<HTML> <!--This file created 19:45  29/01/2002 by Claris Home Page version 3.0--> <HEAD>    <TITLE>Lagrange</TITLE>    <META NAME=GENERATOR CONTENT="Microsoft FrontPage 5.0">    <X-CLARIS-WINDOW TOP=0 BOTTOM=593 LEFT=0 RIGHT=1012>    <X-CLARIS-TAGVIEW MODE=minimal> </HEAD> <BODY BGCOLOR="#FFFFFF"> <CENTER><FONT SIZE="+4" COLOR="#336666"><B>LAGRANGE Joseph Louis, Comte de-<BR> fran&ccedil;ais, 1736-1813 </B></FONT></CENTER>  <P> <IMG SRC="../jpeg/Lagrange.jpg" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=left hspace=4 width="158" height="232"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">N&eacute; &agrave; Turin (Italie), il y enseigna les math&eacute;matiques d&egrave;s l'&acirc;ge de 19 ans &agrave; l'&Eacute;cole d'artillerie. Il connut </FONT><A HREF="Euler.html"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">Euler</FONT></A><FONT SIZE="+1" FACE="Times"> et d'</FONT><A HREF="Alembert.html"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">Alembert</FONT></A><FONT SIZE="+1" FACE="Times">, s'installa &agrave;</FONT><FONT SIZE="+1"> Berlin (o&ugrave; il pr&eacute;sida l'Acad&eacute;mie des sciences, &agrave; la suite de </FONT><A HREF="Euler.html"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">Euler</FONT></A><FONT SIZE="+1">) et revint &agrave; Paris en 1787 &agrave; l'invitation de Louis XVI. Il fut anobli par Napol&eacute;on. Encourag&eacute; dans ses d&eacute;buts par d'</FONT><A HREF="Alembert.html"><FONT SIZE="+1">Alembert</FONT></A><FONT SIZE="+1">, sa contribution est essentielle en</FONT></P>  <UL>    <LI><FONT SIZE="+1">Arithm&eacute;tique</FONT></LI>     <LI><FONT SIZE="+1">Alg&egrave;bre : &eacute;quations    alg&eacute;briques et resolution approch&eacute;e;</FONT></LI>     <LI><A HREF="Leibniz.html#diff"><FONT SIZE="+1">Equations    diff&eacute;rentielles</FONT></A><FONT SIZE="+1"> et aux    </FONT><A HREF="#equ"><FONT SIZE="+1">d&eacute;riv&eacute;es    partielles</FONT></A><FONT SIZE="+1">;</FONT></LI>     <LI><A HREF="../Anx3/int_elli.html"><FONT SIZE="+1">Int&eacute;grales    elliptiques</FONT></A><FONT SIZE="+1">;</FONT></LI>     <LI><A HREF="BernoulliJK.html#cv"><FONT SIZE="+1">calcul des    variations</FONT></A><FONT SIZE="+1">, m&eacute;canique    c&eacute;leste.</FONT></LI>     <LI><FONT SIZE="+1">Th&eacute;orie des fonctions r&eacute;elles et    complexes; </FONT></LI> </UL>  <P><FONT SIZE="+1">Dans sa <I>M&eacute;canique analytique</I> (1788), il explique les perturbations des orbites plan&eacute;taires en appliquant &agrave; la th&eacute;orie newtonienne les principes math&eacute;matiques du </FONT><A HREF="BernoulliJK.html#cv"><FONT SIZE="+1">calcul des variations</FONT></A><FONT SIZE="+1">.</FONT></P>  <P><FONT SIZE="+1">Lagrange &eacute;tudiera tout particuli&egrave;rement l'orbite lunaire et expliquera ses perturbations, appel&eacute;es <I>librations</I>, ce qui lui valut le prix de l'Acad&eacute;mie des sciences (1764)</FONT><FONT SIZE="+1" FACE="Times" COLOR="#990000">. </FONT><FONT SIZE="+1" FACE="Times">La plus &eacute;tonnante de ces perturbations est le fait que la Lune pr&eacute;sente toujours &agrave; la Terre la m&ecirc;me face car il s'est &eacute;tabli entre notre plan&egrave;te et son satellite un &eacute;quilibre remarquable : la Lune tourne autour de la Terre dans exactement le m&ecirc;me temps qu'elle tourne sur elle-m&ecirc;me.</FONT><FONT SIZE="+1"> </FONT></P>  <P><FONT SIZE="+1"><A NAME=3c></A></FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300">Probl&egrave;me des 3 corps :</FONT><FONT SIZE="+1"> L'&eacute;tude du trio Terre-Lune-Soleil est un cas concret d'un probl&egrave;me fameux, dont </FONT><A HREF="Euler.html"><FONT SIZE="+1">Euler</FONT></A><FONT SIZE="+1"> est &agrave; la source, dit, dans le cas g&eacute;n&eacute;ral,</FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"> <I>probl&egrave;me des n corps</I></FONT><FONT SIZE="+1">, consistant &agrave; &eacute;tudier les trajectoires de n corps c&eacute;lestes en interactions dans l'espace. </FONT><A HREF="Newton.html"><FONT SIZE="+1">Newton</FONT></A><FONT SIZE="+1">, par sa th&eacute;orie de la gravitation universelle, apportera la solution au cas </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300">n = 2</FONT><FONT SIZE="+1"> (conique). Pour</FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"> n = 3</FONT><FONT SIZE="+1"> (par exemple Terre-Lune-Soleil), le probl&egrave;me est d&eacute;j&agrave; beaucoup plus ardu. Outre Lagrange, d'</FONT><A HREF="Alembert.html"><FONT SIZE="+1">Alembert</FONT></A><FONT SIZE="+1">, </FONT><A HREF="../chrono2/condorcet.html"><FONT SIZE="+1">Condorcet</FONT></A><FONT SIZE="+1">, </FONT><A HREF="Laplace.html"><FONT SIZE="+1">Laplace</FONT></A><FONT SIZE="+1">, et </FONT><A HREF="../chrono2/Delauney.html"><FONT SIZE="+1">Delauney</FONT></A><FONT SIZE="+1"> apport&egrave;rent des solutions partielles par l'&eacute;tude de l'orbite lunaire.</FONT> <FONT SIZE="+1">Sur le plan th&eacute;orique, ce sont les fran&ccedil;ais </FONT><A HREF="../chrono2/chazy.html"><FONT SIZE="+1">Chazy</FONT></A><FONT SIZE="+1">, </FONT><A HREF="Poincare.html"><FONT SIZE="+1">Poincar&eacute;</FONT></A><FONT SIZE="+1"> et l'astronome finlandais Karl Frithiof </FONT><A HREF="../chrono2/sundman.html"><FONT SIZE="+1">Sundman</FONT></A><FONT SIZE="+1"> (1878-1949) qui r&eacute;soudront ce probl&egrave;me : syst&egrave;me de 9 &eacute;quations diff&eacute;rentielles du second ordre aux d&eacute;riv&eacute;es partielles!</FONT></P>  <P><FONT SIZE="+1"> <IMG SRC="../cgif/main.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=bottom width="32" height="16">&nbsp;</FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#990000">Pour en savoir plus :</FONT><FONT SIZE="+1"> </FONT></P>  <UL>    <LI><A HREF="http://www.geom.umn.edu/~megraw/CR3BP_html/cr3bp_bg.html"><FONT SIZE="+1">http://www.geom.umn.edu/~megraw/CR3BP_html/cr3bp.html</FONT></A></LI> </UL>  <P><FONT SIZE="+1">  <HR>  <BR> Ses principaux trait&eacute;s math&eacute;matiques r&eacute;sident dans la <I>Th&eacute;orie des fonctions analytiques</I> (1797) et, l'ann&eacute;e suivante, dans la <I>R&eacute;solution des &eacute;quations num&eacute;riques</I>. <A NAME=ste></A>Lagrange simplifia les notations fonctionnelles en introduisant :</FONT>  <UL>    <LI><FONT SIZE="+1">le    </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300">symbole    f'(x)</FONT><FONT SIZE="+1"> pour la    </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>d&eacute;riv&eacute;e</I></FONT><FONT SIZE="+1">    d'une fonction -plus exactement f'<SUB>x</SUB> &agrave; cette    &eacute;poque- ainsi que f", f'''.</FONT></LI>     <LI><FONT SIZE="+1">si y est fonction de x, Lagrange propose la    notation simplifi&eacute;e y', y", etc.</FONT></LI>     <LI><FONT SIZE="+1">eu &eacute;gard, aux notations    pr&eacute;c&eacute;dentes, il appelle    </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>fonction    primitive</I></FONT><FONT SIZE="+1"> la fonction f dont    d&eacute;rivent f', f", etc., appel&eacute;es respectivement    </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>premi&egrave;re fonction    d&eacute;riv&eacute;e</I></FONT><FONT SIZE="+1">,    </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>seconde fonction    d&eacute;riv&eacute;e</I></FONT><FONT SIZE="+1">, etc.</FONT></LI> </UL>  <P><FONT SIZE="+1"> <IMG SRC="../cgif/main.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=bottom width="32" height="16">&nbsp;Par <I><font color="#008000">primitif</font></I>, on entendait &agrave; l'&eacute;poque -ind&eacute;pendamment de tout sens math&eacute;matique- ce qui n'est d&eacute;riv&eacute; d'aucun autre et par <I>d&eacute;riv&eacute;</I> (du latin <I>rivus</I> = <I>ruisseau</I>) celui qui provient d'un autre appel&eacute; primitif. On tourne un peu en rond, mais c'est clair... notons que le substantif <I><font color="#008000">primitive</font> </I>ne prendra sa place d&eacute;finitive qu'au d&eacute;but du 20&egrave; si&egrave;cle car on lui pr&eacute;f&eacute;rait jusqu'alors le terme <I><font color="#008000">int&eacute;grale</font></I> propos&eacute; par </FONT><A HREF="Leibniz.html"><FONT SIZE="+1">J</FONT></A><A HREF="BernoulliJean.html"><FONT SIZE="+1">ean Bernoulli</FONT></A><FONT SIZE="+1"> et </FONT><A HREF="Lhospital.html"><FONT SIZE="+1">l'Hospital</FONT></A><FONT SIZE="+1">. Aujourd'hui, on distingue entre l'int&eacute;grale <I><font color="#008000">d&eacute;finie</font></I> (int&eacute;grale "tout court", c'est un nombre) et l'int&eacute;grale <I>ind&eacute;finie</I> (primitive, c'est une fonction).</FONT></P>  <hr>  <P><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300">Notation <I>moderne</I> d'une suite num&eacute;rique</FONT><FONT SIZE="+1"> : on doit aussi &agrave; Lagrange la notation indic&eacute;e, dite aussi </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>indicielle</I></FONT><FONT SIZE="+1">,</FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"> (u<SUB>n</SUB>)</FONT><FONT SIZE="+1"> pour d&eacute;signer le terme de rang n d'une suite num&eacute;rique.</FONT></P>  <UL>    <LI><FONT SIZE="+1">Par exemple, la suite de nombres 1, 3, 5, 7 ,    ....des entiers impairs peut s'&eacute;crire : u<SUB>n</SUB> = 2n    + 1. On a u<SUB>o</SUB> = 1, u<SUB>3</SUB> = 7... On pouvait aussi    &eacute;crire v<SUB>n</SUB> = 2n - 1 &agrave; condition de    d&eacute;finir la suite pour n     <IMG SRC="../cgif/supegal.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=bottom width="7" height="7">    1 : v<SUB>1</SUB> = 1, v<SUB>3</SUB> = 5, ...</FONT></LI> </UL>  <CENTER> <IMG SRC="../cgif/oeil.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=bottom width="25" height="12"><FONT SIZE="+1">&nbsp;</FONT><A HREF="../anx3/suite_dd.html"><FONT SIZE="+1">Notion de suite et de s&eacute;rie &agrave; l'&eacute;poque de d'Alembert</FONT></A><FONT SIZE="+1">&nbsp;,&nbsp;</FONT><A HREF="Fibonacci.html"><FONT SIZE="+1">Suite de Fibonacci</FONT></A><FONT SIZE="+1"> </FONT>  <P><FONT SIZE="+1">  <HR>  </FONT></CENTER>  <p>  <FONT SIZE="+1">  <A NAME=deriv></A></FONT><FONT SIZE="+1" color="#CC3300">Principe de Lagrange :</FONT><FONT SIZE="+1"> utilisant la formule des accroissements finis, il lie le sens de variation d'une fonction au signe de sa d&eacute;riv&eacute;e. C'est aujourd'hui l'un des th&eacute;or&egrave;mes fondamentaux dans l'&eacute;tude des fonctions num&eacute;riques au lyc&eacute;e : si f est d&eacute;rivable sur &#93;a,b&#91;, alors f est respectivement croissante, constante ou d&eacute;croissante si f' est positive, nulle ou n&eacute;gative sur &#93;a,b&#91;. </FONT>  <CENTER>  <P><FONT SIZE="+1">  <HR>  </FONT></CENTER>  <P><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><A NAME=accfin></A>Formule des accroissements finis </FONT><FONT SIZE="+1">galement appel</FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"> th&eacute;or&egrave;me de la moyenne :<BR> </FONT><FONT SIZE="+1">soit f une fonction num&eacute;rique continue sur &#91;a,b&#93; et d&eacute;rivable sur &#93;a,b&#91;, il existe alors un r&eacute;el c de &#93;a,b&#91; tel que f(b) - f(a) = (b - a)f</FONT><FONT SIZE="1"> </FONT><FONT SIZE="+1">'(c) ou encore :</FONT></P>  <P align="center"><img border="0" src="chrono1_gif/Rolle2.gif" width="125" height="43"></P>  <P><FONT SIZE="+1">Ce th&eacute;or&egrave;me est une cons&eacute;quence du th&eacute;or&egrave;me de </FONT><A HREF="Rolle.html"><FONT SIZE="+1">Rolle</FONT></A><FONT SIZE="+1">.  En faisant jouer  f</FONT><FONT SIZE="1"> </FONT><FONT SIZE="+1">' le rle de  f, f(b) - f(a) apparat comme rsultat de l'intgrale de f</FONT><FONT SIZE="1"> </FONT><FONT SIZE="+1"> ' sur l'intervalle [a,b] et on peut alors noncer : si f est continue sur [a,b],  alors :</FONT></P>  <P align="center"><img border="0" src="chrono1_gif/Lagran3.gif" width="170" height="40"></P>  <P align="left"><font size="4"><img border="0" src="../cgif/main.gif" width="32" height="16"> Rappelons  ici que l'on appelle <i><font color="#CC0000">valeur moyenne</font></i> d'une  fonction numrique continue sur un intervalle [a,b], le nombre :</font></P>  <P align="center"><img border="0" src="chrono1_gif/Lagran4.gif" align="middle" width="100" height="44"></P>  <P><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><a name="inac"></a>In&eacute;galit&eacute; des accroissements finis :</FONT><FONT SIZE="+1"> dans les m&ecirc;mes conditions que pr&eacute;c&eacute;demment, si f ' v&eacute;rifie m <IMG SRC="../cgif/infegal.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT width="7" height="7">  f '<IMG SRC="../cgif/infegal.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT width="7" height="7"> M, alors pour tout couple (x,y) de &#91;a,b&#93;, on a :</FONT></P>  <p align="center"><img border="0" src="chrono1_gif/Lagrange.gif" width="133" height="43">  <p align="center"><font face="Times" color="#CC3300">Application    (exercice niveau Ter S)</font><FONT FACE="Times" COLOR="#CC3300"> :</FONT><FONT SIZE="+1"><a href="../anx1/conv_spir.html"><IMG SRC="../cgif/links2.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT BORDER=0 ALIGN=middle width="92" height="49"></a></FONT>   <font face="Times" color="#CC3300">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Formules de la moyenne (intgrale d'un    produit) :</font><A HREF="Bonnet.html"><FONT SIZE="+1"><IMG SRC="../cgif/links2.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT BORDER=0 ALIGN=middle width="92" height="49"></FONT></A>  <FONT SIZE="+1">  <HR>  <BR> </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#990000">Equation diff&eacute;rentielle de Lagrange : </FONT><FONT SIZE="+1">elle est de la forme : y = x.f(y') + g(y')</FONT>  <P><FONT SIZE="+1">  <HR>  </FONT> <p align="left"><FONT SIZE="+1"> <IMG SRC="../cgif/main.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=middle width="32" height="16"></FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#990000">    Pour en savoir plus : </FONT></p>  <UL>    <LI><FONT SIZE="+1" FACE="Times"><I>Trait&eacute; de    math&eacute;matiques sp&eacute;ciales</I></FONT><FONT FACE="Times">,    Tome 2<BR>    </FONT><FONT SIZE="+1" FACE="Times">G. Cagnac, E. Ramis, J.    Commeau<BR>    Masson &amp; cie, Paris - 1972</FONT></LI>     <LI><FONT SIZE="+1" FACE="Times"><I>Cours de    math&eacute;matiques</I>, </FONT><FONT FACE="Times">Tome 3<BR>    </FONT><FONT SIZE="+1" FACE="Times">J.M. arnaudi&egrave;s, H.    Fraysse<BR>    Dunod universit&eacute;, Paris - 1989</FONT></LI> </UL>  <P><FONT SIZE="+1">  <HR>  </FONT>  <P><A NAME=reg></A><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>M&eacute;thode des s&eacute;cantes</I></FONT><FONT SIZE="+1"> ou </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>d'interpolation</I></FONT><FONT SIZE="+1">, ou encore </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>de Lagrange</I></FONT><FONT SIZE="+1"> pour la r&eacute;solution approch&eacute;e des &eacute;quations num&eacute;riques, parfois dite </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>regula falsi</I></FONT><FONT SIZE="+1"> (<I>r&egrave;gle de fausse position) </I>:</FONT></P>  <CENTER>   <FONT COLOR="#CC3300">Etude et programmation : </FONT><A HREF="../anx2/meth_secantes.html"><FONT SIZE="+1"><IMG SRC="../cgif/links2.gif" WIDTH=105 HEIGHT=49 BORDER=0 ALIGN=middle></FONT></A> </CENTER>  <P><FONT SIZE="+1">Cette m&eacute;thode est &agrave; rapprocher de la </FONT><A HREF="../java_elem/meth_tangentes.html"><FONT SIZE="+1">m&eacute;thode de Newton</FONT></A><FONT SIZE="+1"> lorsque la tangente est remplac&eacute;e par une s&eacute;cante "proche" :</FONT></P>  <CENTER>   <FONT COLOR="#CC3300">M&eacute;thode de Newton approch&eacute;e : </FONT><A HREF="../java_elem/meth_tangentes.html"><FONT SIZE="+1"><IMG SRC="../cgif/links2.gif" WIDTH=105 HEIGHT=49 BORDER=0 ALIGN=middle></FONT></A><FONT SIZE="+1">   <HR>  </FONT></CENTER>  <P><FONT SIZE="+1"><A NAME=interp></A></FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>M&eacute;thode d'interpolation polynomiale de Lagrange :</I></FONT><FONT SIZE="+1"> soit f une fonction num&eacute;rique. </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>Interpoler</I></FONT><FONT SIZE="+1"> une fonction par un polyn&ocirc;me sur un intervalle &#91;a,b&#93;, c'est choisir une subdivision, non n&eacute;cessairement r&eacute;guli&egrave;re :</FONT></P>  <CENTER><FONT SIZE="+1">a = x<SUB>o </SUB>&lt; x<SUB>1</SUB> &lt; x<SUB>2</SUB> &lt; ... &lt; x<SUB>n</SUB> = b</FONT></CENTER>  <P><FONT SIZE="+1">et rechercher un polyn&ocirc;me P de degr&eacute; n, dit </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>polyn&ocirc;me d'interpolation</I></FONT><FONT SIZE="+1">, qui co&iuml;ncide avec f en chaque point x<SUB>i</SUB>. Lagrange a propos&eacute; le polyn&ocirc;me suivant dit </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300"><I>polyn&ocirc;me d'interpolation de Lagrange</I></FONT><FONT SIZE="+1"> :</FONT></P>  <CENTER>   <FONT SIZE="+1">   <IMG SRC="../anx3/an3gif/LagrInter1.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=middle width="211" height="43">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</FONT><FONT COLOR="#CC3300">Exemple   : </FONT><A HREF="../Anx3/interp_lagr.html"><FONT SIZE="+1"><IMG SRC="../cgif/links2.gif" WIDTH=105 HEIGHT=49 BORDER=0 ALIGN=middle></FONT></A> </CENTER>  <P><FONT SIZE="+1">On v&eacute;rifie que l'on a bien P<SUB>n</SUB>(x<SUB>i</SUB>) = f(x<SUB>i</SUB>). P est donc une approximation polynomiale de f. Mais de <I>gros</I> &eacute;carts peuvent &ecirc;tre constat&eacute;s. La fonction f doit donc &ecirc;tre assez <I>r&eacute;guli&egrave;re</I>. Des m&eacute;thodes plus subtiles permettent d'am&eacute;liorer l'approximation afin de minimiser pour une distance bien choisie la diff&eacute;rence entre f et P<SUB>n</SUB> : on entre dans de d&eacute;licats probl&egrave;mes d'analyse fonctionnelle : espace de </FONT><A HREF="Hilbert.html"><FONT SIZE="+1">Hilbert</FONT></A><FONT SIZE="+1">, espaces de </FONT><A HREF="Banach.html"><FONT SIZE="+1">Banach</FONT></A><FONT SIZE="+1">, approximation uniforme (</FONT><A HREF="Stone.html"><FONT SIZE="+1">Stone-Weierstrass</FONT></A><FONT SIZE="+1">).</FONT></P>  <P> <IMG SRC="../cgif/lunet.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=bottom width="18" height="11"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">&nbsp;Notons que d'autres m&eacute;thodes d'interpolation, non expos&eacute;es dans cette chronologie, furent mises en place, les plus connues sont celles de </FONT><A HREF="Newton.html"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">Newton</FONT></A><FONT SIZE="+1" FACE="Times">, de </FONT><A HREF="Gauss.html"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">Gauss</FONT></A><FONT SIZE="+1" FACE="Times"> et de </FONT><A HREF="Bessel.html"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">Bessel</FONT></A><FONT SIZE="+1" FACE="Times">. On peut aussi chercher &agrave; d&eacute;velopper la fonction &agrave; approcher au moyen de polyn&ocirc;mes jouissant de propri&eacute;t&eacute;s remarquables et dont la th&eacute;orie rel&egrave;ve des espaces de </FONT><A HREF="Hilbert.html"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">Hilbert</FONT></A><FONT SIZE="+1" FACE="Times">, comme les :</FONT></P>  <CENTER>   <IMG SRC="../cgif/oeil.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=bottom width="25" height="12"><FONT SIZE="+1" FACE="Times" COLOR="#CC3300">&nbsp;</FONT><A HREF="../anx2/poly_legendre.html"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">Polyn&ocirc;mes   de Legendre</FONT></A><FONT SIZE="+1" FACE="Times"> , ... </FONT><A HREF="../anx1/poly_tche.html"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">de   Tchebychev</FONT></A><FONT SIZE="+1" FACE="Times"> , ... </FONT><A HREF="../anx1/poly_herm.html"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">de   Hermite</FONT></A><FONT SIZE="+1" FACE="Times"> , ... </FONT><A HREF="Laguerre.html"><FONT SIZE="+1" FACE="Times">de   Laguerre</FONT></A> </CENTER>  <P><FONT SIZE="+1" FACE="Times">et l'on d&eacute;montre que, eu &eacute;gard &agrave; la norme utilis&eacute;e, le choix, pour les x<SUB>i</SUB>, des z&eacute;ros (&eacute;quir&eacute;partis) des polyn&ocirc;mes &eacute;voqu&eacute;s ci-dessus conduisent &agrave; la meilleure interpolation sur l'intervalle consid&eacute;r&eacute;.</FONT></P>  <P><FONT SIZE="+1" FACE="Times"> <IMG SRC="../cgif/main.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=bottom width="32" height="16"></FONT><FONT SIZE="+1" FACE="Times" COLOR="#CC3300">&nbsp;Pour en savoir plus : </FONT></P>  <UL>    <LI><I>TRAITEMENT D'ALGORITHMES PAR ORDINATEUR</I>, Tome 2, par    Louis L&eacute;on<BR>    ENSTA - Ecole Nationale Sup&eacute;rieures de Techniques    avanc&eacute;es.<BR>    Cepadues-Ed. Toulouse, 1983</LI>     <LI><FONT SIZE="+1" FACE="Times"><I>M&eacute;thodes    num&eacute;riques</I>, par N. Bakhvalov<BR>    </FONT><FONT FACE="Times">Analyse, Alg&egrave;bre,    &eacute;quations diff&eacute;rentielles<BR>    </FONT><FONT SIZE="+1" FACE="Times">Ed. Mir - Moscou -    1976.</FONT></LI> </UL>  <CENTER><FONT SIZE="+1">  <HR>  </FONT></CENTER>  <P> <IMG SRC="../jpeg/lagrange_jf.jpg" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=right hspace=9 width="130" height="197"><FONT SIZE="+1"><A NAME=equ></A>Lagrange s'est fortement int&eacute;ress&eacute; aux &eacute;quations alg&eacute;briques. Pour r&eacute;soudre l'&eacute;quation du quatri&egrave;me degr&eacute;, </FONT><A HREF="Ferrari.html"><FONT SIZE="+1">Ferrari</FONT></A><FONT SIZE="+1"> utilisa une &eacute;quation auxiliaire de degr&eacute; 3. Lagrange prouve qu'au del&agrave; du quatri&egrave;me degr&eacute;, l'&eacute;quation auxiliaire est de degr&eacute; sup&eacute;rieur. De nouvelles m&eacute;thodes s'imposaient donc. C'est ainsi qu'il per&ccedil;oit tout l'int&eacute;r&ecirc;t des fonctions sym&eacute;triques des racines, d&eacute;j&agrave; remarqu&eacute;es par </FONT><A HREF="Viete.html"><FONT SIZE="+1">Vi&egrave;te</FONT></A><FONT SIZE="+1"> et </FONT><A HREF="Girard.html"><FONT SIZE="+1">Girard</FONT></A><FONT SIZE="+1">, et que </FONT><A HREF="Gauss.html"><FONT SIZE="+1">Gauss</FONT></A><FONT SIZE="+1">, </FONT><A HREF="Cauchy.html#gpe"><FONT SIZE="+1">Cauchy</FONT></A><FONT SIZE="+1">, et enfin </FONT><A HREF="Abel.html"><FONT SIZE="+1">Abel</FONT></A><FONT SIZE="+1"> et </FONT><A HREF="Galois.html"><FONT SIZE="+1">Galois</FONT></A><FONT SIZE="+1"> utiliseront pour clore le probl&egrave;me de la r&eacute;solution par radicaux de ces &eacute;quations : </FONT></P>  <P><FONT SIZE="+1">Soit l'&eacute;quation :</FONT></P>  <CENTER><FONT SIZE="+1">x<SUP>n</SUP> + a<SUB>1</SUB>x<SUP>n-1</SUP> + a<SUB>2</SUB>x<SUP>n-2</SUP> + &#133; + a<SUB>n-1</SUB>x + a<SUB>n</SUB> = 0</FONT></CENTER>  <P><FONT SIZE="+1">admettant n solutions x<SUB>i</SUB> r&eacute;elles ou complexes, &eacute;ventuellement multiples, Lagrange montre que (-1)<SUP>k</SUP>a<SUB>k</SUB> =  <IMG SRC="../cgif/SigmaP.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=bottom width="10" height="13"> p<SUB>k</SUB> , somme de tous les produits possibles p<SUB>k</SUB> des solutions x<SUB>i</SUB> pris k &agrave; k.</FONT></P>  <P><FONT SIZE="+1">Par exemple, pour :<BR> </FONT></P>  <UL>    <LI><FONT SIZE="+1">n = 3, on a : x<SUB>1</SUB> + x<SUB>2</SUB> +    x<SUB>3</SUB> = -a<SUB>1</SUB> , x<SUB>1</SUB>x<SUB>2</SUB> +    x<SUB>1</SUB>x<SUB>3</SUB> + x<SUB>2</SUB>x<SUB>3</SUB> =    a<SUB>2</SUB> et x<SUB>1</SUB>x<SUB>2</SUB>x<SUB>3</SUB> =    -a<SUB>3</SUB></FONT></LI>     <LI><FONT SIZE="+1">n = 2, on retrouve les formules classiques de    la somme et du produit des racines.<BR>    </FONT></LI> </UL>  <P><FONT SIZE="+1">  <HR>  <BR> </FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#990000">Th&eacute;or&egrave;me de Lagrange :</FONT><FONT SIZE="+1"> si P est un polyn&ocirc;me dont les coefficients sont les r&eacute;els a<SUB>i</SUB>, alors un z&eacute;ro de P ne peut exc&eacute;der Max(1+|ai|).</FONT>  <CENTER>   <FONT COLOR="#CC3300">Sturm :</FONT><A HREF="Sturm.html"><FONT SIZE="+1"><IMG SRC="../cgif/links2.gif" WIDTH=105 HEIGHT=49 BORDER=0 ALIGN=middle></FONT></A><FONT SIZE="+1">   <HR>  </FONT></CENTER>  <P><FONT SIZE="+1"><A NAME=gf></A>Dans ces travaux, Lagrange parle implicitement de groupe fini et de sous-groupe. Il sera le premier, avant </FONT><A HREF="Gauss.html"><FONT SIZE="+1">Gauss</FONT></A><FONT SIZE="+1">, &agrave; s'atteler au probl&egrave;me de la r&eacute;duction des formes quadratiques (1767), ce qui le conduira &agrave; la r&eacute;solution des &eacute;quations du second degr&eacute; &agrave; deux inconnues, ax<SUP>2</SUP>+ bxy + cy<SUP>2</SUP> = k, li&eacute;e &agrave; l'&eacute;quation de </FONT><A HREF="Pell.html"><FONT SIZE="+1">Pell</FONT></A><FONT SIZE="+1"> et &agrave; la th&eacute;orie des nombres o&ugrave; sa la contribution de Lagrange est importante : il r&eacute;sout en nombres entiers la tr&egrave;s difficile &eacute;quation </FONT><A HREF="Diophante.html"><FONT SIZE="+1">diophantienne</FONT></A><FONT SIZE="+1"> :</FONT></P>  <CENTER><FONT SIZE="+1">x<SUP>2</SUP> - ny<SUP>2</SUP> = &#177;1 </FONT></CENTER>  <P><FONT SIZE="+1">o&ugrave; n n'est pas un carr&eacute; parfait, dite de Pell-Fermat en d&eacute;veloppant la </FONT><A HREF="../anx2/fraction_cont.html"><FONT SIZE="+1">th&eacute;orie des fractions continues</FONT></A><FONT SIZE="+1"> d&eacute;j&agrave; bien avanc&eacute;e gr&acirc;ce aux travaux de </FONT><A HREF="Aryabhata.html"><FONT SIZE="+1">Aryabhata</FONT></A><FONT SIZE="+1"> et de </FONT><A HREF="Chuquet.html"><FONT SIZE="+1">Chuquet</FONT></A><FONT SIZE="+1">.</FONT></P>  <CENTER>   <FONT COLOR="#CC3300">Equation de Pell :</FONT><A HREF="../Anx3/equ_pell.html"><FONT SIZE="+1"><IMG SRC="../cgif/links2.gif" WIDTH=105 HEIGHT=49 BORDER=0 ALIGN=middle></FONT></A><FONT SIZE="+1">   <HR>  </FONT></CENTER>  <P><A NAME=arith></A><FONT SIZE="+1" COLOR="#990000">Th&eacute;or&egrave;me de lagrange (1770) </FONT>(preuve d'une conjecture de <A HREF="Waring.html">Waring</A>, &eacute;galement &eacute;nonc&eacute;e par <A HREF="Bachet.html">Bachet de M&eacute;ziriac</A>)<FONT SIZE="+1"> : </FONT></P>  <CENTER><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300">tout entier naturel est la somme d'au plus quatre carr&eacute;s </FONT><FONT COLOR="#CC3300">(&eacute;ventuellement &eacute;gaux)</FONT><FONT SIZE="+1" COLOR="#CC3300">. </FONT></CENTER>  <P><FONT SIZE="+1">Par exemple&nbsp;:&nbsp;</FONT></P>  <UL>    <LI><FONT SIZE="+1">17 = 1<SUP>2</SUP> +    4<SUP>2</SUP>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</FONT></LI>     <LI><FONT SIZE="+1">62 = 2<SUP>2</SUP> + 3<SUP>2</SUP> + 7<SUP>2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</SUP></FONT><FONT COLOR="#CC3300"><SUP>&nbsp;</SUP>&nbsp;&nbsp;&nbsp;Th&eacute;or&egrave;me     des 4 carr&eacute;s :</FONT><A HREF="../anx1/somm4_carr.html"><FONT SIZE="+1"><IMG SRC="../cgif/links2.gif" WIDTH=105 HEIGHT=49 BORDER=0 ALIGN=middle></FONT></A></LI>     <LI><FONT SIZE="+1">19 = 1<SUP>2</SUP> + 1<SUP>2</SUP> +    1<SUP>2</SUP> +    4<SUP>2&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</SUP></FONT></LI> </UL>  <P><FONT SIZE="+1">Notons que cette d&eacute;composition n'est, en g&eacute;n&eacute;ral, pas unique.</FONT></P>  <CENTER><A HREF="../anx1/somm4_carr.html"><FONT SIZE="+1"> <IMG SRC="../cgif/oeil.gif" X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT BORDER=0 ALIGN=middle width="25" height="12"></FONT></A><FONT SIZE="+1">&nbsp;</FONT><A HREF="Goldbach.html"><FONT SIZE="+1">Goldbach</FONT></A><FONT SIZE="+1">, </FONT><A HREF="../chrono2/Wilson.html"><FONT SIZE="+1">Wilson</FONT></A> <BR> <HR>  <FONT FACE="Times" COLOR="#CC3300">Vandermonde&nbsp;</FONT><A HREF="Vandermonde.html"><FONT FACE="Times" COLOR="#CC3300"><IMG SRC="chrono1_gif/gauche.gif" BORDER=0 ALIGN=middle width="26" height="25"></FONT></A><FONT FACE="Times" COLOR="#336666"><IMG SRC="chrono1_gif/sablier.gif" BORDER=0 ALIGN=middle width="22" height="29"></FONT><A HREF="../chrono2/Wilson.html"><FONT FACE="Times" COLOR="#336666"><IMG SRC="chrono1_gif/droite.gif" BORDER=0 ALIGN=middle width="26" height="25"></FONT></A><FONT FACE="Times" COLOR="#336666">&nbsp;</FONT><FONT FACE="Times" COLOR="#CC3300">Wilson&nbsp;</FONT>  <HR>  <FONT COLOR="#AF0000">&copy; Serge MEHL</FONT><BR> </CENTER> </BODY> </HTML> 
