<HTML> <HEAD>    <TITLE>Construction de Napol&eacute;on</TITLE>    <X-CLARIS-WINDOW TOP=66 BOTTOM=683 LEFT=8 RIGHT=567>    <X-CLARIS-TAGVIEW MODE=minimal> </HEAD> <BODY BGCOLOR="#FFFFFF"> <CENTER><IMG SRC="../jpeg/Napo2.jpg" WIDTH=157 HEIGHT=262 X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=left hspace=8><FONT SIZE="+4" COLOR="#336666"><B>Construction de Napol&eacute;on</B></FONT></CENTER>  <P><FONT SIZE="+1">Cette construction du centre d'un cercle, dite de </FONT><A HREF="../chrono1/Napoleon.html"><FONT SIZE="+1">Napol&eacute;on</FONT></A><FONT SIZE="+1">, est emprunt&eacute;e au math&eacute;maticien italien </FONT><A HREF="../chrono1/Mascheroni.html"><FONT SIZE="+1">Mascheroni</FONT></A><FONT SIZE="+1"> que Bonaparte rencontra lors de la campagne d'Italie : algorithme de construction (six arcs de cercle) du centre (perdu) d'un cercle donn&eacute; au <B>seul</B> compas. </FONT></P>  <P><A HREF="../chrono1/Hilbert.html"><FONT SIZE="+1">Hilbert</FONT></A><FONT SIZE="+1"> prouvera que la construction &agrave; la r&egrave;gle seule, de ce centre, est impossible. En fait, si on sait construire le <font color="#AF0000"><i> sym&eacute;trique</i></font> d'un point par rapport  un autre, on peut simplifier la solution :</FONT></P>  <CENTER>   <FONT COLOR="#993300">Mohr : </FONT><A HREF="../chrono1/Mohr.html"><IMG SRC="../cgif/links2.gif" WIDTH=105 HEIGHT=49 BORDER=0 ALIGN=middle></A> </CENTER>  <P><FONT SIZE="+1" COLOR="#990000">Programme de construction :</FONT><FONT SIZE="+1"> le cercle (c) donn&eacute;, dont on recherche le centre, est en gras sur la figure ci-dessous:</FONT></P>  <UL>    <LI><FONT SIZE="+1">Choisir un point P du cercle et tracer un    cercle </FONT><FONT SIZE="+1" FACE="Symbol">G</FONT><FONT SIZE="+1">    de centre P.<BR>    </FONT><FONT SIZE="+1" FACE="Symbol">G</FONT><FONT SIZE="+1">    coupe (c) en A et B;</FONT></LI>     <LI><FONT SIZE="+1">Les cercles de centre A et B passant par P se    coupent en C;</FONT></LI>     <LI><FONT SIZE="+1">Le cercle de centre C passant par P coupe G en    D et E;</FONT></LI>     <LI><FONT SIZE="+1">Les cercles de centre D et E passant par P se    coupent au centre O cherch&eacute;.<BR>    </FONT></LI> </UL>  <CENTER><IMG SRC="an3gif/Napoleon2.gif" WIDTH=180 HEIGHT=191 X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=bottom></CENTER>  <P><FONT COLOR="#993300">Preuve :</FONT><FONT SIZE="-1"> </FONT><FONT FACE="Times">Par construction, la figure poss&egrave;de (PC) comme axe de sym&eacute;trie et O est situ&eacute; sur cet axe. Les triangles CDP et DOP sont isoc&egrave;les (par construction). Ils ont en commun l'angle ^P, et par suite, sont homoth&eacute;tiques</FONT><FONT SIZE="-1" FACE="Times"> (on peut les repr&eacute;senter en faisant appara&icirc;tre une configuration &eacute;l&eacute;mentaire de </FONT><A HREF="../chrono1/Thales.html"><FONT SIZE="-1" FACE="Times">Thal&egrave;s</FONT></A><FONT SIZE="-1" FACE="Times">)</FONT><FONT SIZE="-1">.</FONT><FONT FACE="Times"> Donc :</FONT></P>  <CENTER><FONT FACE="Times">DP/OP = CP/DP (= DC/DO)</FONT></CENTER>  <P><FONT FACE="Times">Mais DP = AP en tant que rayons de </FONT> <FONT FACE="Symbol">G</FONT><FONT FACE="Times">. Par suite : AP/OP = CP/AP. Le triangle APC est isoc&egrave;le et poss&egrave;de avec APO l'angle ^P en commun. L'&eacute;galit&eacute; des rapports pr&eacute;c&eacute;dents indique</FONT><FONT SIZE="-1" FACE="Times"> (r&eacute;ciproque de la propri&eacute;t&eacute; de </FONT><A HREF="../chrono1/Thales.html"><FONT SIZE="-1" FACE="Times">Thal&egrave;s</FONT></A><FONT SIZE="-1" FACE="Times">) </FONT><FONT FACE="Times">que ces triangles sont homoth&eacute;tiques et par cons&eacute;quent APO est isoc&egrave;le. Ainsi OA = OP et par sym&eacute;trie OA = OB. A, B et P sont trois points de (c) &agrave; &eacute;gale distance de O : ce point est donc bien le centre de (c)</FONT></P>  <P><FONT SIZE="+1"><IMG SRC="../cgif/main.gif" WIDTH=32 HEIGHT=16 ALIGN=middle>&nbsp;</FONT>Concernant ce probl&egrave;me et plus g&eacute;n&eacute;ralement ceux relatifs &agrave; la constructibilit&eacute; &agrave; la r&egrave;gle et/ou au compas, on pourra consulter :</P>  <UL>    <LI><IMG SRC="../cgif/stars.gif" WIDTH=54 HEIGHT=16 X-CLARIS-USEIMAGEWIDTH X-CLARIS-USEIMAGEHEIGHT ALIGN=bottom><I>&nbsp;Th&eacute;orie    des corps, la r&egrave;gle et le compas<BR>    </I>par Jean-Claude Carrega, Ed. Hermann, 1989.</LI>     <LI>APMEP, bulletin 376, d&eacute;c. 1990.</LI> </UL>  <CENTER>  <HR>  <FONT COLOR="#AF0000">&copy; Serge MEHL</FONT></CENTER> </BODY> </HTML> 
