<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">  <!--Converted with LaTeX2HTML 99.2beta8 (1.42) original version by:  Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds * revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan * with significant contributions from:   Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others --> <HTML> <HEAD> <TITLE>Syst&#232;mes dynamiques quantiques</TITLE> <META NAME="description" CONTENT="Syst&#232;mes dynamiques quantiques"> <META NAME="keywords" CONTENT="6Gr3"> <META NAME="resource-type" CONTENT="document"> <META NAME="distribution" CONTENT="global">  <META HTTP-EQUIV="Content-Type" CONTENT="text/html; charset=iso-8859-1"> <META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v99.2beta8"> <META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css">  <LINK REL="STYLESHEET" HREF="6Gr3.css">  <LINK REL="next" HREF="node5.html"> <LINK REL="previous" HREF="node3.html"> <LINK REL="up" HREF="node1.html"> <LINK REL="next" HREF="node5.html"> </HEAD>  <BODY > <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html45"   HREF="node5.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next"  SRC="file:/usr/lib/latex2html/icons/next.png"></A>  <A NAME="tex2html43"   HREF="node1.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up"  SRC="file:/usr/lib/latex2html/icons/up.png"></A>  <A NAME="tex2html37"   HREF="node3.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous"  SRC="file:/usr/lib/latex2html/icons/prev.png"></A>    <BR> <B> Next:</B> <A NAME="tex2html46"   HREF="node5.html">G&#233;om&#233;trie diff&#233;rentielle et quantification</A> <B> Up:</B> <A NAME="tex2html44"   HREF="node1.html">SYST&#200;MES DYNAMIQUES QUANTIQUES ET</A> <B> Previous:</B> <A NAME="tex2html38"   HREF="node3.html">Syst&#232;mes dynamiques classiques</A> <BR> <BR> <!--End of Navigation Panel-->  <H1><A NAME="SECTION00330000000000000000"> Syst&#232;mes dynamiques quantiques</A> </H1>   <B>Introduction</B>  L'Equipe de dynamique quantique est form&#233;e de neuf enseignants-chercheurs (J.&nbsp;Asch, F.&nbsp;Bentosela, P.&nbsp;Briet, J.&nbsp;M.&nbsp;Combes, P.&nbsp;Duclos, J.-M.&nbsp;Ghez, C.-A.&nbsp;Pillet, M.&nbsp;Rouleux et E.&nbsp;Soccorsi [depuis octobre 1999]), de trois chercheurs CNRS (E.&nbsp;Mourre, L.&nbsp;Pastur [depuis septembre 1999], M.&nbsp;Vittot) et de 5 doctorants (O.&nbsp;Bourget et D.&nbsp;Fellah [depuis octobre 1998], D.&nbsp;Krejcir&#237;k, O.&nbsp;Lenoble et J.&nbsp;Nicolas [depuis octobre 2000]).  L'activit&#233; de l'&#233;quipe s'est renforc&#233;e dans les domaines pr&#233;c&#233;demment privil&#233;gi&#233;s que constituaient les probl&#232;mes de propagation en milieu al&#233;atoire, de stabilit&#233; des syst&#232;mes forc&#233;s et les m&#233;thodes semi-classiques. Les recrutements r&#233;cents ont permis de renforcer ces th&#232;mes tout en les &#233;largissant aux syst&#232;mes ouverts plus proches de la r&#233;alit&#233; physique, en particulier dans le domaine du couplage mati&#232;re-rayonnement et la dynamique non-lin&#233;aire de ces syst&#232;mes. Par ailleurs la mod&#233;lisation des syst&#232;mes ouverts &#233;largit l'interface entre syst&#232;mes dynamiques classiques et quantiques, renfor&#231;ant ainsi l'homog&#233;n&#233;it&#233; du groupe.  <BR>   <B>Propagation en milieux al&#233;atoires</B>  <BR>   <B>*Localisation spectrale et dynamique</B>  Les travaux de l'&#233;quipe sur la localisation d'Anderson et plus g&#233;n&#233;ralement sur l'analyse spectrale des milieux d&#233;sordonn&#233;s, initi&#233;s en 1993 par l'extension aux mod&#232;les continus de l'analyse multi-&#233;chelle de Fr&#246;hlich et Spencer, ont &#233;t&#233; poursuivis dans plusieurs directions:  <BR>   <B>Potentiels corr&#233;l&#233;s et &#224; longue port&#233;e</B>  Les mod&#232;les &#224; d&#233;sordre gaussiens ou poissonniens comportant des corr&#233;lations &#224; longue port&#233;e, leur traitement n&#233;cessite une adaptation des estimations de type Wegner de la densit&#233; d'&#233;tat locale. Dans [<A  HREF="node8.html#CM1">63</A>], J.M.&nbsp;Combes, P.&nbsp;Hislop et E.&nbsp;Mourre ont d&#233;velopp&#233; une m&#233;thode, bas&#233;e sur l'estimation de Mourre, qui leur permet de traiter cette classe de mod&#232;les. Dans [<A  HREF="node8.html#C3">64</A>], J.M.&nbsp;Combes, P.&nbsp;Hislop et S.&nbsp;Nakamura obtiennent de nouvelles estimations de type <IMG  WIDTH="22" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img23.gif"  ALT="$L^p$"> de la fonction de d&#233;calage spectrale. Ces bornes leur permettent d'&#233;tendre les r&#233;sultats pr&#233;c&#233;dents &#224; des impuret&#233;s de fabrication encore plus g&#233;n&#233;rale.  Dans [<A  HREF="node8.html#Pa4">65</A>] L.&nbsp;Pastur a obtenu diverses asymptotiques des moments de la fonction de Green et du noyau spectral des op&#233;rateurs de Schr&#246;dinger al&#233;atoires avec des potentiels poissoniens, en particulier dans le r&#233;gime de la localisation forte (basse &#233;nergie ou d&#233;sordre fort). Dans [<A  HREF="node8.html#Pa1">66</A>] et [<A  HREF="node8.html#Pa6">67</A>] il &#233;tudie, dans la limite des basses fr&#233;quence, la r&#233;gularit&#233; et le comportement asymptotique des fonctions de corr&#233;lation et de la conductivit&#233; (formule de Mott).  <BR>   <B>Localisation en bord de bandes</B>  Les syst&#232;mes pr&#233;sentant des lacunes spectrales, en particulier ceux obtenus par perturbation al&#233;atoire de milieux p&#233;riodiques, ont la particularit&#233; d'exhiber des &#233;tats localis&#233;s pour des &#233;nergies situ&#233;es au bord des bandes, et ce quelle que soit la nature du d&#233;sordre. Une &#233;tude syst&#233;matique de ce ph&#233;nom&#232;ne a &#233;t&#233; r&#233;alis&#233;e par J.M.&nbsp;Barbaroux, J.M.&nbsp;Combes et P.&nbsp;Hislop pour le mod&#232;le &#224; un &#233;lectron [<A  HREF="node8.html#C1">68</A>].  <BR>   <B>Cristaux photoniques</B>  Les techniques utilis&#233;es dans cette &#233;tude du bord de bandes ont &#233;t&#233; &#233;tendues par J.M.&nbsp;Combes, P.&nbsp;Hislop et A.&nbsp;Tip &#224; des syst&#232;mes plus g&#233;n&#233;raux, en particulier aux &#233;quations de Maxwell en milieu p&#233;riodique mod&#233;lisant les cristaux photoniques [<A  HREF="node8.html#C2">69</A>]. Ici la localisation s'interpr&#232;te comme le pi&#233;geage de la lumi&#232;re par les perturbations g&#233;om&#233;triques artificielles inh&#233;rentes au processus de fabrication du cristal.  En collaboration avec A.&nbsp;Moroz et A.&nbsp;Tip, J.M.&nbsp;Combes [<A  HREF="node8.html#C5">70</A>] a &#233;tudi&#233; la structure de bande des milieux absorptifs, en particulier m&#233;talliques. Dans de tels syst&#232;mes, des exp&#233;riences r&#233;centes ont mis en &#233;vidence des lacunes spectrales importantes, ouvrant la voie &#224; de nouvelles applications dans le domaine visible. Un cadre perturbatif fournissant les bases non seulement de la compr&#233;hension de ce ph&#233;nom&#232;ne, mais aussi de son &#233;tude num&#233;rique est d&#233;velopp&#233; dans [<A  HREF="node8.html#C4">71</A>]-[<A  HREF="node8.html#C6">72</A>].  L'analyse spectrale des &#233;quations de Maxwell dans les milieux inhomog&#232;nes est &#233;galement le sujet des travaux r&#233;cents de E.&nbsp;Soccorsi [<A  HREF="node8.html#SO1">73</A>] et [<A  HREF="node8.html#S2">74</A>]. La validit&#233; du principe d'absorption limite pour ces &#233;quations y est d&#233;montr&#233;e sous des hypoth&#232;ses tr&#232;s g&#233;n&#233;rales. Ce principe permet d'obtenir des informations importantes sur le comportement asymptotique des ondes &#233;lectromagn&#233;tiques dans de tels milieux.  <BR>   <B>Spectres singuliers et dynamiques anormales</B>  Dans le prolongement des travaux mentionn&#233;s dans les pr&#233;c&#233;dents rapports sur l'analyse multifractale des mesures spectrales et ses implications dynamiques, J.M.&nbsp;Combes et G.&nbsp;Mantica montrent dans [<A  HREF="node8.html#C7">75</A>] que les bornes de Guarneri-Combes sur la dynamique en fonction de la dimension de Hausdorff des mesures spectrales sont exactes pour des matrices de Jacobi exhibant des barri&#232;res rares. Ils &#233;tudient un mod&#232;le propos&#233; par Y.&nbsp;Last et S.&nbsp;Jitomarskaya et mettent en &#233;vidence de fa&#231;on analytique et num&#233;rique des propri&#233;t&#233;s int&#233;ressantes d'intermittence temporelle.  <BR>   <B>Analyse multi-&#233;chelle et zones de stabilit&#233;</B>  Dans [<A  HREF="node8.html#M1">76</A>] E.&nbsp;Mourre s'int&#233;resse aux op&#233;rateurs de Schr&#246;dinger de la forme <!-- MATH  $H_{\omega }=-\Delta +\lambda V_{\omega }(x)$  --> <IMG  WIDTH="142" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img24.gif"  ALT="$H_{\omega }=-\Delta +\lambda V_{\omega }(x)$"> sur <IMG  WIDTH="55" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img25.gif"  ALT="$L^{2}(R^{n})$">, o&#249; <IMG  WIDTH="23" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img26.gif"  ALT="$V_{\omega } $"> est un champ al&#233;atoire. Plus particuli&#232;rement, il &#233;tudie les propri&#233;t&#233;s de la fonction de Green de l'op&#233;rateur <IMG  WIDTH="26" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img27.gif"  ALT="$H_{\omega } $"> dans certaines r&#233;gions de l'espace de configuration. L'analyse des propri&#233;t&#233;s spectrales d'op&#233;rateurs al&#233;atoires locaux <IMG  WIDTH="23" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img28.gif"  ALT="$h_{\Lambda }$"> lui permet de d&#233;finir des r&#233;gions dites ``de stabilit&#233;'', dans lesquelles on a un bon contr&#244;le sur la r&#233;solvante de <IMG  WIDTH="23" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img28.gif"  ALT="$h_{\Lambda }$">. Il peut alors reformuler l'analyse multi-&#233;chelle en terme d'existence de zones de stabilit&#233; et esp&#232;re pouvoir ainsi lever un certain nombre de limitations de l'analyse classique, et atteindre des r&#233;gimes interm&#233;diaires &#224; ceux des petites &#233;nergies et des petits couplages, en particulier en petites dimensions <IMG  WIDTH="69" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img29.gif"  ALT="$(d=1,2)$">.  <BR>   <B>Milieux quasi-p&#233;riodiques</B>  J.-M. Ghez poursuit sa recherche dans le cadre d'un programme de compr&#233;hension th&#233;orique des quasi-cristaux. Ceux-ci sont &#233;tudi&#233;s en une dimension au moyen de mod&#232;les en liaison forte, d&#233;crits par des op&#233;rateurs de Schr&#246;dinger discrets dont le potentiel quasi-p&#233;riodique est engendr&#233; r&#233;cursivement par une suite de substitutions. J.-M. Ghez avait montr&#233; que le spectre d'&#233;nergie est singulier continu, support&#233; par un ensemble de Cantor, et que ses lacunes sont &#233;tiquet&#233;es par les valeurs de la densit&#233; d'&#233;tat int&#233;gr&#233;e. Ce r&#233;sultat &#224; &#233;t&#233; &#233;tendu dans [<A  HREF="node8.html#G1">77</A>] &#224; une classe plus g&#233;n&#233;rale de potentiels admettant une infinit&#233; de palindromes sur la demi-droite positive.  <BR>   <B>*Mod&#232;les sp&#233;cifiques</B>  <BR>   <B>R&#233;sonances de Stark dans les solides cristallins impurs</B>  L'existence de r&#233;sonances structur&#233;es en ``&#233;chelles de Stark'' est un ph&#233;nom&#232;ne bien connu dans les cristaux soumis &#224; un champ &#233;lectrique uniforme [<A  HREF="node8.html#Br2">78</A>]. Une question naturelle est le comportement de ces r&#233;sonances lorsque le milieu cristallin est dop&#233; par des impuret&#233;s. Le mod&#232;le unidimensionnel qui a &#233;t&#233; &#233;tudi&#233; par F. Bentosela et P. Briet est d&#233;crit par l'hamiltonien <BR><P></P> <DIV ALIGN="CENTER"> <!-- MATH  \begin{displaymath} H(F)=-\partial _{x}^{2}+V_{\omega }(x)+Fx \end{displaymath}  -->  <IMG  WIDTH="190" HEIGHT="28" BORDER="0"  SRC="img30.gif"  ALT="\begin{displaymath}H(F)=-\partial _{x}^{2}+V_{\omega }(x)+Fx \end{displaymath}"> </DIV> <BR CLEAR="ALL"> <P></P> sur <IMG  WIDTH="47" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img31.gif"  ALT="$L^{2}(R)$"> o&#249; <IMG  WIDTH="23" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img26.gif"  ALT="$V_{\omega } $"> est un potentiel de type Anderson [<A  HREF="node8.html#BB1">79</A>]. Le r&#233;sultat principal est l'existence avec probabilit&#233; <IMG  WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img32.gif"  ALT="$1$"> d'un nombre fini de r&#233;sonances au voisinage d'une &#233;nergie donn&#233;e. La largeur des r&#233;sonances en fonction du champ &#233;lectrique <IMG  WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img33.gif"  ALT="$F$"> ob&#233;it &#224; une loi de type Landau-Oppenheimer. Une difficult&#233; math&#233;matique essentielle dans ce type de probl&#232;me est que, contrairement au cas du cristal pur, le syst&#232;me &#224; champ nul n'a que des &#233;tats localis&#233;s; on n'est donc pas dans la situation classique des &#233;tats m&#233;tastables associ&#233;s &#224; la perturbation d'un &#233;tat li&#233; immerg&#233; dans du spectre continu. Ce probl&#232;me est &#233;videmment &#233;troitement li&#233; aux propri&#233;t&#233;s de conductivit&#233; en pr&#233;sence d'impuret&#233;s et il sera int&#233;ressant d'analyser de ce point de vue le comportement temporel des &#233;tats m&#233;tastables associ&#233;s &#224; ces p&#244;les de r&#233;sonances.  <BR>   <B>Propri&#233;t&#233;s optiques des syst&#232;mes poreux</B>  L'&#233;mergence de mat&#233;riaux nouveaux (cristaux photoniques), de g&#233;om&#233;tries singuli&#232;res (fils quantiques unidimensionnels) ou s'&#233;loignant fortement de la sym&#233;trie cristalline (silicium poreux) et ayant des propri&#233;t&#233;s optiques surprenantes est une incitation &#224; construire des mod&#232;les susceptibles d'en rendre compte. C'est ainsi que F. Bentosela a pu, en collaboration avec P. Exner et V. Zagrebnov, proposer un nouveau m&#233;canisme expliquant la luminescence du silicium poreux qui tient compte de la structure g&#233;om&#233;trique de ce mat&#233;riau et de la pr&#233;sence de nombreuses protub&#233;rances [<A  HREF="node8.html#Be1">80</A>].  <BR>   <B>Pi&#232;ges magn&#233;tiques</B>  F.&nbsp;Bentosela, avec P.&nbsp;Exner et V.&nbsp;Zagrebnov, a montr&#233; l'existence d'&#233;tats li&#233;s pour un mod&#232;le &#224; un &#233;lectron soumis &#224; un champ magn&#233;tique inhomog&#232;ne [<A  HREF="node8.html#BEZ1">81</A>],[<A  HREF="node8.html#BEZ2">82</A>]. Il s'agit d'une &#233;tape importante pour l'&#233;tude du comportement &#233;lectronique en pr&#233;sence d'un champ magn&#233;tique al&#233;atoire. Par ailleurs, en collaboration avec M.&nbsp;Tater et dans le but de comprendre l'effet d'un d&#233;sordre de position des atomes sur la diffraction d'&#233;lectrons par un solide non cristallin, F.&nbsp;Bentosela a &#233;tudi&#233; en dimension 3 la diffusion par un nombre fini de plans de diffuseurs ponctuels r&#233;partis de mani&#232;re p&#233;riodique [<A  HREF="node8.html#Be5">83</A>]. Il a obtenu, dans un intervalle de la constante de couplage, une r&#233;flexion quasi totale pour toutes les longueurs d'onde incidentes sup&#233;rieures &#224; la maille du r&#233;seau et pour des vecteurs d'onde perpendiculaires aux plans des diffuseurs.  <BR>   <B>Etats de surface</B>  Dans [<A  HREF="node8.html#BBP">84</A>], F.&nbsp;Bentosela, P.&nbsp;Briet et L.&nbsp;Pastur &#233;tudient le mod&#232;le de Maryland dans lequel le potentiel est support&#233; par un sous-espace de l'espace de configuration. Pour des potentiels quasi-p&#233;riodiques, ils montrent l'existence d'un seuil de mobilit&#233;, les &#233;tats &#233;tendus correspondant au spectre absolument continu se propageant dans tout le milieu (&#233;tats de volume). Pour des potentiels p&#233;riodiques, ils mettent en &#233;vidence la coexistence de deux canaux de propagation: surfacique et volumique, les &#233;tats de surface se propageant le long du sous espace supportant le potentiel. Ils montrent en outre que le spectre d'&#233;nergie surfacique poss&#232;de une structure de bande. Ces r&#233;sultats constituent un premier pas vers une &#233;tude rigoureuse de la propagation dans ces milieux. Une des difficult&#233;s majeures de ce probl&#232;me est de d&#233;terminer des conditions suffisantes sur le potentiel de surface pour assurer l'existence d'un canal surfacique.  <BR>   <B>Th&#233;orie spectrale et r&#233;sonances</B>  L'analyse spectrale et l'&#233;tude des r&#233;sonances des Hamiltoniens de divers mod&#232;les quantiques est une activit&#233; traditionnelle de l'&#233;quipe. Outre les Hamiltoniens al&#233;atoires d&#233;crits dans le paragraphe pr&#233;c&#233;dent, il faut signaler des r&#233;sultats nouveaux dans trois domaines importants:  <BR>   <B>*Guides d'ondes quantiques</B>  Courber un tube de Dirichlet infini engendre un potentiel effectif capable de confiner un &#233;lectron. Ce ph&#233;nom&#232;ne a &#233;t&#233; prouv&#233; pour la premi&#232;re fois par Exner et Seba en dimension 2. Plusieurs d&#233;veloppements de cette id&#233;e ont &#233;t&#233; r&#233;alis&#233;s par P. Duclos: extension en dimension 3, puis existence de r&#233;sonances et estimation de leur largeur en dimension 2 [<A  HREF="node8.html#D1">85</A>]. D'autres extensions et nouveaux d&#233;veloppements ont &#233;t&#233; obtenus par P. Duclos en collaboration avec P.&nbsp;Exner, B.&nbsp;Meller et D.&nbsp;Krejcir&#237;k dans [<A  HREF="node8.html#DK1">86</A>] et [<A  HREF="node8.html#DM4">87</A>].  <BR>   <B>*Stabilit&#233; des ions mol&#233;culaires positifs</B>  Combien d'&#233;lectrons sont n&#233;cessaires pour lier deux noyaux de charge <IMG  WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img34.gif"  ALT="$ Z $"> chacun ? En collaboration avec le groupe de R. Benguria et avec D. Hogreve, P. Duclos [<A  HREF="node8.html#DU2">88</A>] a progress&#233; de <!-- MATH  $(N>0.33\cdot Z)$  --> <IMG  WIDTH="104" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img35.gif"  ALT="$(N&gt;0.33\cdot Z)$"> &#224; <!-- MATH  $(N>0.42\cdot Z)$  --> <IMG  WIDTH="104" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img36.gif"  ALT="$(N&gt;0.42\cdot Z)$">. Ce programme sera poursuivi en utilisant les propri&#233;t&#233;s de la densit&#233; &#233;lectronique &#233;tablies plus ou moins r&#233;cemment par diff&#233;rentes &#233;quipes (Toronto, Vienne).  <BR>   <B>*Th&#233;orie des matrices al&#233;atoires</B>  Dans une s&#233;rie de travaux [<A  HREF="node8.html#Pa3">89</A>], [<A  HREF="node8.html#Pa5">90</A>] et [<A  HREF="node8.html#Pa7">91</A>], L.&nbsp;Pastur &#233;tudie la statistique des valeurs propres dans des ensembles de matrices hermitiennes. Il introduit une m&#233;thode de d&#233;veloppement asymptotique pour l'&#233;tude des grandes matrices et obtient ainsi des th&#233;or&#232;mes limites ainsi que des r&#233;sultats sur l'asymptotique des polyn&#244;mes orthogonaux. Il exhibe en outre de nouvelles classes d'universalit&#233; des statistiques locales.  <BR>   <B>Syst&#232;mes ouverts</B>  Sous cette rubrique se regroupent plusieurs th&#232;mes li&#233;s &#224; la mod&#233;lisation (classique ou quantique) des syst&#232;mes en interaction avec un environnement. L'int&#233;r&#234;t physique de ces mod&#232;les est important puisqu'ils recouvrent un tr&#232;s grand nombre d'applications, de la physique atomique (atomes coupl&#233;s au champ de radiation &#233;lectro-magn&#233;tique) &#224; la thermodynamique hors &#233;quilibre (retour &#224; l'&#233;quilibre, transport et fluctuations). Cette vari&#233;t&#233; se refl&#232;te d'ailleurs dans le large spectre des techniques math&#233;matiques mises en <IMG  WIDTH="13" HEIGHT="9" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img37.gif"  ALT="\oe">uvre: EDP non-lin&#233;aires, &#233;quations diff&#233;rentielles stochastiques, th&#233;orie KAM, asymptotique semi-classique, th&#233;orie modulaire des alg&#232;bres de von Neumann, analyse harmonique,...  <BR>   <B>*Stabilit&#233; des syst&#232;mes forc&#233;s p&#233;riodiquement</B>  Lorsque la r&#233;tro-action exerc&#233;e par le syst&#232;me sur son environnement est n&#233;gligeable et que cet environnement est caract&#233;ris&#233; par un spectre tr&#232;s &#233;troit autour d'une fr&#233;quence dominante <IMG  WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img38.gif"  ALT="$ \omega $">, la dynamique effective est correctement d&#233;crite par une &#233;quation de Schr&#246;dinger avec un potentiel p&#233;riodique en temps.  Les activit&#233;s de l'&#233;quipe dans ce domaine se concentrent autour d'une question fondamentale: la stabilit&#233; des syst&#232;mes forc&#233;s. D'un point de vue ph&#233;nom&#233;nologique, un syst&#232;me est stable lorsque son &#233;nergie reste born&#233;e le long de toutes ses orbites. L'absence d'un m&#233;canisme explicite de dissipation rend la question de la stabilit&#233; des syst&#232;mes forc&#233;s extr&#234;mement d&#233;licate.  Math&#233;matiquement, cette difficult&#233; se manifeste de la mani&#232;re suivante. L'&#233;volution &#233;tant d&#233;crite par une &#233;quation diff&#233;rentielle dont les coefficients sont p&#233;riodiques en temps, la th&#233;orie de Floquet permet de r&#233;duire la discussion de la stabilit&#233; &#224; l'analyse spectrale d'un op&#233;rateur auto-adjoint <IMG  WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img39.gif"  ALT="$ K $"> (op&#233;rateur de Floquet) ou d'un op&#233;rateur unitaire <IMG  WIDTH="17" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img40.gif"  ALT="$U $"> (op&#233;rateur de monodromie, dans le cas des syst&#232;mes frapp&#233;s). Plus pr&#233;cis&#233;ment, le syst&#232;me devient instable d&#232;s que le spectre de ces op&#233;rateurs d&#233;veloppe une composante continue. Or une analyse simple r&#233;v&#232;le qu'&#224; for&#231;age nul le spectre de ces op&#233;rateurs est ``g&#233;n&#233;riquement'' ponctuel dense. La stabilit&#233; du syst&#232;me est donc math&#233;matiquement &#233;quivalente &#224; la stabilit&#233; des valeurs propres non isol&#233;es de l'op&#233;rateur <IMG  WIDTH="19" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img39.gif"  ALT="$ K $"> (ou <IMG  WIDTH="17" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img40.gif"  ALT="$U $">), un probl&#232;me notoirement difficile.  A ce jour, deux types de techniques permettent d'attaquer le probl&#232;me de la stabilit&#233;:  <UL> <LI>l'&#233;tude directe de la dynamique &#224; l'aide de m&#233;thodes adiabatiques; </LI> <LI>l'&#233;tude de la stabilit&#233; spectrale par des m&#233;thodes perturbatives de type KAM et ses d&#233;riv&#233;es. </LI> </UL>  Les travaux r&#233;sum&#233;s ci-dessous continuent le d&#233;veloppement syst&#233;matique de ces techniques, et montrent qu'il est possible de les combiner avantageusement.  Dans [<A  HREF="node8.html#DV1">92</A>], [<A  HREF="node8.html#DV2">93</A>] et [<A  HREF="node8.html#DV3">94</A>], P. Duclos et M. Vittot, en collaboration avec P. Stov&#237;c&#232;k entreprennent une &#233;tude locale en &#233;nergie de la stabilit&#233; spectrale de l'op&#233;rateur de Floquet <!-- MATH  $\( K = K_{0}+\varepsilon V(t) \)$  --> <IMG  WIDTH="118" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img41.gif"  ALT="\( K = K_{0}+\varepsilon V(t) \)"> o&#249; <!-- MATH  $\( K_{0} = i\omega \partial_{t}+H_{0} \)$  --> <IMG  WIDTH="116" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img42.gif"  ALT="\( K_{0} = i\omega \partial_{t}+H_{0} \)"> a un spectre g&#233;n&#233;riquement (en <IMG  WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img38.gif"  ALT="$ \omega $">) dense dans <IMG  WIDTH="18" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img43.gif"  ALT="$\bf R$">. Une adaptation de la m&#233;thode de Nash-Moser, combin&#233;e avec la technique de r&#233;gularisation adiabatique, leur permet de contr&#244;ler la stabilit&#233; de valeurs propres individuelles pour tout for&#231;age <IMG  WIDTH="35" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img44.gif"  ALT="$ V(t) $"> diff&#233;rentiable <IMG  WIDTH="41" HEIGHT="28" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img45.gif"  ALT="$\sigma+1$"> fois en temps. Ici <IMG  WIDTH="14" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img46.gif"  ALT="$\sigma$"> est uniquement d&#233;termin&#233; par la croissance des lacunes spectrales <!-- MATH  $\( \Delta_{n,m} \)$  --> <IMG  WIDTH="41" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img47.gif"  ALT="\( \Delta_{n,m} \)"> de l'hamiltonien <IMG  WIDTH="37" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img48.gif"  ALT="$(H_{0})$"> du syst&#232;me non forc&#233;. On demande en effet que: <BR><P></P> <DIV ALIGN="CENTER"> <!-- MATH  \begin{displaymath} \sum_{n,m \in \bf N} |\Delta_{n,m}|^{-\sigma} < \infty \end{displaymath}  -->  <IMG  WIDTH="146" HEIGHT="47" BORDER="0"  SRC="img49.gif"  ALT="\begin{displaymath} \sum_{n,m \in \bf N} \vert\Delta_{n,m}\vert^{-\sigma} &lt; \infty \end{displaymath}"> </DIV> <BR CLEAR="ALL"> <P></P> Par exemple si les valeurs propres de <IMG  WIDTH="25" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img50.gif"  ALT="\( H_{0} \)"> croissent en <IMG  WIDTH="21" HEIGHT="17" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img51.gif"  ALT="\( n^{2} \)"> cette somme converge avec <!-- MATH  $\( \sigma > 1 \)$  --> <IMG  WIDTH="43" HEIGHT="28" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img52.gif"  ALT="\( \sigma &gt; 1 \)">. Du point de vue des hypoth&#232;ses sur la r&#233;gularit&#233; du for&#231;age, c'est le meilleur r&#233;sultat actuellement disponible.  On obtient les projecteurs (et valeurs propres) perturb&#233;s en s&#233;rie en <!-- MATH  $\( \varepsilon \)$  --> <IMG  WIDTH="12" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img22.gif"  ALT="\( \varepsilon \)">, o&#249; le d&#233;nominateur de chaque terme est un produits de lacunes spectrales de <IMG  WIDTH="25" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img53.gif"  ALT="\( K_{0} \)">. Ces diviseurs sont arbitrairement petits car le spectre de <IMG  WIDTH="25" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img53.gif"  ALT="\( K_{0} \)"> est dense.  L'algorithme ne converge que pour <IMG  WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img54.gif"  ALT="\( \omega \)"> diophantien mais aussi seulement pour <!-- MATH  $\( \varepsilon \)$  --> <IMG  WIDTH="12" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img22.gif"  ALT="\( \varepsilon \)"> ``non r&#233;sonant'' avec <IMG  WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img54.gif"  ALT="\( \omega \)">, ce qui est un ph&#233;nom&#232;ne nouveau.  Ce r&#233;sultat local permet de conclure &#224; la stabilit&#233; globale du syst&#232;me pour un ensemble <IMG  WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img38.gif"  ALT="$ \omega $"> de grande mesure de Lebesgue. Dans [<A  HREF="node8.html#DV3">94</A>] P. Duclos, M. Vittot, P. Stov&#237;c&#232;k et O. Lev d&#233;montrent directement ces r&#233;sultats pour tout le spectre, avec <IMG  WIDTH="12" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img55.gif"  ALT="$\varepsilon$"> fix&#233;, et <IMG  WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img54.gif"  ALT="\( \omega \)"> ``non r&#233;sonant'' avec <!-- MATH  $\( \varepsilon \)$  --> <IMG  WIDTH="12" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img22.gif"  ALT="\( \varepsilon \)">.  <BR>   <B>*Syst&#232;mes dans des champs statiques</B>  L'&#233;tude des syst&#232;mes plong&#233;s dans un champ &#233;lectrique constant et uniforme (effet Stark) correspond physiquement &#224; prendre la limite <!-- MATH  $\omega \rightarrow 0$  --> <IMG  WIDTH="47" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img56.gif"  ALT="$ \omega \rightarrow 0 $"> dans une certaine classe de syst&#232;mes forc&#233;s p&#233;riodiquement. Cette limite &#233;tant math&#233;matiquement singuli&#232;re, il est remarquable que les m&#233;thodes d&#233;velopp&#233;es pour &#233;tudier les syst&#232;mes forc&#233;s s'av&#232;rent &#233;galement tr&#232;s efficaces dans certains probl&#232;mes de type Stark, notamment dans les mod&#232;les Stark-Wannier o&#249; le potentiel est p&#233;riodique dans l'espace. A ce sujet, les travaux [<A  HREF="node8.html#AD1">95</A>] et [<A  HREF="node8.html#AD2">96</A>] que J. Asch et P. Duclos ont effectu&#233; en collaboration avec P. Exner, montrent que lorsque le potentiel est tr&#232;s singulier les hamiltoniens de Stark-Wannier poss&#232;dent un spectre purement ponctuel. A l'oppos&#233;, en utilisant des techniques de subordination qu'il avait d&#233;velopp&#233; pr&#233;c&#233;demment avec E. Mourre, Ph. Briet &#224; montr&#233; dans [<A  HREF="node8.html#Br1">97</A>] que ce type de mod&#232;le poss&#232;de un spectre absolument continu d&#232;s que le potentiel est assez r&#233;gulier.  J.&nbsp;Asch, F.&nbsp;Bentosela et P.&nbsp;Duclos, en collaboration avec G. Nenciu, ont commenc&#233; une &#233;tude de la transition spectrale associ&#233;e au changement de r&#233;gularit&#233; du potentiel p&#233;riodique. Dans [<A  HREF="node8.html#ABD">98</A>], ils ont analys&#233; plus particuli&#232;rement le r&#233;gime des grandes impulsions.  Dans un autre travail, effectu&#233; en collaboration avec H.&nbsp;Cornean [<A  HREF="node8.html#Br3">99</A>], Ph. Briet consid&#232;re les effets d'un champ magn&#233;tique &#224; longue port&#233;e sur certains syst&#232;mes quantiques. Plus pr&#233;cis&#233;ment, il &#233;tudie la stabilit&#233; du spectre essentiel des op&#233;rateurs de Schr&#246;dinger et de Dirac sous une perturbation donn&#233;e par un champ magn&#233;tique de petite intensit&#233; <IMG  WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img57.gif"  ALT="$B$"> mais de longue port&#233;e. Il am&#233;liore des r&#233;sultats dus &#224; Helffer et Sj&#246;strand et &#224; Nenciu en montrant que l'&#233;largissement des bandes spectrales est d'ordre <!-- MATH  ${\rm O}(B^{2/3})$  --> <IMG  WIDTH="62" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img58.gif"  ALT="${\rm O}(B^{2/3})$"> et m&#234;me dans certains cas <IMG  WIDTH="42" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img59.gif"  ALT="${\rm O}(B)$">. Il consid&#232;re &#233;galement la perturbation des valeurs propres discr&#232;tes et montre qu'elles peuvent &#234;tre d&#233;crites par des s&#233;ries de puissances de <IMG  WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img57.gif"  ALT="$B$"> convergentes, dont les coefficients sont des fonctions d&#233;pendant faiblement de <IMG  WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img57.gif"  ALT="$B$">.  L.&nbsp;Pastur a &#233;tudi&#233; dans [<A  HREF="node8.html#Pa8">100</A>], en collaboration avec G.&nbsp;Chistyakov et Y.&nbsp;Lyubarskii, le statut math&#233;matique de l'approximation d'un nombre fini de niveaux de Landau pour un op&#233;rateur de Schr&#246;dinger avec champ magn&#233;tique. Ces auteurs consid&#232;rent plus particuli&#232;rement des potentiels singuliers (bruit blanc bidimensionnel, potentiels &#233;lectriques et magn&#233;tiques ponctuels). Ils obtiennent en outre un crit&#232;re d'existence des niveaux de Landau en terme de compl&#233;tude de certaines familles de fonctions.  <BR>   <B>*Syst&#232;mes en contact avec des r&#233;servoirs</B>  Suivant le paradigme de Ford, Kac et Mazur, un syst&#232;me ouvert peut &#234;tre mod&#233;lis&#233; par un ``super-syst&#232;me'' hamiltonien <!-- MATH  $({\cal S}+{\cal R}_{1}+{\cal R}_{2}+\cdots )$  --> <IMG  WIDTH="145" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img60.gif"  ALT="$({\cal S}+{\cal R}_{1}+{\cal R}_{2}+\cdots )$">, constitu&#233;:  <UL> <LI>d'un petit syst&#232;me <IMG  WIDTH="27" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img61.gif"  ALT="$({\cal S})$">, ayant un nombre fini de degr&#233;s de libert&#233;; </LI> <LI>de grands r&#233;servoirs <!-- MATH  $({\cal R}_{1},{\cal R}_{2}\cdots)$  --> <IMG  WIDTH="86" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img62.gif"  ALT="$({\cal R}_{1},{\cal R}_{2}\cdots)$">, syst&#232;mes dynamiques lin&#233;aires de dimension infinie (champs libres). </LI> </UL>  La dynamique (classique ou quantique) d'un tel syst&#232;me est d&#233;termin&#233;e par un hamiltonien <!-- MATH  $H\equiv H_{{\cal S}}+H_{{\cal R}_{1}}+\cdots +H_{int}$  --> <IMG  WIDTH="202" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img63.gif"  ALT="$H\equiv H_{{\cal S}}+H_{{\cal R}_{1}}+\cdots +H_{int} $">, o&#249; <!-- MATH  $H_{{\cal S}},H_{{\cal R}_{1},\cdots }$  --> <IMG  WIDTH="80" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img64.gif"  ALT="$ H_{{\cal S}},H_{{\cal R}_{1},\cdots } $">, d&#233;crivent la dynamique des constituants isol&#233;s et <IMG  WIDTH="35" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img65.gif"  ALT="$ H_{int}$"> est l'&#233;nergie d'interaction entre ces constituants. Dans de nombreuses situations d'int&#233;r&#234;t physique, les r&#233;servoirs se trouvent initialement dans un &#233;tat stationnaire, et leur &#233;nergie totale est infinie. Les travaux r&#233;sum&#233;s dans ce paragraphe concernent tous le cas particulier o&#249; les r&#233;servoirs sont &#224; l'&#233;quilibre thermique &#224; temp&#233;rature donn&#233;e.  Dans [<A  HREF="node8.html#P1">101</A>] et [<A  HREF="node8.html#P2">102</A>], C.-A. Pillet et V. Jak&#353;ic consid&#232;rent le probl&#232;me du retour &#224; l'&#233;quilibre d'un petit syst&#232;me classique <IMG  WIDTH="15" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img66.gif"  ALT="$ {\cal S} $"> en contact avec un r&#233;servoir <IMG  WIDTH="18" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img67.gif"  ALT="$ {\cal R} $"> &#224; l'&#233;quilibre thermique &#224; temp&#233;rature <IMG  WIDTH="45" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img68.gif"  ALT="$ T&gt;0 $">. Math&#233;matiquement, la propri&#233;t&#233; de retour &#224; l'&#233;quilibre (la loi 0 de la thermodynamique) se traduit par la propri&#233;t&#233; de m&#233;lange du syst&#232;me dynamique <!-- MATH  ${\cal S}+{\cal R}$  --> <IMG  WIDTH="48" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img69.gif"  ALT="$ {\cal S}+{\cal R} $"> par rapport &#224; l'unique mesure invariante dont la marginale sur <IMG  WIDTH="18" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img67.gif"  ALT="$ {\cal R} $"> est absolument continue par rapport &#224; sa mesure de Gibbs &#224; temp&#233;rature <IMG  WIDTH="16" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img70.gif"  ALT="$ T $">. Pour &#233;tablir cette propri&#233;t&#233; de m&#233;lange les auteurs invoquent la th&#233;orie spectrale des syst&#232;mes dynamiques (Koopman) et montrent, sous des hypoth&#232;ses tr&#232;s g&#233;n&#233;rales, que le spectre du liouvillien <!-- MATH  $L\equiv \{H,\cdot \}$  --> <IMG  WIDTH="77" HEIGHT="31" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img71.gif"  ALT="$ L\equiv \{H,\cdot \} $"> est absolument continu.  Dans [<A  HREF="node8.html#P3">103</A>] C.-A. Pillet, en collaboration avec J.-P. Eckmann et L. Rey-Bellet, &#233;tudie un mod&#232;le simple de m&#233;canique statistique classique hors &#233;quilibre: une cha&#238;ne d'oscillateurs anharmoniques en contact, &#224; ses deux extr&#233;mit&#233;s, avec des r&#233;servoirs <IMG  WIDTH="25" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img72.gif"  ALT="$ {\cal R}_{1} $"> et <IMG  WIDTH="25" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img73.gif"  ALT="$ {\cal R}_{2} $"> &#224; temp&#233;rature <IMG  WIDTH="87" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img74.gif"  ALT="$ 0&lt;T_{1}&lt;T_{2} $">. Pour un choix judicieux du couplage, il obtient un mod&#232;le markovien et d&#233;montre l'existence et l'unicit&#233; d'un &#233;tat stationnaire. La propri&#233;t&#233; de m&#233;lange de la dynamique par rapport &#224; cet &#233;tat est &#233;galement &#233;tablie. D'un point de vue math&#233;matique, le probl&#232;me crucial de l'existence de l'&#233;tat stationnaire est ramen&#233; &#224; l'analyse spectrale d'un op&#233;rateur hypoelliptique. Pour mener &#224; bien cette analyse, les auteurs d&#233;veloppent une version globale de la m&#233;thode des commutateurs de H&#246;rmander. Ce travail est poursuivi dans [<A  HREF="node8.html#P4">104</A>], o&#249; des m&#233;thodes de th&#233;orie du contr&#244;le permettent de d&#233;montrer l'unicit&#233; de l'&#233;tat stationnaire pour des gradients de temp&#233;rature arbitraires, la stricte positivit&#233; de la production d'entropie et l'existence d'un flux de chaleur associ&#233;.  Les travaux de C.A.&nbsp;Pillet avec V.&nbsp;Jak&#353;ic sur le probl&#232;me du retour &#224; l'&#233;quilibre en m&#233;canique quantique, se basent sur l'&#233;tude du spectre d'un op&#233;rateur autoadjoint <IMG  WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img75.gif"  ALT="$L$">: le liouvillien quantique. Dans [<A  HREF="node8.html#P5">105</A>], ils d&#233;voilent la relation entre cet op&#233;rateur et les &#233;quations pilotes qui gouvernent la dynamique effective &#224; faible couplage: pr&#232;s de l'&#233;quilibre thermique la partie r&#233;sonante du liouvillien est &#233;gale, au deuxi&#232;me ordre de la th&#233;orie de perturbation (r&#232;gle d'or de Fermi) au g&#233;n&#233;rateur de l'&#233;volution markovienne effective. Dans [<A  HREF="node8.html#P6">106</A>], V.&nbsp;Jak&#353;ic et C.A.&nbsp;Pillet proposent une d&#233;finition g&#233;n&#233;rale de la production d'entropie dans les syst&#232;mes quantiques ouverts. Ils montrent qu'elle poss&#232;de des propri&#233;t&#233;s similaires &#224; la production d'entropie dans les syst&#232;mes dynamiques classiques dissipatifs. Dans [<A  HREF="node8.html#P7">107</A>], ils &#233;laborent une m&#233;thode de construction des &#233;tats stationnaires pour des syst&#232;mes finis coupl&#233;s &#224; plusieurs r&#233;servoirs.  <BR>   <B>M&#233;thodes semi-classiques</B>  Ce th&#232;me reste une des sp&#233;cificit&#233;s de l'&#233;quipe. Des outils math&#233;matiques fond&#233;s sur diff&#233;rentes formes de l'analyse micro-locale permettent d'&#233;tudier diff&#233;rents mod&#232;les de la physique quantique dont les &#233;chelles justifient ou n&#233;cessitent un traitement semi-classique. Parmi les programmes en cours d'&#233;tude, il faut citer:  <BR>   <B>*Quasi-Modes</B>  Le r&#244;le essentiel des quasi-modes et de leur d&#233;croissance exponentielle dans les r&#233;gions classiquement interdites de l'espace de phase a &#233;t&#233; mis en &#233;vidence par les travaux de Wilkinson; ce dernier a montr&#233; tout l'int&#233;r&#234;t de ce concept pour am&#233;liorer les bornes classiques du type Agmon sur le splitting des valeurs propres. M. Rouleux a donn&#233; les premi&#232;res justifications des travaux de Wilkinson en &#233;tudiant l'asymptotique microlocale des fonctions propres au bord des caustiques pour des &#233;tats semi-excit&#233;s associ&#233;s &#224; des puits de potentiels quadratiques [<A  HREF="node8.html#R3">108</A>]. Ce travail se prolonge dans [<A  HREF="node8.html#R4">109</A>], o&#249; M. Rouleux &#233;tablit une propri&#233;t&#233; int&#233;ressante des transformations de Birkhoff dans le cas d'un point fixe hyperbolique. Un th&#233;or&#232;me de C.L.&nbsp;Siegel montre que ces s&#233;ries sont g&#233;n&#233;ralement divergentes au voisinage d'un point fixe elliptique (probl&#232;me des petits diviseurs). Il s'av&#232;re que si l'on suppose au contraire que la matrice fondamentale n'a pas de valeurs propres imaginaires pures, ces transformations convergent au sens <IMG  WIDTH="30" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img76.gif"  ALT="$C^\infty$">. Ce r&#233;sultat donne des informations sur la structure des quasi-modes d'un op&#233;rateur de Schr&#246;dinger dans la r&#233;gion classiquement interdite.  Ind&#233;pendamment, et en collaboration avec A. Knauf, J. Asch a &#233;tudi&#233; la limite semi-classique du transport dans des cristaux, une situation o&#249; la dynamique classique est tr&#232;s complexe dans [<A  HREF="node8.html#A1">110</A>] et [<A  HREF="node8.html#A2">111</A>]. Ce programme doit &#234;tre poursuivi en utilisant les m&#233;thodes &#224; temps fini.  <BR>   <B>*R&#233;sonances en limite semi-classique</B>  M. Rouleux a &#233;tudi&#233; les r&#233;sonances dans l'approximation de Born-Oppenheimer cr&#233;&#233;es par l'interaction de 2 courbes &#233;lectroniques (ph&#233;nom&#232;ne de pr&#233;-dissociation mol&#233;culaire) [<A  HREF="node8.html#R1">112</A>]. Ce travail qui a pour but de donner une forme rigoureuse &#224; une propri&#233;t&#233; bien connue des physiciens (conjecture de Landau-Lipschitz), s'appuie sur des r&#233;sultats pr&#233;liminaires obtenus en collaboration avec N. Ka&#239;di.  <BR>   <B>*Mesures de Wigner</B>  L'utilisation des mesures de Wigner dans des probl&#232;mes de diffusion, en particulier pour l'&#233;quation de Schr&#246;dinger, a connu ces derni&#232;res ann&#233;es un renouveau particulier &#224; la suite des travaux de Tatar, G&#233;rard, Leichtnam, Lions, Paul, Uribe,...Dans [<A  HREF="node8.html#R2">113</A>], M. Rouleux a traduit les propri&#233;t&#233;s de scattering pour un op&#233;rateur de Schr&#246;dinger en termes de mesures de Wigner associ&#233;es &#224; l'&#233;volution des paquets d'ondes. Il introduit un concept de dissipativit&#233; locale inspir&#233; de la th&#233;orie ergodique classique, et analyse ses relations avec les propri&#233;t&#233;s des op&#233;rateurs de Schr&#246;dinger avec potentiels &#224; courte port&#233;e. En particulier il met en &#233;vidence le r&#244;le jou&#233; par par les exposants de Lyapunov du syst&#232;me classique dans l'asymptotique semi-classique.  <HR> <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html45"   HREF="node5.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next"  SRC="file:/usr/lib/latex2html/icons/next.png"></A>  <A NAME="tex2html43"   HREF="node1.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up"  SRC="file:/usr/lib/latex2html/icons/up.png"></A>  <A NAME="tex2html37"   HREF="node3.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous"  SRC="file:/usr/lib/latex2html/icons/prev.png"></A>    <BR> <B> Next:</B> <A NAME="tex2html46"   HREF="node5.html">G&#233;om&#233;trie diff&#233;rentielle et quantification</A> <B> Up:</B> <A NAME="tex2html44"   HREF="node1.html">SYST&#200;MES DYNAMIQUES QUANTIQUES ET</A> <B> Previous:</B> <A NAME="tex2html38"   HREF="node3.html">Syst&#232;mes dynamiques classiques</A> <!--End of Navigation Panel--> <ADDRESS> Denis Patrat 2001-05-22 </ADDRESS> </BODY> </HTML> 
