<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//IETF//DTD HTML 2.0//EN"> <!--Converted with LaTeX2HTML 96.1 (Feb 5, 1996) by Nikos Drakos (nikos@cbl.leeds.ac.uk), CBLU, University of Leeds --> <HTML> <HEAD> <TITLE>Introduction aux m&#233;thodes semiclassiques en chaos quantique</TITLE> <!-- Changed by: Amaury MOUCHET, 18-Mar-1998 --> <META NAME="description" CONTENT="Introduction aux m&#233;thodes semiclassiques en chaos quantique"> <META NAME="keywords" CONTENT="html_intro"> <META NAME="resource-type" CONTENT="document"> <META NAME="distribution" CONTENT="global"> <LINK REL=STYLESHEET HREF="html_intro.css"> </HEAD> <BODY LANG="EN">  <A NAME="tex2html5" HREF="node1.html"><IMG WIDTH=37 HEIGHT=24 ALIGN=BOTTOM ALT="next" SRC="next_motif.gif"></A> <IMG WIDTH=26 HEIGHT=24 ALIGN=BOTTOM ALT="up" SRC="up_motif_gr.gif"> <IMG WIDTH=63 HEIGHT=24 ALIGN=BOTTOM ALT="previous" SRC="previous_motif_gr.gif">   <BR> <B> Next:</B> <A NAME="tex2html6" HREF="node1.html">References</A> <BR> <P> <H1 ALIGN=CENTER>Introduction aux m&#233;thodes semiclassiques en chaos quantique</H1> <P ALIGN=CENTER><STRONG>Amaury MOUCHET</STRONG></P><P> <P ALIGN=CENTER><STRONG>novembre 1996</STRONG></P><P> <P> Le chaos quantique d&#233;signe  l'&#233;tude quantique des syst&#232;mes dont le comportement classique est  chaotique. En simplifiant &#224; l'extr&#234;me, on peut dire qu'il se d&#233;gage  deux &lt;&lt; philosophies &gt;&gt; compl&#233;mentaires pour t&#226;cher de comprendre  la physique de tels syst&#232;mes. La premi&#232;re est analogue &#224; celle des physiciens  qui, il y a un si&#232;cle, ont  introduit la notion d'ensemble statistique afin de d&#233;crire les propri&#233;t&#233;s thermodynamiques macroscopiques d'un syst&#232;me dont le comportement microscopique &#233;tait incommensurablement complexe &#224; cause du grand nombre de degr&#233;s de libert&#233; impliqu&#233;s. La d&#233;marche dont on conna&#238;t le succ&#232;s, consiste &#224; s'affranchir  d'une information microscopique, de toute fa&#231;on inessentielle, en substituant au manque d'information des lois de probabilit&#233; ne refl&#233;tant qu'un petit nombre de propri&#233;t&#233;s pertinentes. On  gagne ainsi en universalit&#233; ce que l'on perd en complexit&#233;. La th&#233;orie des matrices al&#233;atoires s'appuie sur la m&#234;me id&#233;e : ce n'est pas le d&#233;tail microscopique des hamiltoniens mis en jeu qui est important, mais plut&#244;t leurs sym&#233;tries globales. L'une des grandes r&#233;ussites de cette th&#233;orie est d'avoir montr&#233; qu'en imposant un petit nombre de contraintes sur une distribution suppos&#233;e al&#233;atoire des &#233;l&#233;ments de matrice de ces hamiltoniens, on pouvait rendre compte  de certaines propri&#233;t&#233;s universelles caract&#233;risant la nature chaotique ou int&#233;grable des syst&#232;mes complexes [Pour une introduction sur l'application de la th&#233;orie des matrices al&#233;atoires au chaos quantique, on pourra se reporter au cours de [<A HREF="node1.html#Bohigas89a">18</A>] et, pour une approche plus historique, &#224; [<A HREF="node1.html#Weidenmuller95a">75</A>]].  <P> Le second angle d'attaque consiste &#224; se placer plus explicitement  &#224; &lt;&lt; l'interface &gt;&gt; entre th&#233;orie classique et quantique. Le r&#233;gime, appel&#233; semiclassique, dans lequel ces deux th&#233;ories se recouvrent, correspond &#224; des syst&#232;mes dont les actions mises en jeu sont beaucoup plus grandes que la constante de Planck&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  > . Contrairement &#224; ce qui se produit en comparant th&#233;ories  (classiques) relativiste et non relativiste o&#249; les comportements des observables quand la vitesse de la lumi&#232;re&nbsp; <IMG WIDTH=60 HEIGHT=18 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1115" SRC="img2.gif"  >  sont bien d&#233;finis, la limite semiclassique&nbsp; <IMG WIDTH=41 HEIGHT=12 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1117" SRC="img3.gif"  >  est hautement singuli&#232;re et refl&#232;te la dichotomie qu'il y a entre nos visions classique et quantique [voir &#224; ce sujet l'excellente introduction &lt;&lt; Theories as limits of other theories &gt;&gt; du cours de [<A HREF="node1.html#Berry89a">9</A>]]. La motivation des th&#233;ories semiclassiques est justement d'&#233;tablir des ponts entre ces deux derni&#232;res et c'est dans ce cadre que se situe le travail pr&#233;sent&#233; dans cette th&#232;se. Auparavant, esquissons bri&#232;vement un tableau de la physique semiclassique.    De prime abord  la m&#233;canique classique a &#233;videmment fourni  les premiers points d'ancrage aux pionniers fondateurs des th&#233;ories quantiques. Si le principe de correspondance, &#233;nonc&#233; dans sa version quasi-d&#233;finitive par Bohr&nbsp;[<A HREF="node1.html#Jammer66a">37</A>, &#167;3.2,], apparaissait somme toute assez naturel puisque le monde macroscopique&nbsp;--&nbsp;d&#233;fini par un r&#233;gime d'actions infiniment plus grandes que&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  > &nbsp;-- restait d&#233;crit correctement par la th&#233;orie classique, les r&#232;gles empiriques de quantification  propos&#233;es essentiellement par Sommerfeld&nbsp;[<A HREF="node1.html#Jammer66a">37</A>, &#167;3.1,] n'&#233;taient pas, quant &#224; elles, sans soulever de nombreuses difficult&#233;s. Difficult&#233;s th&#233;oriques d'une part puisque, m&#234;me en ce qui concernait les syst&#232;mes o&#249; elles permettaient de reproduire correctement les  raies des atomes hydrog&#233;no&#239;des, ces r&#232;gles ne s'appuyaient  pas sur une justification  satisfaisante. Difficult&#233;s pratiques d'autre part, puisqu'une formulation g&#233;n&#233;rale faisait cruellement d&#233;faut. Plus pr&#233;cis&#233;ment, dans la th&#233;orie dite de Bohr-Sommerfeld d&#233;crivant les &#233;tats li&#233;s d'un syst&#232;me &#224; un degr&#233; de libert&#233;, on maintenait les &#233;quations d'&#233;volution classiques pour les variables canoniques&nbsp;(<I>p</I>,<I>q</I>) mais on ne conservait parmi leurs solutions que celles      telles que   <P><A NAME="BohrSommerfeld">&#160;</A> <IMG WIDTH=507 HEIGHT=43 ALIGN=BOTTOM ALT="equation120" SRC="img4.gif"  > <P> o&#249;&nbsp;<I>T</I> est la p&#233;riode du mouvement classique. La g&#233;n&#233;ralisation de cette r&#232;gle aux syst&#232;mes s&#233;parables multidimensionnels propos&#233;e par Sommerfeld, Wilson, Schwarzschild et Epstein [<A HREF="node1.html#Jammer66a">37</A>, &#167;3.1,] en imposant la condition&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#BohrSommerfeld">1</A>) pour chaque degr&#233; de libert&#233; restait trop restrictive et de surcro&#238;t introduisait un syst&#232;me privil&#233;gi&#233; de coordonn&#233;es dans l'espace des  phases. [<A HREF="node1.html#Einstein17a">31</A>] [[<A HREF="node1.html#Percival77a">56</A>, pour une mise en relief moderne de ce travail,]voir] a montr&#233;   que l'on pouvait lever cette derni&#232;re difficult&#233; et g&#233;n&#233;raliser les r&#232;gles pr&#233;c&#233;dentes en imposant des conditions de quantification portant des invariants int&#233;graux&nbsp;: <P><A NAME="Einstein">&#160;</A> <IMG WIDTH=544 HEIGHT=38 ALIGN=BOTTOM ALT="equation134" SRC="img5.gif"  > <P> o&#249;&nbsp;<font size=-1><small>D</small></font> est le nombre de degr&#233;s de libert&#233;. Ces conditions s'appliquent non seulement aux syst&#232;mes s&#233;parables mais en fait d&#232;s que l'&#233;volution dans l'espace des phases reste born&#233;e et int&#233;grable. Dans ce cas, en vertu du th&#233;or&#232;me de Liouville&nbsp;[<A HREF="node1.html#Arnold78a">5</A>, &#167;49,], l'espace des phases est feuillet&#233; en tores labell&#233;s par les&nbsp;<font size=-1><small>D</small></font> constantes du mouvement&nbsp; <IMG WIDTH=122 HEIGHT=41 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1125" SRC="img6.gif"  > . Pour chaque valeur de&nbsp;<I>C</I>, on peut choisir une famille quelconque  <IMG WIDTH=71 HEIGHT=25 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1129" SRC="img7.gif"  >  de&nbsp;<font size=-1><small>D</small></font> lacets trac&#233;s sur chaque tore associ&#233; &#224;&nbsp;<I>C</I> et homotopiquement distincts. Les  valeurs de&nbsp;<I>C</I> quantiquement observ&#233;es sont alors telles que les conditions&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#Einstein">2</A>) soient toutes r&#233;alis&#233;es et ne sont donc s&#233;lectionn&#233;es que par valeurs discr&#232;tes. Le grand m&#233;rite de cette formulation &#233;tait que non seulement elle &#233;largissait la classe des syst&#232;mes quantifiables mais qu'en outre elle &#233;tait explicit&#233;e dans un langage g&#233;om&#233;trique, c'est &#224; dire ind&#233;pendant du syst&#232;me de coordonn&#233;es choisi dans l'espace des phases. Cependant, et Einstein lui m&#234;me le soulignait, une telle formulation perdait son sens pour quantifier des syst&#232;mes non int&#233;grables et notamment les syst&#232;mes ergodiques qui, par ailleurs, jouaient un r&#244;le crucial  dans les fondements de la physique statistique microcanonique. <P> Si, on le voit, les premiers balbutiements de la m&#233;canique quantique consistaient essentiellement &#224; ne retenir parmi les solutions classiques qu'un nombre discret d'entre elles au moyen de conditions <I>ad hoc</I> d&#233;pendant de&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  > , les approches  ult&#233;rieures&nbsp;--&nbsp;dues d'une part &#224; Heisenberg, Born et  Jordan&nbsp;[<A HREF="node1.html#Jammer66a">37</A>, &#167;5.1,]&nbsp;[<A HREF="node1.html#VanderWaerden67a">70</A>, part.&nbsp;II,] qui les ont formul&#233;es dans un langage matriciel et, d'autre part, &#224; De Broglie et Schr&#246;dinger&nbsp;[<A HREF="node1.html#Jammer66a">37</A>, &#167;5.3,]  o&#249; le statut ondulatoire de la th&#233;orie fut d&#233;finitivement &#233;tabli&nbsp;--&nbsp;s'&#233;cartaient drastiquement des concepts classiques tant par la nature des observables que par leur interpr&#233;tation. La seule r&#233;f&#233;rence &#224; la th&#233;orie classique dans la formulation de [<A HREF="node1.html#Dirac58a">28</A>], unifiant m&#233;canique matricielle et ondulatoire, &#233;tait une formulation plus quantitative du principe de correspondance &#224; savoir un ensemble de r&#232;gles plus ou moins ambigu&#235;s permettant de construire les  observables quantiques &#224; partir de leurs analogues classiques. Le statut de la physique classique pour d&#233;crire le monde microscopique a bascul&#233; d'autant plus vite vers un r&#244;le apparemment secondaire qu'est apparue tr&#232;s t&#244;t la n&#233;cessit&#233; d'introduire des observables, les spins, n'ayant aucun analogue classique. Malgr&#233; tout, un bon nombre d'approches, dont les m&#233;thodes introduites par Born et Oppenheimer en 1927&nbsp;[<A HREF="node1.html#Messiah65a">49</A>, vol.2, chap&nbsp;XVIII, &#167;16,] repr&#233;sentent la meilleure illustration, continuaient &#224; m&#233;ler de mani&#232;re quelque peu hybride observables classiques et observables quantiques. <P> Ces bouleversements th&#233;oriques ont donn&#233; une nouvelle ampleur &#224; la question de savoir comment la d&#233;marche classique pouvait &#234;tre justifi&#233;e aux &#233;chelles macroscopiques &#224; partir de la th&#233;orie quantique. En effet, il ne s'agissait plus alors d'affirmer simplement que l'on retrouvait la continuit&#233; classique d&#232;s lors que les &#233;carts entre valeurs autoris&#233;es des invariants int&#233;graux devenaient n&#233;gligeables en m&#234;me temps que&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  > , mais il fallait d&#233;sormais donner un sens &#224; la limite semiclassique des solutions de l'&#233;quation de Schr&#246;dinger. La difficult&#233; essentielle, qui est &#224; l'origine de l'ensemble des th&#233;ories semiclassiques, est que cette &#233;quation ne se pr&#232;te pas &#224; une approche perturbative quand&nbsp; <IMG WIDTH=41 HEIGHT=12 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1117" SRC="img3.gif"  > . Cela peut s'interpr&#233;ter physiquement de la fa&#231;on suivante&nbsp;: m&#234;me si l'on peut, en vertu du comportement des in&#233;galit&#233;s d'Heisenberg quand&nbsp; <IMG WIDTH=41 HEIGHT=12 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1117" SRC="img3.gif"  > , donner un sens &#224; un &lt;&lt;&nbsp;&#233;tat initial classique&nbsp;&gt;&gt; en fixant simultan&#233;ment la position et l'impulsion du syst&#232;me et s'assurer gr&#226;ce au th&#233;or&#232;me  d'Ehrenfest  [<A HREF="node1.html#CohenTannoudji80a">24</A>, chap.&nbsp;III &#167;D.1.d,]Voir par exemple  que les valeurs moyennes des observables suivent les lois du mouvement classique, l'&#233;talement du paquet d'onde au cours du temps d&#233;truit en g&#233;n&#233;ral l'&#233;tat classique lorsque l'on regarde l'&#233;volution du syst&#232;me pendant un temps suffisamment long&nbsp;<A NAME="tex2html1" HREF="footnode.html#348"><IMG  ALIGN=BOTTOM ALT="gif" SRC="foot_motif.gif"></A>. Pourvu que l'on ma&#238;trise bien l'ordre des limites&nbsp; <IMG WIDTH=41 HEIGHT=12 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1117" SRC="img3.gif"  >  et&nbsp; <IMG WIDTH=46 HEIGHT=10 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1145" SRC="img8.gif"  > , on est cependant capable de construire des &#233;tats quantiques dont la dynamique rev&#234;t indiscutablement certains aspects classiques. Depuis l'introduction des premiers &#233;tats coh&#233;rents par Schr&#246;dinger en 1927, un large travail s'est &#233;tendu autour des  repr&#233;sentations des &#233;tats dans l'espace des phases ainsi que de  leur &#233;volution temporelle&nbsp;[<A HREF="node1.html#Perelomov86a">57</A>, <A HREF="node1.html#Heller89a">36</A>].  Ce domaine de recherche reste encore en pleine activit&#233; et a permis de d&#233;velopper des outils efficaces permettant de mieux comprendre une vaste gamme de ph&#233;nom&#232;nes notamment en optique quantique. En outre, la d&#233;couverte des cicatrices&nbsp;[<A HREF="node1.html#Heller89a">36</A>, &#167;7.3,]voir par exemple, c'est &#224; dire des &#233;tats stationnaires quantiques  localis&#233;s au niveau des orbites p&#233;riodiques classiques,  a renforc&#233; encore plus la conviction que la m&#233;canique classique restait un guide incontournable. <P> Une approche compl&#233;mentaire due &#224; [<A HREF="node1.html#Jeffreys25a">39</A>],  [<A HREF="node1.html#Kramers26a">44</A>], [<A HREF="node1.html#Brillouin26a">20</A>] et  [<A HREF="node1.html#Wentzel26a">76</A>] fut de construire directement  des solutions approch&#233;es de l'&#233;quation de Schr&#246;dinger en utilisant des techniques eikonales  d&#233;velopp&#233;es hors du contexte quantique par Debye  en particulier&nbsp;[<A HREF="node1.html#Jammer66a">37</A>, &#167;5.3,]. L'id&#233;e sous-jacente de la th&#233;orie&nbsp;(<font size=-1><small>J</small></font>)<font size=-1><small>WKB</small></font>  est d'obtenir la m&#233;canique classique comme approximation de la  m&#233;canique quantique quand la longueur d'onde de De Broglie est petite devant les &#233;chelles classiques de la m&#234;me fa&#231;on que l'on retrouve l'optique g&#233;om&#233;trique &#224; partir de l'optique ondulatoire quand la longueur d'onde de la lumi&#232;re est infime. En &#233;crivant une solution de l'&#233;quation  Schr&#246;dinger sous la forme  <P><A NAME="psiwkb">&#160;</A> <IMG WIDTH=500 HEIGHT=28 ALIGN=BOTTOM ALT="equation175" SRC="img9.gif"  > <P> o&#249;&nbsp;<I>A</I> et&nbsp;<I>S</I> sont deux fonctions lisses de leurs arguments, on peut en effet montrer que, sous des hypoth&#232;ses tr&#232;s larges et lorsque&nbsp; <IMG WIDTH=41 HEIGHT=12 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1117" SRC="img3.gif"  > , <I>S</I>&nbsp;v&#233;rifie l'&#233;quation de Hamilton-Jacobi du probl&#232;me classique associ&#233; et repr&#233;sente donc en premi&#232;re approximation une action classique. Plus pr&#233;cis&#233;ment,  <IMG WIDTH=10 HEIGHT=24 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1157" SRC="img10.gif"  > &nbsp;d&#233;crit un fluide de particules classiques ind&#233;pendantes et les densit&#233;s de particules et de courant de ce fluide en chaque point de l'espace sont &#224; tout instant respectivement &#233;gales &#224; la densit&#233; de probabilit&#233; et de courant de probabilit&#233; de la particule quantique en ce point&nbsp;[<A HREF="node1.html#Messiah65a">49</A>, chap.&nbsp;VI,]. En outre, [<A HREF="node1.html#Brillouin26b">21</A>] et, bien plus tard mais sur des bases plus solides [<A HREF="node1.html#Keller58a">40</A>],  ont montr&#233; par ces techniques que les conditions aux limites impos&#233;es par un potentiel int&#233;grable et confinant  sur les fonctions d'onde&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#psiwkb">3</A>) conduisaient aux  contraintes d'Einstein&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#Einstein">2</A>) qui deviennent donc des  &#233;quations  non plus exactes mais semiclassiques (appel&#233;es &#233;quations&nbsp;<font size=-1><small>EBK</small></font>). Le bon accord entre&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#Einstein">2</A>) et l'exp&#233;rience dans bon nombre de situations justifient donc l'approximation&nbsp;<font size=-1><small>WKB</small></font>. Un autre r&#233;sultat semiclassique, qui suit les travaux pr&#233;c&#233;dents, est d&#251; &#224; [<A HREF="node1.html#VanVleck28a">71</A>] qui donne une approximation non pas des fonctions d'onde mais des propagateurs de l'&#233;quation de Schr&#246;dinger. Si&nbsp;<I>U</I>(<I>t</I>) d&#233;note l'op&#233;rateur d'&#233;volution du syst&#232;me au temps&nbsp;<I>t</I>, son &#233;l&#233;ment de matrice entre le  bra&nbsp; <IMG WIDTH=25 HEIGHT=25 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1163" SRC="img11.gif"  >  et le ket&nbsp; <IMG WIDTH=21 HEIGHT=24 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1165" SRC="img12.gif"  >  est approximativement donn&#233; par <P><A NAME="vanvleck">&#160;</A> <IMG WIDTH=543 HEIGHT=51 ALIGN=BOTTOM ALT="equation191" SRC="img13.gif"  > <P> quand&nbsp; <IMG WIDTH=41 HEIGHT=12 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1117" SRC="img3.gif"  > . La somme porte sur toutes les trajectoires classiques&nbsp; <IMG WIDTH=5 HEIGHT=10 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1173" SRC="img14.gif"  >  reliant&nbsp;<I>q</I>' &#224;&nbsp;<I>q</I> en un temps&nbsp;<I>t</I> et&nbsp; <IMG WIDTH=14 HEIGHT=25 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1181" SRC="img15.gif"  >  repr&#233;sente l'action classique le long de&nbsp; <IMG WIDTH=5 HEIGHT=10 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1173" SRC="img14.gif"  >  consid&#233;r&#233;e comme fonction de ses extr&#233;mit&#233;s.  <IMG WIDTH=12 HEIGHT=15 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1185" SRC="img16.gif"  >  est un entier d&#233;pendant uniquement du nombre et de la dimension des caustiques du flot hamiltonien classique rencontr&#233;es par&nbsp; <IMG WIDTH=5 HEIGHT=10 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1173" SRC="img14.gif"  > &nbsp;<A NAME="tex2html2" HREF="footnode.html#355"><IMG  ALIGN=BOTTOM ALT="gif" SRC="foot_motif.gif"></A>. <P> On arrive ainsi au c <IMG WIDTH=12 HEIGHT=8 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap1309" SRC="img18.gif"  >  ur de la probl&#233;matique  moderne des th&#233;ories  semiclassiques. La limite de quantit&#233;s construites &#224; partir des &#233;tats quantiques est singuli&#232;re quand&nbsp; <IMG WIDTH=41 HEIGHT=12 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1117" SRC="img3.gif"  >  et cette singularit&#233; se traduit par des termes oscillants &#224; une fr&#233;quence proportionnelle &#224;&nbsp; <IMG WIDTH=25 HEIGHT=24 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1201" SRC="img19.gif"  >  comme on le voit sur&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#psiwkb">3</A>) et&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#vanvleck">4</A>).  On est conduit alors &#224; s'interroger sur la possibilit&#233; de   g&#233;n&#233;raliser des expressions comme celle obtenue par Van Vleck qui, pour&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  >  fix&#233; mais petit devant les actions classiques, permet de calculer dans une excellente approximation une quantit&#233; quantique &#224; partir de&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  >  et d'ingr&#233;dients uniquement classiques. Il reste &#233;tonnant qu'il ait fallu attendre  quarante ans pour que les travaux pr&#233;curseurs de Jeffreys,  Kramers, Brillouin, Wentzel et Van Vleck se trouvent consid&#233;rablement enrichis tant par  une meilleure compr&#233;hension de la dynamique quantique et classique que par  un &#233;largissement de leurs domaines d'applications. <P> Les travaux de Maslov&nbsp;[<A HREF="node1.html#MaslovFedoriuk81a">48</A>] ont donn&#233; &#224;  l'approximation semiclassique des fondements math&#233;matiques plus rigoureux notamment en contr&#244;lant mieux les erreurs induites par des substituts de la forme&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#psiwkb">3</A>). Plus pr&#233;cis&#233;ment, Maslov a montr&#233; que les amplitudes des termes rapidement oscillant pouvaient chacune s'&#233;crire comme un d&#233;veloppement asymptotique en puissances de&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  >  dont le terme dominant conduit &#224; l'interpr&#233;tation semiclassique&nbsp;<font size=-1><small>WKB</small></font> rappel&#233;e ci-dessus. En outre, la formulation de Feynman de la m&#233;canique quantique&nbsp;[<A HREF="node1.html#FeynmanHibbs65a">32</A>], inspir&#233;e directement  du principe de Huygens-Fresnel&nbsp;[<A HREF="node1.html#Arnold78a">5</A>, &#167;46,]la  discussion de ce principe  dans le contexte de la m&#233;canique classique peut-&#234;tre trouv&#233;e dans  &#224; la suite d'une remarque de Dirac, permet de mieux comprendre d'un point de vue physique pourquoi la dynamique classique structure au moins partiellement la dynamique quantique. En effet, on peut souvent &#233;crire une quantit&#233; quantique&nbsp; <IMG WIDTH=32 HEIGHT=24 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1209" SRC="img20.gif"  >  comme r&#233;sultat d'une interf&#233;rence entre chemins de l'espace des phases appartenant &#224; un ensemble&nbsp; <IMG WIDTH=9 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1211" SRC="img21.gif"  >  mais non contraints de v&#233;rifier un principe de moindre action.  Par exemple, <P><A NAME="chemins">&#160;</A> <IMG WIDTH=586 HEIGHT=42 ALIGN=BOTTOM ALT="equation218" SRC="img22.gif"  > <P> o&#249;&nbsp; <IMG WIDTH=12 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1215" SRC="img23.gif"  >  est une &lt;&lt;&nbsp;mesure&nbsp;&gt;&gt; de Feynman d&#233;finie sur  l'ensemble&nbsp; <IMG WIDTH=9 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1211" SRC="img21.gif"  >  <A NAME="tex2html3" HREF="footnode.html#357"><IMG  ALIGN=BOTTOM ALT="gif" SRC="foot_motif.gif"></A>. <I>F</I> et&nbsp;<I>W</I> sont deux fonctionnelles des chemins&nbsp;[<I>p</I>(<I>t</I>),<I>q</I>(<I>t</I>)] et <I>F</I> d&#233;pendant de fa&#231;on lisse de&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  > . Les contributions principales &#224; l'int&#233;grale&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#chemins">5</A>) proviennent du bord de&nbsp; <IMG WIDTH=9 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1211" SRC="img21.gif"  >  mais aussi des chemins de&nbsp; <IMG WIDTH=9 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1211" SRC="img21.gif"  >  o&#249; la phase&nbsp;<I>W</I> est stationnaire, c'est &#224; dire que l'on s&#233;lectionne ainsi dans&nbsp; <IMG WIDTH=9 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1211" SRC="img21.gif"  >  les solutions&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=15 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1237" SRC="img24.gif"  >  classiques qui rendent&nbsp;<I>W</I> extr&#233;mal. La mise en  <IMG WIDTH=12 HEIGHT=8 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap1309" SRC="img18.gif"  >  uvre explicite de l'approximation de la phase stationnaire conduit donc &#224; un d&#233;veloppement du type <P><A NAME="scformula">&#160;</A> <IMG WIDTH=511 HEIGHT=41 ALIGN=BOTTOM ALT="equation230" SRC="img25.gif"  > <P> o&#249;&nbsp; <IMG WIDTH=32 HEIGHT=28 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1245" SRC="img26.gif"  >  repr&#233;sente la contributions des termes de bord.  <IMG WIDTH=11 HEIGHT=28 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1247" SRC="img27.gif"  > &nbsp;et les amplitudes&nbsp;<I>A</I> sont des fonctions de&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  >  au moins continues au voisinage de&nbsp;0. En ne conservant que les termes d'ordre dominant en&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  > , on retrouve alors le d&#233;veloppement&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#vanvleck">4</A>) puisque dans ce cas les termes de bords sont absents et que&nbsp; <IMG WIDTH=236 HEIGHT=33 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1257" SRC="img28.gif"  >  o&#249;&nbsp;<I>H</I> est le hamiltonien classique associ&#233; &#224; la dynamique quantique d&#233;finie par&nbsp;<I>U</I>. Les d&#233;veloppements asymptotiques de Maslov s'obtiennent en poussant formellement l'approximation de la phase stationnaire &#224; tous les ordres en&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  > . <P> La deuxi&#232;me quantit&#233; quantique &#224; avoir &#233;t&#233; calcul&#233;e semiclassiquement est la fonction&nbsp;<I>N</I>(<I>E</I>) qui compte le nombre de niveaux d'&#233;nergie inf&#233;rieure &#224;&nbsp;<I>E</I> pour un syst&#232;me li&#233;. La densit&#233; de niveaux d'&#233;nergie s'obtient par&nbsp; <IMG WIDTH=82 HEIGHT=41 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1269" SRC="img29.gif"  >  qui s'exprime en fonction du spectre&nbsp; <IMG WIDTH=112 HEIGHT=25 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1271" SRC="img30.gif"  >  par le peigne de Dirac : <P> <IMG WIDTH=500 HEIGHT=36 ALIGN=BOTTOM ALT="equation242" SRC="img31.gif"  > <P> De fa&#231;on plus g&#233;n&#233;rale, la d&#233;termination du spectre d'un op&#233;rateur diff&#233;rentiel est un probl&#232;me central dans maints domaines de la physique&nbsp;[<A HREF="node1.html#BaltesHilf76a">7</A>]voir l'introduction de et son comportement asymptotique pour de grands vecteurs d'onde fournit d&#233;j&#224; bon nombre d'indications pr&#233;cieuses. Dans le cas de&nbsp;<I>N</I>(<I>E</I>) et de&nbsp; <IMG WIDTH=32 HEIGHT=24 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1275" SRC="img32.gif"  >  on peut montrer que les termes de bords sont non seulement pr&#233;sents mais qu'en outre ils dominent  les contributions oscillantes &#224; la limite semiclassique. &#192; l'ordre le plus &#233;lev&#233;,  <IMG WIDTH=32 HEIGHT=24 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1277" SRC="img33.gif"  >  s'obtient en divisant le volume  dans l'espace des phases de la couche d'&#233;nergie&nbsp;<I>E</I> par le volume d'occupation minimal d'un &#233;tat individuel autoris&#233; par les in&#233;galit&#233;s d'Heisenberg. Si&nbsp;<font size=-1><small>D</small></font> est le nombre de degr&#233;s de libert&#233; et&nbsp;<I>H</I> le hamiltonien classique, alors 2 <P> <IMG WIDTH=526 HEIGHT=37 ALIGN=BOTTOM ALT="equation250" SRC="img34.gif"  > <P> Le premier r&#233;sultat de ce genre a &#233;t&#233; obtenu par Weyl  pour le spectre du Laplacien dans un domaine compact. La dynamique classique associ&#233;e correspond alors &#224; une particule libre rebondissant sp&#233;culairement sur les parois du domaine, autrement dit &#224; la dynamique  &#224; l'int&#233;rieur d'un billard. Le probl&#232;me de Weyl a &#233;t&#233; abondamment &#233;tudi&#233; et &#233;largi&nbsp;[<A HREF="node1.html#BaltesHilf76a">7</A>]. Notamment on a cherch&#233; &#224; obtenir et &#224; interpr&#233;ter les ordres suivants du d&#233;veloppement asymptotique semiclassique de&nbsp; <IMG WIDTH=32 HEIGHT=24 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1277" SRC="img33.gif"  >  qui dans le cas du billard bidimensionnel  d&#233;pendent essentiellement  de sa forme (longueur du p&#233;rim&#232;tre, genre, etc.). La g&#233;n&#233;ralisation de ces r&#233;sultats donne lieu encore &#224; de nombreuses questions  ouvertes&nbsp;[<A HREF="node1.html#EckmannPillet95a">30</A>]Voir par exemple. <P> Si l'on veut non seulement rendre compte du comportement moyen de&nbsp;<I>Q</I> mais &#233;galement des fluctuations oscillantes&nbsp; <IMG WIDTH=97 HEIGHT=41 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1287" SRC="img35.gif"  > ,  on a vu qu'une connaissance de la structure des trajectoires classiques&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=15 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1237" SRC="img24.gif"  >  s'imposait. Or, le comportement de la dynamique classique d'un syst&#232;me d&#233;pend avant tout du nombre de constantes du mouvement impliqu&#233;es&nbsp;: si dans le cas int&#233;grable les trajectoires dans l'espace des phases s'organisent en famille r&#233;parties sur les tores de Liouville d&#233;crits plus haut, on sait depuis [<A HREF="node1.html#Poincare57a">58</A>] que g&#233;n&#233;riquement ces structures r&#233;guli&#232;res sont absentes de l'espace des phases. On comprend alors pourquoi les sommes intervenant dans l'expression semiclassique de&nbsp; <IMG WIDTH=28 HEIGHT=24 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1291" SRC="img36.gif"  >  d&#233;pendent de mani&#232;re cruciale du caract&#232;re int&#233;grable ou chaotique de la dynamique classique associ&#233;e au probl&#232;me quantique initial. Le premier calcul semiclassique de&nbsp; <IMG WIDTH=28 HEIGHT=24 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1291" SRC="img36.gif"  >  a &#233;t&#233; obtenu par [<A HREF="node1.html#Gutzwiller71a">35</A>] qui a donn&#233; une expression explicite de&nbsp; <IMG WIDTH=25 HEIGHT=16 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1295" SRC="img37.gif"  >  en termes des seules structures invariantes pr&#233;sentes dans l'espace des phases lorsque la dynamique est compl&#232;tement chaotique&nbsp;: les orbites p&#233;riodiques classiques. Le d&#233;veloppement analogue lorsque le syst&#232;me est int&#233;grable est d&#251; &#224; B<font size=-1><small>ERRY</small></font> et  T<font size=-1><small>ABOR</small></font>&nbsp;[<A HREF="node1.html#BerryTabor76a">12</A>, <A HREF="node1.html#BerryTabor77a">13</A>] qui ont montr&#233; que les orbites classiques&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=15 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1237" SRC="img24.gif"  >  qui interviennent dans&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#scformula">6</A>) se regroupent sur les tores s&#233;lectionn&#233;s pr&#233;cis&#233;ment par les conditions  d'Einstein&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#Einstein">2</A>)&nbsp;<A NAME="tex2html4" HREF="footnode.html#366"><IMG  ALIGN=BOTTOM ALT="gif" SRC="foot_motif.gif"></A>. Un grand nombre de travaux, th&#233;oriques, num&#233;riques et  exp&#233;rimentaux&nbsp;[<A HREF="node1.html#Giannoni91a">34</A>, <A HREF="node1.html#CasatiChirikov95b">22</A>]voir par exemple ont confirm&#233; la pertinence de ces approches semiclassiques qui apportent &#224; la th&#233;orie un support &lt;&lt;&nbsp;intuitif&nbsp;&gt;&gt; classique permettant d'&#233;clairer des notions souvent difficiles &#224; saisir quantiquement. De nombreux domaines sont directement  concern&#233;s, en particulier la physique atomique &#224; petits degr&#233;s de libert&#233;&nbsp;[atome d'hydrog&#232;ne en champ  magn&#233;tique&nbsp;[<A HREF="node1.html#Delande89a">27</A>], atome d'h&#233;lium&nbsp;[<A HREF="node1.html#Wintgen92a">77</A>]], la physique nucl&#233;aire&nbsp;[<A HREF="node1.html#Strutinsky77a">67</A>]par exemple  ainsi que celle des agr&#233;gats&nbsp;[<A HREF="node1.html#Brack93a">19</A>]. <P> La reconstruction  de quantit&#233;s quantiques &#224; partir d'ingr&#233;dients classiques s'accompagne de difficult&#233;s consid&#233;rables qui ne sont &#224; ce jour que partiellement ma&#238;tris&#233;es et ce, d'autant plus que les multiples d&#233;veloppements de la th&#233;orie des syst&#232;mes dynamiques&nbsp;[<A HREF="node1.html#Berry78a">8</A>, <A HREF="node1.html#LichtenbergLieberman83a">46</A>, <A HREF="node1.html#MackayMeiss87a">47</A>, <A HREF="node1.html#MeyerHall92a">50</A>]  ont r&#233;v&#233;l&#233; la complexit&#233; des solutions des &#233;quations classiques d'o&#249; a d'ailleurs &#233;merg&#233; la notion moderne de chaos. Tout d'abord les travaux initi&#233;s par [<A HREF="node1.html#Poincare57a">58</A>], [<A HREF="node1.html#Kolmogorov54a">43</A>], [<A HREF="node1.html#Arnold63a">3</A>] et  [<A HREF="node1.html#Moser62a">52</A>] ont montr&#233; que g&#233;n&#233;riquement les trajectoires classiques, m&#234;me dans les cas proches de l'int&#233;grabilit&#233;,  s'organisent en structures m&#233;lant de fa&#231;on fractale la dynamique r&#233;guli&#232;re et la dynamique chaotique. Ce r&#233;gime qualifi&#233;  de mixte rend extr&#234;mement d&#233;licate l'&#233;criture explicite de&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#scformula">6</A>) et a fortiori son calcul num&#233;rique. En effet, la pr&#233;sence de nombreuses bifurcations d&#232;s qu'une perturbation est introduite modifie drastiquement le nombre et la nature des trajectoires&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=15 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1237" SRC="img24.gif"  >  sur lesquelles porte la somme.  Or, par opposition au comportement extr&#234;mement singulier  de la dynamique classique, on s'attend &#224; ce que le caract&#232;re ondulatoire quantique lisse les d&#233;tails aux  &#233;chelles plus petites que la longueur d'onde de De&nbsp;Broglie. Il est donc clair qu'il faille raffiner l'approche originelle de Gutzwiller si l'on veut esp&#233;rer d&#233;crire semiclassiquement la r&#233;gularit&#233; de la transition chaotique/int&#233;grable  au niveau quantique. C'est dans ce riche contexte que s'inscrivent de multiples travaux comme ceux de&nbsp;[<A HREF="node1.html#OzorioHannay87a">54</A>],  de&nbsp;[<A HREF="node1.html#Tomsovic95a">68</A>]  ainsi que le chapitre&nbsp;II du pr&#233;sent  m&#233;moire. <P> Les situations o&#249; la dynamique est compl&#232;tement chaotique&nbsp;[billards de Sinai, de Bunimovich [<A HREF="node1.html#Wojtkowski86a">78</A>, <A HREF="node1.html#Kollmann94a">41</A>, ainsi que leurs r&#233;f&#233;rences, dans le contexte classique et semiclassique respectivement.,]voir, dynamique sur une surface &#224; courbure n&#233;gative constante&nbsp;[<A HREF="node1.html#Bogomolny95a">15</A>], etc.] permettent  d'&#233;viter les &#233;cueils provenant des r&#233;gions correspondant &#224; un r&#233;gime mixte. En effet, dans ce cas les orbites p&#233;riodiques sont isol&#233;es et stables par perturbation, les amplitudes associ&#233;es &#224; chacune d'entre elles dans la formule de Gutzwiller ne divergent donc pas. En revanche, le nombre de termes oscillants reste en g&#233;n&#233;ral prohibitif car la d&#233;termination des  longues trajectoires est souvent extr&#234;mement difficile. Un moyen de surmonter ces obstacles est de travailler avec des syst&#232;mes dont les &#233;quations d'&#233;volution classique sont bien ma&#238;tris&#233;es (billards, syst&#232;mes puls&#233;s, dynamique symbolique, fonction&nbsp; <IMG WIDTH=7 HEIGHT=22 ALIGN=MIDDLE ALT="tex2html_wrap_inline1301" SRC="img38.gif"  >  de Riemann etc.). La pr&#233;sence d'un codage, m&#234;me approximatif, permet parfois de dresser un inventaire des contributions oscillantes suffisant pour obtenir des r&#233;sultats satisfaisants. Un grand pas dans la compr&#233;hension de ces probl&#232;mes a &#233;t&#233; fait  par&nbsp;[<A HREF="node1.html#Voros92a">73</A>] et [<A HREF="node1.html#BerryKeating90a">11</A>] qui ont montr&#233; que dans le cas compl&#232;tement chaotique on pouvait resommer l'ensemble des termes correspondant &#224;  de longues p&#233;riodes car ces derniers contiennent une information redondante vis a vis de celle d&#233;j&#224; pr&#233;sente  dans les autres termes y compris les termes de Weyl&nbsp;[<A HREF="node1.html#BerryHowls94a">10</A>]. Dans le cas int&#233;grable, on peut formuler des conditions exactes de quantification de type <font size=-1><small>WKB</small></font>  en mettant &#224; profit l&#224; aussi des propri&#233;t&#233;s de r&#233;surgence&nbsp;[<A HREF="node1.html#Voros83a">72</A>, <A HREF="node1.html#Voros94b">74</A>]. De fa&#231;on g&#233;n&#233;rale, &#224; cause des propri&#233;t&#233;s analytiques des fonctions mises en jeu, il faut s'attendre &#224; ce qu'un sous-ensemble des trajectoires classiques code, de mani&#232;re le plus souvent tr&#232;s subtile et mal comprise, une partie de l'information totale.  Comme l'ont d'ailleurs montr&#233; B<font size=-1><small>ALIAN</small></font> et  B<font size=-1><small>LOCH</small></font>&nbsp;[<A HREF="node1.html#BalianBloch72a">6</A>, &#167;3,&#167;4 et &#167;12,], l'inclusion de solutions complexes aux &#233;quations classiques dans les sommes&nbsp;(<A HREF="html_intro.html#scformula">6</A>) permet de retrouver semiclassiquement sinon toute, une bonne partie de l'information quantique pour des valeurs arbitraires de&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  > . <P> Cette information peut s'exprimer sous la forme de nombreuses propri&#233;t&#233;s a priori  tr&#232;s profond&#233;ment ancr&#233;es au niveau quantique. C'est le cas  notamment de l'effet tunnel qui par d&#233;finition reste inaccessible &#224; une approche purement classique. Pour retrouver les effets qui bien qu'exponentiellement petits jouent souvent un r&#244;le d&#233;terminant, on peut comprendre pourquoi les formules habituelles de Gutzwiller sont insuffisantes&nbsp;: Elles ne contiennent pas de termes d&#233;croissant exponentiellement avec&nbsp; <IMG WIDTH=8 HEIGHT=11 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1113" SRC="img1.gif"  >  de fa&#231;on explicite.  En revanche l'inclusion de trajectoires complexes permet de d&#233;crire correctement l'effet tunnel et reste souvent le seul moyen de le calculer effectivement. Si la formulation&nbsp;<font size=-1><small>WKB</small></font> permettait d&#233;j&#224; de retrouver semiclassiquement  l'effet tunnel pour un degr&#233; de libert&#233;&nbsp;[<A HREF="node1.html#LandauLifshitz58c">45</A>, &#167;50,], sa g&#233;n&#233;ralisation  &#224; de plus grandes dimensions reste d&#233;licate surtout en pr&#233;sence  de chaos&nbsp;[<A HREF="node1.html#Bohigas93a">17</A>, <A HREF="node1.html#TomsovicUllmo94">69</A>, <A HREF="node1.html#Creagh94a">25</A>, <A HREF="node1.html#CreaghWhelan96a">26</A>, et leurs  r&#233;f&#233;rences.,]Pour  des travaux r&#233;cents dans ce domaine on pourra consulter. <P> D'autres effets quantiques sans analogue classique font l'objet de nombreuses recherches semiclassiques. Les ph&#233;nom&#232;nes ondulatoires li&#233;s  &#224; la diffraction&nbsp;[<A HREF="node1.html#PavloffSchmit95a">55</A>, <A HREF="node1.html#Primack96a">59</A>]On pourra  par exemple consulter,  entrent dans cette cat&#233;gorie ainsi que le d&#233;phasage  des fonctions d'onde lors d'une variation adiabatique des param&#232;tres classiques pilotant un syst&#232;me, par exemple  constitu&#233; des &#233;lectrons externes d'une mol&#233;cule dans le cadre de l'approximation de Born-Oppenheimer. Ce d&#233;phasage d'abord &#233;tudi&#233; quantiquement et syst&#233;matis&#233; par Berry n'est compris classiquement que dans le cas de syst&#232;mes int&#233;grables.  Peu de travaux [<A HREF="node1.html#RobbinsBerry92a">61</A>, <A HREF="node1.html#Jarzynski95b">38</A>]  encore concernent l'&#233;tude de la phase de Berry pour des syst&#232;mes g&#233;n&#233;riquement chaotiques. Cependant dans de nombreux cas, une approximation semiclassique appara&#238;t comme le seul moyen possible de calculer explicitement ces phases. <P> Les succ&#232;s des approches semiclassiques a suscit&#233;  l'espoir d'&#233;largir plus encore leurs domaines d'application, par exemple en sortant du cadre des syst&#232;mes li&#233;s et en essayant de d&#233;crire des propri&#233;t&#233;s attach&#233;es aux ph&#233;nom&#232;nes de diffusion&nbsp;[<A HREF="node1.html#Smilansky89a">66</A>, <A HREF="node1.html#DoronSmilansky92b">29</A>]. Les motivations ont des origines tr&#232;s diverses puisque l'on touche alors aussi bien aux m&#233;canismes r&#233;actionnels entre mol&#233;cules&nbsp;[<A HREF="node1.html#Miller70a">51</A>] qu'aux probl&#232;mes  de conduction dans les solides. Dans ce dernier cas, la nature du  d&#233;sordre joue un r&#244;le crucial et notamment en ce qui concerne des ph&#233;nom&#232;nes mal expliqu&#233;s comme la localisation&nbsp;[<A HREF="node1.html#Fishman95a">33</A>, et ses r&#233;f&#233;rences,]. Comme l'effet tunnel  cette derni&#232;re semble en profond d&#233;saccord  avec la pr&#233;diction classique. La confrontation entre les m&#233;thodes actuelles permettant de comprendre et de pr&#233;dire la localisation [<A HREF="node1.html#CasatiChirikov95b">22</A>, Part one: Classical chaos and quantum localisation,] et le point de vue  semiclassique&nbsp;[<A HREF="node1.html#ScharfSundaram96a">63</A>, <A HREF="node1.html#ScharfSundaram96b">64</A>] appara&#238;t donc comme tr&#232;s prometteur. En outre les progr&#232;s de la physique des mat&#233;riaux semiconducteurs ont permis la r&#233;alisation exp&#233;rimentale de potentiels &#224; bords durs &#224; l'&#233;chelle m&#233;soscopique rendant ainsi possible la construction de billards &#233;lectroniques bidimensionnels dont les applications technologiques sont prometteuses. De fa&#231;on g&#233;n&#233;rale, les m&#233;thodes semiclassiques s'appliquent naturellement aux syst&#232;mes m&#233;soscopiques puisque l'on entend par l&#224;  des objets dont l'&#233;chelle est, d'une part, suffisamment petite (de l'ordre du micron) pour que les effets ondulatoires gouvernent leur comportement mais,  d'autre part, suffisamment grande devant l'&#233;chelle atomique.   [Le cours des Houches [<A HREF="node1.html#Akkermans95a">1</A>] fournit un &#233;ventail tr&#232;s complet de la physique m&#233;soscopique]. <P> Depuis peu, s'est ouvert un autre domaine de pr&#233;dilection pour les d&#233;marches semiclassiques. En effet le d&#233;veloppement de la physique atomique &#224; tr&#232;s basse temp&#233;rature permet de travailler avec des syst&#232;mes coh&#233;rents  assez grands&nbsp;(de l'ordre de&nbsp; <IMG WIDTH=22 HEIGHT=15 ALIGN=BOTTOM ALT="tex2html_wrap_inline1307" SRC="img39.gif"  >  atomes pour fixer les id&#233;es) dont on contr&#244;le raisonnablement la dynamique. Les atomes froids fournissent alors un moyen particuli&#232;rement adapt&#233; pour mieux comprendre et tester les id&#233;es  semiclassiques&nbsp;[<A HREF="node1.html#Robinson96a">62</A>, et ses r&#233;f&#233;rences,]. <P> Il reste, on le constate, beaucoup &#224; faire concernant l'application des m&#233;thodes semiclassiques en chaos quantique. L'&#233;tude des connexions les liant &#224; d'autres approches tout aussi fructueuses comme la th&#233;orie des matrices al&#233;atoire m&#233;rite d'&#234;tre encore plus approfondie&nbsp;[<A HREF="node1.html#BogomolnyKeating96a">16</A>], en particulier &#224; la suite  des travaux r&#233;cents&nbsp;[<A HREF="node1.html#Andreev96a">2</A>, et ses r&#233;f&#233;rences,]. <P> Le passage &#224; un nombre de degr&#233;s de libert&#233; sup&#233;rieur &#224;  celui consid&#233;r&#233; habituellement  rev&#234;t &#233;galement un int&#233;r&#234;t particulier puisque l'on  conna&#238;t mal l'analogue quantique de la r&#233;duction de  Poincar&#233;&nbsp;[<A HREF="node1.html#Bogomolny92a">14</A>, <A HREF="node1.html#Prosen95a">60</A>].  En outre, il serait int&#233;ressant entre-autre, d'&#233;tudier les implications quantiques, si elles existent, de  la diffusion d'[<A HREF="node1.html#Arnold64a">4</A>]. On ignore aussi dans quelle mesure les empreintes  que peut laisser le chaos classique en th&#233;orie quantique des champs pourraient &#234;tre pertinentes. <P> </I><BR> <HR> <UL>  <LI> <A NAME="tex2html7" HREF="node1.html#SECTION00010000000000000000">References</A> <LI> <A NAME="tex2html8" HREF="node2.html#SECTION00020000000000000000">  About this document ... </A> </UL> <HR><A NAME="tex2html5" HREF="node1.html"><IMG WIDTH=37 HEIGHT=24 ALIGN=BOTTOM ALT="next" SRC="next_motif.gif"></A> <IMG WIDTH=26 HEIGHT=24 ALIGN=BOTTOM ALT="up" SRC="up_motif_gr.gif"> <IMG WIDTH=63 HEIGHT=24 ALIGN=BOTTOM ALT="previous" SRC="previous_motif_gr.gif">   <BR> <B> Next:</B> <A NAME="tex2html6" HREF="node1.html">References</A> <P><ADDRESS> <I>Amaury MOUCHET <BR> Wed Feb 18 16:39:02 MET 1998</I> </ADDRESS> </BODY> </HTML> 
