<HTML> <HEAD>    <TITLE>Lagrange</TITLE> <!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/REC-html40/loose.dtd"><link rel="StyleSheet" href="index.css" type="text/css"><meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1"> </HEAD> <BODY TEXT="#666666" BGCOLOR="#FFFFFF" LINK="#CC3333" ALINK="#333333" VLINK="#CC3333"> <P><TABLE BORDER=0 CELLSPACING=0 CELLPADDING=3 WIDTH=600>    <TR>       <TD ROWSPAN=15 WIDTH=15 BGCOLOR="#CCFFCC">          <P><IMG SRC="../../gif/trspsquar.gif" WIDTH=12 HEIGHT=12 ALIGN=bottom></P>       </TD>       <TD WIDTH=50 HEIGHT=15 BGCOLOR="#CCFFCC">          <P><IMG SRC="../../gif/trspsquar.gif" WIDTH=12 HEIGHT=12 ALIGN=bottom></P>       </TD>       <TD WIDTH=50 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=300 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=185 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>    </TR>    <TR><TD COLSPAN=3 WIDTH=400 BGCOLOR="#FFCC99">          <P class=title>Les origines du calcul symplectique chez          Lagrange</P>       </TD>       <TD WIDTH=185>          <P></P>       </TD>    </TR>    <TR><TD COLSPAN=4 WIDTH=585>          <P><TABLE BORDER=0 BGCOLOR="#FFFFFF" CELLPADDING=3 WIDTH=550>             <TR>                <TD>                   <P>C'est en appliquant, de fa&ccedil;on astucieuse,                   la m&eacute;thode de la variation des constantes au                   probl&egrave;me du mouvement perturb&eacute; des                   plan&egrave;tes que Lagrange introduisit, entre                   1808 et 1811, les premiers &eacute;l&eacute;ments                   de calcul symplectique (terme qui ne sera                   invent&eacute; qu'en 1946 par Hermann Weyl). Le but                   qu'il poursuit &agrave; l'&eacute;poque est la                   g&eacute;n&eacute;ralisation d'un                   th&eacute;or&egrave;me de Laplace, sur la                   stabilit&eacute; s&eacute;culaire du grand axe                   d'une plan&egrave;te perturb&eacute;e par                   l'attraction d'autres corps c&eacute;lestes.</P>                                      <P>Depuis Kepler on sait r&eacute;soudre                   explicitement le probl&egrave;me &agrave; deux                   corps. c'est-&agrave;-dire, calculer avec une                   pr&eacute;cision aussi grande que l'on veut la                   position de la terre (ou de toute autre                   plan&egrave;te) connaissant sa position et sa                   vitesse &agrave; un instant donn&eacute;, &agrave;                   condition toutefois de consid&eacute;rer seulement                   l'attraction du soleil et de n&eacute;gliger                   compl&egrave;tement l'influence des autres                   plan&egrave;tes. Mais bien que ce savoir soit                   important, il est largement insuffisant pour ce qui                   est du mouvement r&eacute;el des plan&egrave;tes.                   L'influence des autres plan&egrave;tes sur la terre                   est-elle vraiment n&eacute;gligeable, ne va-t-elle                   pas &agrave; terme destabiliser notre trajectoire                   et nous expulser aux confins de l'espace?</P>                                      <P>Il faut donc traiter le probl&egrave;me dans sa                   globalit&eacute;: calculer la position d'une                   plan&egrave;te quelconque, connaissant les                   positions et vitesses de toutes les                   plan&egrave;tes, et ne n&eacute;gligeant                   l'influence d'aucune d'entre elles. La                   difficult&eacute; de cette question donne le                   vertige, et on ne sait y r&eacute;pondre, encore                   actuellement, ni analytiquement ni m&ecirc;me                   num&eacute;riquement.</P>                                      <P>On pourrait croire, en effet, qu'avec                   l'av&egrave;nement de l'ordinateur cette question                   soit devenue acad&eacute;mique: pourquoi ne pas                   int&eacute;grer les &eacute;quations du mouvement                   par une m&eacute;thode num&eacute;rique quelconque.                   Malheureusement, si les erreurs d'approximations,                   in&eacute;vitables dans ce genre de calcul, sont                   n&eacute;gligeables sur un bref intervalle de                   temps, elles deviennent catastrophiques &agrave;                   long terme. Cette incertitude sur la position de la                   plan&egrave;te n'a rien &agrave; voir avec une                   &eacute;ventuelle situation chaotique du                   syst&egrave;me (le syst&egrave;me &agrave; deux                   corps est d'ailleurs parfaitement int&eacute;grable                   dans tous les sens raisonnables que l'on veut bien                   donner &agrave; ce mot), elle est simplement la                   cons&eacute;quence de l'accumulation des erreurs                   commises par l'ordinateur lors de                   l'int&eacute;gration num&eacute;rique des                   &eacute;quations du mouvement. L'existence d'une                   m&eacute;thode analytique d'int&eacute;gration du                   mouvement est donc capitale pour r&eacute;soudre                   convenablement cette question. Si cette remarque                   est vraie pour le probl&egrave;me &agrave; deux                   corps, elle l'est a fortiori pour le                   probl&egrave;me &agrave; n corps (ie un nombre                   quelconque de plan&egrave;tes en interactions). Or,                   comme nous l'avons d&eacute;j&agrave; dit, nous ne                   connaissons toujours aucune m&eacute;thode                   analytique satisfaisante susceptible de                   r&eacute;soudre cette question. Lagrange a                   contourn&eacute; cette difficult&eacute; en                   appliquant de fa&ccedil;on astucieuse la                   m&eacute;thode de la variation des constantes, aux                   probl&egrave;mes de la m&eacute;canique analytique.                   D&eacute;crivons rapidement ce dont il s'agit.</P>                                      <P>Consid&eacute;rons d'abord un corps                   mat&eacute;riel (une plan&egrave;te) attir&eacute;                   par un centre fixe (le soleil) selon la loi de la                   gravitation universelle. Les &eacute;quations                   diff&eacute;rentielles qui d&eacute;crivent son                   mouvement sont de degr&eacute; deux dans                   l&eacute;space &agrave; trois dimensions, il faudra                   donc six <A HREF="#ftn1">constantes                   d'int&eacute;grations</A> pour le d&eacute;crire.                   D'apr&egrave;s Newton, nous savons que la                   trajectoire de ce corps est une<A HREF="#ftn2">                   ellipse</A>, de foyer le<A HREF="#ftn3"> centre                   d'attraction</A>. Pour d&eacute;crire                   compl&egrave;tement cette ellipse il nous faut                   d'abord conna&icirc;tre le plan dans lequel elle                   s'inscrit (le plan de l'orbite), on peut le                   rep&eacute;rer par le vecteur unitaire qui lui est                   orthogonal, ce qui fait deux param&egrave;tres.                   Pour d&eacute;finir l'ellipse dans son plan on peut                   choisir la position du deuxi&egrave;me foyer, ce                   qui donne deux nouveaux param&egrave;tres, et la                   <A HREF="#ftn4">longueur</A> de l'ellipse, soit au                   total: cinq param&egrave;tres pour situer et                   d&eacute;crire la trajectoire du corps dans                   l'espace.</P>                                      <P>Mais si ces cinq param&egrave;tres suffisent                   &agrave; d&eacute;finir compl&egrave;tement la                   trajectoire du corps c&eacute;leste, ils ne                   suffisent pas &agrave; d&eacute;terminer son                   mouvement. En effet, comment d&eacute;terminer la                   position de la plan&egrave;te &agrave; chaque                   instant sur sa trajectoire si nous ne connaissons                   pas sa position &agrave; une origine des temps                   arbitraire? ou encore la date de son passage au                   p&eacute;rih&eacute;lie? Voil&agrave; comment                   s'introduit ce sixi&egrave;me param&egrave;tre que                   les astronomes appellent l'&eacute;poque.</P>                                      <P>Nous aurions pu tout aussi bien choisir six                   autres param&egrave;tres: par exemple les position                   et vitesse initiales de la plan&egrave;te &agrave;                   l'origine des temps. Ils d&eacute;finissent aussi,                   de fa&ccedil;on unique, le mouvement de la                   plan&egrave;te. Seul le caract&egrave;re pratique                   de tel ou tel ensemble de param&egrave;tres peut                   guider notre choix. Les astronomes appellent ces                   param&egrave;tres, servant &agrave;                   caract&eacute;riser le mouvement: les                   &eacute;l&eacute;ments k&eacute;pleriens de la                   plan&egrave;te.</P>                                      <P>L'ensemble des mouvements de la plan&egrave;te                   consid&eacute;r&eacute;s ind&eacute;pendamment du                   choix des param&egrave;tres qui nous servent                   &agrave; les <A HREF="#ftn5">d&eacute;crire</A> est                   appel&eacute; espace des mouvements                   k&eacute;pleriens.</P>                                      <P>Supposons maintenant que la plan&egrave;te, qui                   suit un mouvement k&eacute;plerien m, subisse un                   choc instantan&eacute; d&ucirc; &agrave; l'impact                   d'un ast&eacute;ro&iuml;de. Apr&egrave;s le choc                   elle suivra encore un mouvement k&eacute;plerien m'                   diff&eacute;rent du pr&eacute;c&eacute;dent. Le                   mouvement (perturb&eacute;) de cette plan&egrave;te                   sera donc d&eacute;crit par son mouvement m avant                   le choc, son mouvement m' apr&egrave;s le choc et                   l'instant du choc t. Supposons ensuite que la                   plan&egrave;te subisse une s&eacute;rie de chocs de                   ce type. Le mouvement r&eacute;el de la                   plan&egrave;te sera d&eacute;crit par une courbe                   dans l'espace des mouvements k&eacute;pleriens,                   discontinue et constante par morceaux, chaque                   morceau de courbe d&eacute;crivant le mouvement                   k&eacute;plerien de la plan&egrave;te entre deux                   chocs successifs. En &eacute;tendant ce                   raisonnement, Lagrange assimilera l'interaction des                   autres plan&egrave;tes du syst&egrave;me &agrave;                   une s&eacute;rie infinie de chocs infiniment petits                   et continuels. Il d&eacute;crira ainsi le mouvement                   r&eacute;el de la plan&egrave;te perturb&eacute;e                   par une courbe, cette fois diff&eacute;rentiable,                   trac&eacute;e dans son espace des mouvements                   k&eacute;pleriens. C'est en pr&eacute;cisant                   l'<A HREF="#ftn6">&eacute;quation</A>                   diff&eacute;rentielle de cette courbe qu'il fera                   appara&icirc;tre la structure symplectique de                   l'espace des mouvements.</P>                                      <CENTER><IMG SRC="gif/planete.gif" WIDTH=406 HEIGHT=249 ALIGN=bottom></CENTER>                                      <P>Il donnera l'expression des composantes de la                   forme symplectique de l'espace des mouvements                   k&eacute;pleriens dans le syst&egrave;me de                   coordonn&eacute;es que sont les                   &eacute;l&eacute;ments de la plan&egrave;te. Il en                   d&eacute;duira entre autre la stabilit&eacute;                   s&eacute;culaire du grand axe des                   plan&egrave;tes.</P>                                      <P>Dans cet article, je n'ai pas cherch&eacute; la                   rigueur absolue. J'ai essay&eacute; d'&ecirc;tre le                   plus possible fid&egrave;le aux textes de Lagrange.                   D&eacute;sirant par l&agrave; mettre en                   &eacute;vidence le processus qui lui a permis, en                   voulant r&eacute;soudre le probl&egrave;me du                   syst&egrave;me des plan&egrave;tes,                   d'&eacute;laborer les premiers                   &eacute;l&eacute;ments de calcul symplectique (pour                   un point de vue plus large voir &#91;<A HREF="#Sou">Sou</A>&#93;).</P>                                      <P><B>Note historique</B> C'est le 22 ao&ucirc;t                   1808 que Lagrange pr&eacute;sente &agrave;                   l'Institut de France son M&eacute;moire sur la                   th&eacute;orie des variations des                   &eacute;l&eacute;ments des plan&egrave;tes                   &#91;<A HREF="#Lag77a">Lag77a</A>&#93; o&ugrave;                   sont d&eacute;finis pour la premi&egrave;re fois                   les crochets et parenth&egrave;ses qui portent son                   nom et qui sont, en termes modernes, les                   composantes de la forme symplectique de l'espace                   des mouvements d'une plan&egrave;te.</P>                                      <P>Ce m&eacute;moire sera suivi de celui Sur la                   th&eacute;orie g&eacute;n&eacute;rale de la                   variation des constantes arbitraires &#91;<A HREF="#Lag77b">Lag77b</A>&#93;                   pr&eacute;sent&eacute;e 13 mars 1809, o&ugrave; il                   g&eacute;n&eacute;ralise sa m&eacute;thode &agrave;                   tous les probl&egrave;mes de m&eacute;canique. Il                   en donnera une version notablement                   simplifi&eacute;e, et d&eacute;finitive, le 19                   f&eacute;vrier 1810 &#91;<A HREF="#Lag77c">Lag77c</A>&#93;.                   C'est &agrave; partir de cette version qu'il                   &eacute;crira les chapitres relatifs &agrave; ces                   questions dans la deuxi&egrave;me &eacute;dition de                   son Trait&eacute; de M&eacute;canique Analytique                   &#91;<A HREF="#Lag65">Lag65</A>&#93; (seconde                   partie, de la cinqui&egrave;me &agrave; la                   septi&egrave;me section). Ce volume ne sera                   publi&eacute; qu'apr&egrave;s sa mort.</P>                </TD>             </TR>          </TABLE>          </P>       </TD>    </TR>    <TR><TD WIDTH=50 HEIGHT=15 BGCOLOR="#CCFFCC">          <P><IMG SRC="../../gif/trspsquar.gif" WIDTH=12 HEIGHT=12 ALIGN=bottom></P>       </TD>       <TD WIDTH=50 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=300 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=185 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>    </TR>    <TR><TD COLSPAN=2 WIDTH=100 BGCOLOR="#FFCC99">          <P class=title>Lire</P>       </TD>       <TD WIDTH=300>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=185>          <P></P>       </TD>    </TR>    <TR><TD COLSPAN=4 WIDTH=585>          <P><TABLE BORDER=0 CELLSPACING=0 CELLPADDING=3>             <TR>                <TD>                   <P>Une version... <A HREF="OCS_EM.pdf"><IMG SRC="../../gif/redbullet.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=0 ALIGN=bottom></A><BR>                   Une autre version ... <A HREF="IglesiasJME3.pdf"><IMG SRC="../../gif/redbullet.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=0 ALIGN=bottom></A><BR>                   Version enrichie ... (nouvelle celle la 2003)                   <A HREF="HGSMSH.pdf"><IMG SRC="../../gif/redbullet.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=0 ALIGN=bottom></A></P>                </TD>             </TR>          </TABLE>          </P>       </TD>    </TR>    <TR><TD WIDTH=50 HEIGHT=15 BGCOLOR="#CCFFCC">          <P><IMG SRC="../../gif/trspsquar.gif" WIDTH=12 HEIGHT=12 ALIGN=bottom></P>       </TD>       <TD WIDTH=50 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=300 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=185 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>    </TR>    <TR><TD COLSPAN=2 WIDTH=100 BGCOLOR="#FFCCFF">          <P class=title>Notes</P>       </TD>       <TD WIDTH=300>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=185>          <P></P>       </TD>    </TR>    <TR><TD COLSPAN=4 WIDTH=585>          <P><TABLE BORDER=0>             <TR>                <TD>                   <P><A NAME=ftn1></A>(1) A cette &eacute;poque on                   disait constantes d'int&eacute;gration quand nous                   parlons aujourd'hui d'espace de solutions. Par                   exemple, l'&eacute;quation diff&eacute;rentielle                   ordinaire r&eacute;elle dx/dt=x a toutes ses                   solutions de la forme x(t)=c.exp(t), o&ugrave; c                   est une constante arbitraire la fameuse constante                   d'int&eacute;gration. Or c caracact&eacute;rise                   justement cette solution...</P>                                      <P><A NAME=ftn2></A>(2) Si Kepler a                   d&eacute;couvert le mouvement elliptique des                   plan&egrave;tes, c'est Newton qui l'a                   d&eacute;duite de la loi de la gravitation                   universelle qui porte son nom. Pour une discussion                   plus approfondie sur ce sujet voir la th&egrave;se                   de F. de Gandt &#91;<A HREF="#New">New</A>&#93;.</P>                                      <P><A NAME=ftn3></A>(3) Les caract&eacute;ristiques                   g&eacute;om&eacute;triques de cette ellipse                   &eacute;tant, par ailleurs, li&eacute;es aux                   position et vitesse initiales du corps.</P>                                      <P><A NAME=ftn4></A>(4) Il est possible maintenant                   de tracer l'ellipse par la m&eacute;thode du                   jardinier.</P>                                      <P><A NAME=ftn5></A>(5) On dit que c'est une                   vari&eacute;t&eacute;.</P>                                      <P><A NAME=ftn6></A>(6) Aujourd'hui cette                   &eacute;quation porte le nom d' &eacute;quation de                   Hamilton, mais pour la petite histoire sachez que                   Sir W.R. Hamilton avait juste six ans lorsque                   Lagrange la publia pour la premi&egrave;re                   fois.</P>                </TD>             </TR>          </TABLE>          </P>       </TD>    </TR>    <TR><TD WIDTH=50 HEIGHT=15 BGCOLOR="#CCFFCC">          <P><IMG SRC="../../gif/trspsquar.gif" WIDTH=12 HEIGHT=12 ALIGN=bottom></P>       </TD>       <TD WIDTH=50 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=300 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=185 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>    </TR>    <TR><TD COLSPAN=2 WIDTH=100 BGCOLOR="#FFCCFF">          <P class=title>Bibliographie</P>       </TD>       <TD WIDTH=300>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=185>          <P></P>       </TD>    </TR>    <TR><TD COLSPAN=4 WIDTH=585>          <P><TABLE BORDER=0>             <TR>                <TD>                   <P>&#91;<A NAME=New></A>New&#93;, I. Newton, De la                   gravitation, Gallimard. Suivi d'un commentaire de                   F. de Gandt, 1995.</P>                                      <P><TABLE BORDER=0 CELLSPACING=0 CELLPADDING=3 align=left>                      <TR>                         <TD>                            <P><IMG SRC="gif/Lagrange.gif" WIDTH=118 HEIGHT=134 ALIGN=left></P>                         </TD>                      </TR>                   </TABLE>                    <A HREF="http://www-groups.dcs.stand.ac.uk/~history/Mathematicians/Lagrange.html">Joseph-Louis                   Lagrange</A> (1736 - 1813)</P>                                      <P>&#91;<A NAME=Lag65></A>Lag65&#93; J.-L.                   Lagrange, M&eacute;canique analytique, Librairie                   Albert Blanchard, Paris, 1965, Fac-simil&eacute; de                   la troisi&egrave;me &eacute;dition</P>                                      <P>&#91;<A NAME=Lag77a></A>Lag77a&#93; J.-L.                   Lagrange, in OEuvres de Lagrange, Sur la                   th&eacute;orie des variations des                   &eacute;l&eacute;ments des plan&egrave;tes et en                   particulier des variations des grands axes de leurs                   orbites, Gauthier-Villars, Paris, volume VI, pages                   713-768, Lu, le 22 ao&ucirc;t 1808 &agrave;                   l'Institut de France,1877.</P>                                      <P>&#91;<A NAME=Lag77b></A>Lag77b&#93; J.-L.                   Lagrange, in OEuvres de Lagrange, Sur la                   th&eacute;orie g&eacute;n&eacute;rale de la                   variation des constantes arbitraires dans tous les                   probl&egrave;mes de la m&eacute;canique,                   Gauthier-Villars, Paris, volume VI, pages 771-805,                   Lu, le 13 mars 1809 &agrave; l'Institut de                   France,1877.</P>                                      <P>&#91;<A NAME=Lag77c></A>Lag77c&#93; J.-L.                   Lagrange, in OEuvres de Lagrange, Second                   m&eacute;moire sur la th&eacute;orie                   g&eacute;n&eacute;rale de la variation des                   constantes arbitraires dans tous les                   probl&egrave;mes de la m&eacute;canique,                   Gauthier-Villars, Paris, volume VI, pages 809-816.                   Lu, le 19 f&eacute;vrier 1810 &agrave; l'Institut                   de France, 1877.</P>                                      <P>&#91;<A NAME=Sou></A>Sou&#93; J.-M. Souriau, La                   structure symplectique de la &eacute;canique                   d&eacute;crite par Lagrange en 1811, Math. Sci.                   hum., num&eacute;ro 94, pages 45-54, 1986.</P>                </TD>             </TR>          </TABLE>          </P>       </TD>    </TR>    <TR><TD WIDTH=50 HEIGHT=15 BGCOLOR="#CCFFCC">          <P><IMG SRC="../../gif/trspsquar.gif" WIDTH=12 HEIGHT=12 ALIGN=bottom></P>       </TD>       <TD WIDTH=50 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=300 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=185 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>    </TR>    <TR><TD COLSPAN=3 WIDTH=400>          <P><A HREF="../../index.html">Home</A></P>       </TD>       <TD WIDTH=185>          <P></P>       </TD>    </TR>    <TR><TD WIDTH=50 HEIGHT=15 BGCOLOR="#CCFFCC">          <P><IMG SRC="../../gif/trspsquar.gif" WIDTH=12 HEIGHT=12 ALIGN=bottom></P>       </TD>       <TD WIDTH=50 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=300 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>       <TD WIDTH=185 HEIGHT=15>          <P></P>       </TD>    </TR> </TABLE> </P> </BODY> </HTML> 
