrave; d&eacute;finir.</font> <p><font face="Comic Sans MS">Consid&eacute;rons dj la situation o&ugrave; un corps de masse faible gravite autour d'un autre corps de masse importante selon une orbite circulaire ou quasi-circulaire, comme c'est le cas de la Terre autour du Soleil. Cela nous permet de simplifier le probl&egrave;me:</font> <br><font face="Comic Sans MS">&nbsp;&nbsp; - d'une part en estimant que le centre de gravit&eacute; du Soleil et le centre de gravit&eacute; du couple Soleil-Terre sont confondus,</font> <br><font face="Comic Sans MS">&nbsp;&nbsp; - et d'autre part en n&eacute;gligeant occasionnellement la masse de la Terre dans les formules lorsque cela ne fausse pas le r&eacute;sultat outre mesure.</font> <br>&nbsp;&nbsp; <table BORDER=0 CELLPADDING=3 COLS=2 WIDTH="100%" > <tr> <td WIDTH="333"><img border="1" src="lagr31b.gif" width="333" height="263"></td>  <td ALIGN=LEFT VALIGN=TOP><font face="Comic Sans MS">Une fa&ccedil;on de voir les choses est de consid&eacute;rer que notre objet (la Terre) est dans une situation d'&eacute;quilibre entre la force d'attraction que le Soleil exerce sur elle et la force centrifuge engendr&eacute;e par le mouvement circulaire de sa r&eacute;volution solaire comme le sch&eacute;ma suivant le montre.</font></td> </tr> </table>  <p><font face="Comic Sans MS">Math&eacute;matiquement cet &eacute;quilibre est repr&eacute;sent&eacute; par l'&eacute;quation suivante </font>(formule simplifi&eacute;e)<font face="Comic Sans MS">:</font> <table BORDER=0 COLS=2 WIDTH="100%" > <tr> <td> <table BORDER=0 CELLPADDING=2 COLS=3 WIDTH="370" > <tr ALIGN=CENTER VALIGN=CENTER> <td ALIGN=RIGHT VALIGN=CENTER WIDTH="150"><nobr><font color="#3333FF"><font size=+1>Force d'attraction du Soleil</font></font></nobr></td>  <td ALIGN=CENTER VALIGN=CENTER WIDTH="20"><font color="#FF6600"><font size=+1>=</font></font></td>  <td ALIGN=LEFT WIDTH="100"><nobr><font color="#00CC00"><font size=+1>Force centrifuge</font></font></nobr></td> </tr>  <tr> <td ALIGN=RIGHT><font color="#3333FF"><font size=+1>&nbsp;G * M / D</font></font><font color="#0000EE"><b><sup>2</sup></b></font></td>  <td ALIGN=CENTER VALIGN=CENTER><font color="#FF6600"><font size=+1>=</font></font></td>  <td><font size=+1><font color="#FF6600">&nbsp;</font><font color="#00CC00">V</font></font><b><sup><font color="#00CC00">2</font></sup></b><font color="#00CC00"> / D</font></td> </tr>  <tr> <td ALIGN=RIGHT VALIGN=CENTER><font size=+1><font color="#FF6600">&nbsp;</font><font color="#3333FF">terme <b>(A)</b></font></font></td>  <td ALIGN=CENTER VALIGN=CENTER><font color="#FF6600"><font size=+1>=</font></font></td>  <td><font color="#00CC00"><font size=+1>terme <b>(B)</b></font></font></td> </tr> </table> </td>  <td><font size=-1>o&ugrave; on a :</font> <br><font size=-1>G : constante de gravitation universelle</font> <br><font size=-1>M : masse du Soleil en kg</font> <br><font size=-1>D : distance Terre-Soleil en m&egrave;tres</font> <br><font size=-1>V : vitesse de la Terre en m/s/s</font></td> </tr> </table>  <p><b><font size=+1><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000">Premier terme </font></font><font color="#3333FF">(A)</font><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000">:</font></font></font></b><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000">force de gravitation ou attraction solaire</font></font> <br><font color="#3333FF"><font size=+1>G * M / D</font></font><font color="#0000EE"><b><sup>2</sup></b><font size=+1>&nbsp;</font></font><font size=+1> =&nbsp; 6,67E-11&nbsp; *&nbsp; 1,989E+30&nbsp; /&nbsp; (150E+9)</font><font color="#0000EE"><b><sup>2</sup></b><font size=+1></font></font><font size=+1>&nbsp; =&nbsp; 0,0059 m/s/s</font><font color="#FF6600"><font size=+1>&nbsp; </font></font><b><font color="#3333FF"><font size=+2>(A)</font></font></b> <br>&nbsp; <table BORDER CELLPADDING=10 COLS=1 WIDTH="100%" BGCOLOR="#FFCC99" > <tr> <td>C'est la m&ecirc;me formule qui nous permet de calculer la pesanteur &agrave; la surface terrestre, dans ce cas : <br>G&nbsp; *&nbsp; Masse de la Terre en kg&nbsp; /&nbsp; (Rayon de la Terre en m&egrave;tres)^<b><sup>2</sup></b> <br>6,67E-11&nbsp; *&nbsp; 5,974E+24&nbsp; /&nbsp; 6371000^<sup>2</sup>&nbsp; =&nbsp; 9,8 m/s/s&nbsp; (en terme d'acc&eacute;l&eacute;ration cette valeur correspond &agrave; 1 g)</td> </tr> </table>  <p><b><font size=+1><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000">Second terme </font></font><font color="#00CC00">(B)</font><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000">:</font></font></font></b><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000">force centrifuge</font></font> <br><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000">Carr&eacute; de la vitesse de l'objet&nbsp; /&nbsp; distance de cet objet &agrave; son axe de rotation.</font></font> <br><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000">Dans le cas de la Terre en orbite autour du Soleil :</font></font> <br><font color="#00CC00"><font size=+1>V</font><b><sup>2</sup></b><font size=+1> / D&nbsp; =&nbsp; 29700</font><b><sup>2</sup></b>&nbsp; <font size=+1>/&nbsp; 150E+9</font><font size=+1>&nbsp; =&nbsp; 0,0059 m/s/s&nbsp;&nbsp;&nbsp; </font><b><font size=+2>(B)</font></b></font> <br>&nbsp; <table BORDER CELLPADDING=10 COLS=2 WIDTH="100%" BGCOLOR="#FFCC99" > <tr> <td>Lorsque l'on attache un objet &agrave; une ficelle et qu'on le fait tourner en tenant l'autre extr&eacute;mit&eacute; de la ficelle &agrave; la main, c'est la force centrifuge qui tend la ficelle d&egrave;s que l'on atteint une certaine vitesse de rotation. <br>Avec une ficelle de <b>1 m&egrave;tre</b>,&nbsp; <br><b>1)&nbsp;</b> si l'objet fait un tour en 1 seconde la force centrifuge est de : <br><font color="#FF6600"><font size=+1>V</font><b><sup>2</sup></b><font size=+1> / D = (2 * Pi)</font><b><sup>2</sup></b><font size=+1>&nbsp; /&nbsp; 1 =&nbsp; 39,5 m/s/s&nbsp; </font></font><font color="#000000">soit prs de 4 fois la pesanteur terrestre, ce qui explique pourquoi la ficelle reste parfaitement tendue lorsque l'objet passe en haut &agrave; la verticale de la main.</font> <br><font color="#000000"><b>2)&nbsp;</b> si l'objet fait un tour en 2 secondes la force centrifuge est de :</font> <br><font color="#FF6600"><font size=+1>V</font><b><sup>2</sup></b><font size=+1> / D = (Pi)</font><b><sup>2</sup></b><font size=+1>&nbsp; /&nbsp; 1 =&nbsp; 9,9 m/s/s&nbsp; </font></font><font color="#000000">soit tr&egrave;s l&eacute;g&egrave;rement sup&eacute;rieure &agrave; la pesanteur, lorsque l'objet passe &agrave; la verticale de la main les deux forces, pesanteur et centrifuge, sont pratiquement &eacute;quivalentes, la ficelle reste tendue mais ne supporte plus aucun effort de tension.</font> <br><font color="#000000"><b>3)&nbsp;</b> si l'objet ralenti encore et fait un tour en plus de deux secondes, la force centrifuge ne compensera plus la pesanteur et l'objet chutera lorsqu'il passera au-dessus de la main.</font></td>  <td width="125"><img SRC="centri02.gif" BORDER=1 height=220 width=124></td> </tr> </table>  <p><font color="#FF6600"><font face="Comic Sans MS">On constate bien que ces deux valeurs</font>&nbsp; </font><b><font color="#3333FF"><font size=+1>A</font></font></b><font color="#FF6600"><font face="Comic Sans MS"> et</font> </font><b><font color="#00CC00"><font size=+1>B</font></font></b><font face="Comic Sans MS"><font color="#FF6600"> sont &eacute;gales et c'est justement cette &eacute;galit&eacute; permanente des deux forces oppos&eacute;es qui est la particularit&eacute; d'une orbite circulaire. Dans une orbite elliptique l'une est sup&eacute;rieure &agrave; l'autre alternativement.</font></font> <br>&nbsp; <p><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000">Maintenant consid&eacute;rons un objet de masse modeste plac&eacute; sur le point de Lagrange L1 du couple Terre-Soleil (sch&eacute;ma ci-dessous).</font></font> <table BORDER=0 CELLSPACING=5 CELLPADDING=0 COLS=2 WIDTH="100%" > <tr> <td width="281"><img border="1" src="lagr06color.gif" width="281" height="251"></td>  <td VALIGN=TOP><font face="Comic Sans MS">Cet objet &eacute;tant plus proche du Soleil que la Terre, il subira une attraction solaire un peu plus forte mais la force centrifuge sera plus faible du fait qu'en se dplaant &agrave; la m&ecirc;me vitesse angulaire que la Terre sa vitesse circulaire propre est nettement inf&eacute;rieure &agrave; celle de la Terre. Par contre il subira l'attraction de la Terre qui finalement assurera l'&eacute;quilibre des forces (sch&eacute;ma ci-dessous).</font></td> </tr> </table>  <center> <p><img SRC="lagr23.gif" BORDER=1 height=128 width=578> <br>&nbsp; <i><font size=-1>Pour la clart&eacute; du sch&eacute;ma les proportions des distances respectives ne sont pas respect&eacute;es</font></i></center>  <p><font face="Comic Sans MS"><a name="solution1"></a>La relation s'&eacute;crit <font size=-1>(formule simplifi&eacute;e)</font>:</font> <br>&nbsp; <table BORDER=0 WIDTH="550" > <tr ALIGN=CENTER VALIGN=CENTER> <td WIDTH="100"><nobr><font color="#3333FF"><font size=+1>Attraction du Soleil</font></font></nobr></td>  <td WIDTH="20"><b><font color="#FF6600"><font size=+1>=</font></font></b></td>  <td WIDTH="90"><nobr><font color="#00CC00"><font size=+1>Force centrifuge</font></font></nobr></td>  <td WIDTH="20"><b><font color="#FF6600"><font size=+1>+</font></font></b></td>  <td WIDTH="100"><nobr><font color="#CC33CC"><font size=+1>Attraction de la Terre</font></font></nobr></td> </tr>  <tr ALIGN=CENTER VALIGN=CENTER> <td><b><font color="#3333FF"><font size=+1>G * M / R<sup>2</sup></font></font></b></td>  <td><b><font color="#FF6600"><font size=+1>=</font></font></b></td>  <td><b><font color="#00CC00"><font size=+1>V<sup>2</sup> / R&nbsp;</font></font></b></td>  <td><b><font color="#FF6600"><font size=+1>+</font></font></b></td>  <td><b><font color="#CC33CC"><font size=+1>G * m / r<sup>2</sup></font></font></b></td> </tr>  <tr ALIGN=CENTER VALIGN=CENTER> <td><font color="#3333FF"><font size=+1>terme (A)</font></font></td>  <td><b><font color="#FF6600"><font size=+1>=</font></font></b></td>  <td><font color="#00CC00"><font size=+1>terme (B)</font></font></td>  <td><b><font color="#FF6600"><font size=+1>+</font></font></b></td>  <td><font color="#CC33CC"><font size=+1>terme (C)</font></font></td> </tr> </table>  <table BORDER=0 CELLSPACING=0 CELLPADDING=0 COLS=2 WIDTH="100%" > <tr> <td ALIGN=RIGHT WIDTH="20%"><tt><font color="#000000">o&ugrave; on a :&nbsp;</font></tt></td>  <td><tt><font color="#000000">G = constante de Gravitation</font></tt></td> </tr>  <tr> <td></td>  <td><tt><font color="#000000">M = masse du Soleil</font></tt></td> </tr>  <tr> <td></td>  <td><tt><font color="#000000">m = masse de la Terre</font></tt></td> </tr>  <tr> <td></td>  <td><tt><font color="#000000">R = distance L1-Soleil</font></tt></td> </tr>  <tr> <td></td>  <td><tt><font color="#000000">r = distance L1-Terre</font></tt></td> </tr>  <tr> <td></td>  <td><tt><font color="#000000">D = distance Soleil-Terre</font></tt></td> </tr> </table>  <p><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000">Dans le cas envisag&eacute; ici, le second terme </font></font><b><font color="#00CC00">V<sup>2</sup> / R<font face="Times New Roman,Times">&nbsp;</font></font></b><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000"> peut s'&eacute;crire apr&egrave;s d&eacute;veloppement:</font></font><font color="#00CC00"><b>R * G * M / D<sup>3</sup></b></font>&nbsp; <a href="lagr04.htm">(voir dtails)</a><br> <font face="Comic Sans MS">Puis on peut remplacer </font><b><font color="#3333FF">R</font></b><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000"> par son &eacute;quivalent </font></font><b><font color="#3366FF">(D - r)</font></b> <br><font face="Comic Sans MS"><font color="#000000">On a alors :</font></font> <br><b><font size=+1><font face="Times New Roman,Times"><font color="#FF6600">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  </font></font><font color="#3333FF">G * M / (D - r)<sup>2</sup></font><font color="#FF6600">&nbsp;&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp;&nbsp; </font><font color="#00CC00">(D - r) * G * M / D<sup>3</sup>&nbsp;</font><font color="#FF9900"> +&nbsp;&nbsp; </font><font color="#CC33CC">G * m / r<sup>2</sup></font></font></b> <p><font face="Comic Sans MS">En <a href="lagr02.htm">solution</a> nous obtenons : distance L1-Terre,&nbsp;&nbsp; r&nbsp; = 1 492 000 Kms</font> <br><font face="Comic Sans MS">Le point L1 se trouve donc a 1 centi&egrave;me de la distance Terre-Soleil, ou encore &agrave; peu pr&egrave;s 4 fois plus loin que l'orbite de la Lune.</font> <blockquote> <p><b><font color="#FF6600" face="Comic Sans MS" size="5">Comment calculer la position de L2 ?</font></b> </blockquote> <p><font color="#000000" face="Comic Sans MS">De nouveau consid&eacute;rons un objet de masse modeste plac&eacute;, non plus en L1, mais au point de Lagrange L2 du couple Terre-Soleil (sch&eacute;ma ci-dessous).</font> <div align="left">   <table border="0" width="100%">     <tr>       <td width="275">         <p align="center"><img border="1" src="lagr07color.gif" width="275" height="273"></td>       <td valign="middle" align="left"><font color="#000000" face="Comic Sans MS">Cet         objet circulant  la mme vitesse angulaire que la Terre sa vitesse         circulaire est donc suprieure  celle d'un objet isol gravitant sur         une orbite identique. En consquence il subit une force centrifuge         galement suprieure, laquelle sera quilibre par l'attraction         solaire cumule  l'attraction terrestre comme le montre le schma         ci-dessous.</font></td>     </tr>   </table> </div> <p align="center"><img border="1" src="lagr25d.gif" width="583" height="155"><br> <center><i><font size=-1>Pour la clart&eacute; du sch&eacute;ma les proportions des distances respectives ne sont pas respect&eacute;es</font></i></center>  <p align="left">&nbsp;  <p><font face="Comic Sans MS"><a name="solution2"></a>La relation s'&eacute;crit <font size=-1>(formule simplifi&eacute;e)</font>:</font> <br>&nbsp; <table BORDER=0 WIDTH="550" > <tr ALIGN=CENTER VALIGN=CENTER> <td WIDTH="100"><nobr><font size=+1 color="#0000EE">Attraction du Soleil</font></nobr></td>  <td WIDTH="20"><font size=+1 color="#FF9900"><b>+</b></font></td>  <td WIDTH="100"><nobr><font size=+1 color="#FF00FF">Attraction de la Terre</font></nobr></td>  <td WIDTH="20"><b><font size="+1" color="#FF6600">=</font></b></td>  <td WIDTH="90"><nobr><font size=+1 color="#00CC00">Force centrifuge</font></nobr></td>  </tr>  <tr ALIGN=CENTER VALIGN=CENTER> <td><b><font size=+1 color="#0000EE">G * M / R<sup>2</sup></font></b></td>  <td><font size=+1 color="#FF9900"><b>+</b></font></td>  <td><b><font size=+1 color="#FF00FF">G * m / r<sup>2</sup></font></b></td>  <td><b><font size="+1" color="#FF6600">=</font></b></td>  <td><b><font size=+1 color="#00CC00">V<sup>2</sup> / R&nbsp;</font></b></td>  </tr>  <tr ALIGN=CENTER VALIGN=CENTER> <td><font size=+1 color="#0000EE">terme (A)</font></td>  <td><font size=+1 color="#FF9900"><b>+</b></font></td>  <td><font size=+1 color="#FF00FF">terme (C)</font></td>  <td><b><font size="+1" color="#FF6600">=</font></b></td>  <td><font size=+1 color="#00CC00">terme (B)</font></td>  </tr> </table>  <table BORDER=0 CELLSPACING=0 CELLPADDING=0 COLS=2 WIDTH="100%" > <tr> <td ALIGN=RIGHT WIDTH="20%"><tt><font color="#000000">o&ugrave; on a :&nbsp;</font></tt></td>  <td><tt><font color="#000000">G = constante de Gravitation</font></tt></td> </tr>  <tr> <td></td>  <td><tt><font color="#000000">M = masse du Soleil en kilogramme</font></tt></td> </tr>  <tr> <td></td>  <td><tt><font color="#000000">m = masse de la Terre en kilogramme</font></tt></td> </tr>  <tr> <td></td>  <td><tt><font color="#000000">R = distance L1-Soleil en mtres</font></tt></td> </tr>  <tr> <td></td>  <td><tt><font color="#000000">r = distance L1-Terre en mtres</font></tt></td> </tr>  <tr> <td></td>  <td><tt><font color="#000000">D = distance Soleil-Terre en mtres</font></tt></td> </tr> </table>  <p align="left"><font color="#000000">Tout comme dans le cas prcdent, le troisime terme </font><b><font color="#00CC00">V^<sup>2</sup> / R<font face="Times New Roman,Times">&nbsp;</font></font></b><font color="#000000"> peut s'&eacute;crire apr&egrave;s d&eacute;veloppement:</font><b><font color="#00CC00">R * G * M / D^<sup>3</sup></font></b> <br><font color="#000000">Par contre la valeur de </font><b><font color="#3333FF">R</font></b><font color="#000000">  changer, son &eacute;quivalent est maintenant </font><b><font color="#3366FF">(D + r) </font></b> <br><font color="#000000">On a alors :</font> <br><b><font size=+1><font color="#FF6600">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  </font><font color="#3333FF">G * M / (D + r)<sup>2</sup></font><font color="#FF6600">&nbsp;&nbsp;&nbsp; +&nbsp;&nbsp;&nbsp; </font><font color="#00CC00">(D + r) * G * M / D<sup>3</sup>&nbsp;</font><font color="#FF9900">&nbsp;&nbsp; =&nbsp;&nbsp;&nbsp; </font><font color="#CC33CC">G * m / r<sup>2</sup></font></font></b> <font color="#000000" face="Comic Sans MS"> <br><br> </font>&nbsp;<font face="Comic Sans MS">En <a href="lagr03.htm">solution</a> nous obtenons : distance L2-Terre,&nbsp;&nbsp; r&nbsp; = 1 502 000 Km</font> <br><font face="Comic Sans MS">Comparativement au point L1, la distance  la Terre du point L2 est suprieure de seulement 10 000 Km</font>  <p align="left">&nbsp; <div align="center">   <center>   <table border="1" width="90%" cellpadding="8" bgcolor="#FFCC99" bordercolor="#996633">     <tr>       <td width="100%"><font face="Comic Sans MS">Note: Cette page web ayant un         but didactique, le problme a t simplifi au maximum en         considrant le cas idal o les trois objets gravitent dans la mme         plan avec une orbite circulaire (ou considre circulaire). D'autre         part, les formules ont t parfois simplifies galement. Nanmoins         la dmarche et les rsultats donnent une ide relativement proche de         la ralit.</font></td>     </tr>   </table>   </center> </div> <p align="left"><font face="Comic Sans MS" size="3">Annexe 1 : <a href="cruithne.htm">Cruithne, l'astrode compagnon de la Terre</a></font><p align="left"><font face="Comic Sans MS" size="3">Annexe 2 : <a href="lagr-courrier.htm">Les points de Lagrange dans le systme solaire</a></font><p align="left"><font face="Comic Sans MS" size="3">Lien : <a href="http://dess-s2.obspm.fr/~rondi/3c/menu.htm">http://dess-s2.obspm.fr/~rondi/3c/menu.htm</a><br> La page web de Sylvain Rondi qui complte judicieusement cette premire approche. Avec au sommaire:</font><font face="Comic Sans MS" size="4"> </font><font face="Comic Sans MS" size="2">Historique- Un peu de thorie - Stabilit en L4: tude ralise- Applications: Les troyens; existence, comparaison - Les troyens: approfondissement...</font><p align="left">&nbsp; <hr> <p align="center"><font size="4"><a href="../index.html">Retour sommaire</a></font></p> <p>&nbsp; </body> </html>  </pre></xmp></noscript><script language="javascript" src="http://ads.multimania.lycos.fr/ad/test_frame_size.js"></script> <script language="javascript"> if (!AD_clientWindowSize()) {         document.write("<NOSC"+"RIPT>"); } </script>  <script type="text/javascript" src="http://ads.multimania.lycos.fr/ad/ad.php?cat=technology&mkw=&CC=fr&ord=3e9bf825&adpref="></script> 
