<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//IETF//DTD HTML 2.0//EN"> <!--Converted with LaTeX2HTML 96.1 (Feb 5, 1996) by Nikos Drakos (nikos@cbl.leeds.ac.uk), CBLU, University of Leeds --> <HTML> <HEAD> <TITLE>Polyn&#244;mes de Lagrange</TITLE> <META NAME="description" CONTENT="Polyn&#244;mes de Lagrange"> <META NAME="keywords" CONTENT="poly"> <META NAME="resource-type" CONTENT="document"> <META NAME="distribution" CONTENT="global"> <LINK REL=STYLESHEET HREF="poly.css"> </HEAD> <BODY BGCOLOR="#FFFFFF" LANG="EN">  <A NAME="tex2html335" HREF="node21.html"><IMG WIDTH=37 HEIGHT=24 ALIGN=BOTTOM ALT="next" SRC="http://telesun.insa-lyon.fr/latex2html/icons//next_motif.gif"></A> <A NAME="tex2html333" HREF="node18.html"><IMG WIDTH=26 HEIGHT=24 ALIGN=BOTTOM ALT="up" SRC="http://telesun.insa-lyon.fr/latex2html/icons//up_motif.gif"></A> <A NAME="tex2html327" HREF="node19.html"><IMG WIDTH=63 HEIGHT=24 ALIGN=BOTTOM ALT="previous" SRC="http://telesun.insa-lyon.fr/latex2html/icons//previous_motif.gif"></A> <A NAME="tex2html337" HREF="node1.html"><IMG WIDTH=65 HEIGHT=24 ALIGN=BOTTOM ALT="contents" SRC="http://telesun.insa-lyon.fr/latex2html/icons//contents_motif.gif"></A>  <BR> <B> Next:</B> <A NAME="tex2html336" HREF="node21.html">Erreur d'interpolation</A> <B>Up:</B> <A NAME="tex2html334" HREF="node18.html">Interpolation</A> <B> Previous:</B> <A NAME="tex2html328" HREF="node19.html">D&#233;finition</A> <BR> <P> <H2><A NAME="SECTION00042000000000000000">Polyn&#244;mes de Lagrange</A></H2> <P> C'est la m&#233;thode la plus connue car elle correspond &#224; la base d'interpolation la plus simple&nbsp;:  <IMG WIDTH=86 HEIGHT=36 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline2187" SRC="img193.gif"  > , <I>i.e.</I> la base des mon&#244;mes. <P> Le polyn&#244;me de Lagrange  <IMG WIDTH=12 HEIGHT=14 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline2189" SRC="img194.gif"  >  est sans erreur pour le support d'interpolation. C'est &#224; dire que nos <I>n</I>+1 contraintes sont de la forme&nbsp;:   <IMG WIDTH=120 HEIGHT=32 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline2193" SRC="img195.gif"  > . Apr&#232;s r&#233;solution du syst&#232;me d'&#233;quations d&#233;coulant de ces contraintes, on obtient&nbsp;:  <IMG WIDTH=222 HEIGHT=101 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap2219" SRC="img196.gif"  >  <P> Compte tenu des contraintes choisies, le polyn&#244;me obtenu est le seul satisfaisant ces contraintes. <P> Cette formulation, si elle est explicite, n'en ait pas moins un peu complexe &#224; mettre en oeuvre. D'une part, on ne retrouve pas la forme classique d'un polyn&#244;me (les  <IMG WIDTH=13 HEIGHT=18 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline2197" SRC="img197.gif"  >  ne sont pas explicites). D'autre part, seuls les d&#233;nominateurs des polyn&#244;mes  <IMG WIDTH=11 HEIGHT=28 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline2199" SRC="img198.gif"  >  sont pr&#233;-calculables ce qui induit un co&#251;t non n&#233;gligeable lors de l'interpolation. En effet, la complexit&#233; de l'&#233;valuation de  <IMG WIDTH=47 HEIGHT=32 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline2201" SRC="img199.gif"  >  est  <IMG WIDTH=48 HEIGHT=34 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1751" SRC="img64.gif"  > . <P> Exemple: <UL><LI> degr&#233; 1: on connait  <IMG WIDTH=58 HEIGHT=32 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline2205" SRC="img200.gif"  >  et  <IMG WIDTH=58 HEIGHT=32 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline2207" SRC="img201.gif"  > . Le polyn&#244;me d'interpolation de Lagrange  <IMG WIDTH=46 HEIGHT=32 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline2209" SRC="img202.gif"  >  est une droite. <P> <IMG WIDTH=363 HEIGHT=21 ALIGN=BOTTOM ALT="displaymath2179" SRC="img203.gif"  > <P> avec <P> <IMG WIDTH=390 HEIGHT=40 ALIGN=BOTTOM ALT="displaymath2180" SRC="img204.gif"  > <P><LI> degr&#233; 2: on connait  <IMG WIDTH=58 HEIGHT=32 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline2205" SRC="img200.gif"  > ,  <IMG WIDTH=58 HEIGHT=32 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline2207" SRC="img201.gif"  >  et  <IMG WIDTH=58 HEIGHT=32 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline2215" SRC="img205.gif"  > . Le polyn&#244;me d'interpolation de Lagrange  <IMG WIDTH=46 HEIGHT=32 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline2217" SRC="img206.gif"  >  est une parabole. <P> <IMG WIDTH=408 HEIGHT=21 ALIGN=BOTTOM ALT="displaymath2181" SRC="img207.gif"  > <P> avec <P> <IMG WIDTH=723 HEIGHT=48 ALIGN=BOTTOM ALT="displaymath2182" SRC="img208.gif"  > <P></UL><BR> <HR> <P><ADDRESS> <I>Jean-Michel JOLION <BR> Fri Sep 10 13:28:20 METDST 1999</I> </ADDRESS> </BODY> </HTML> 
