<html> <head> <title>Probl&egrave;mes et solutions pr&eacute;c&eacute;dents</title> </head> <body bgcolor="#ffffff">  <table width="100%"> <tr> <td width="5%">&nbsp;</td> <td> <a href="/findex.html"><IMG SRC="../../images/MCbanner.gif" align="center" height="128" width="142" border="0"></a> </td> <td valign="top"><br>&nbsp;<br><center><font size="+4" color="#0000cc">Probl&egrave;mes et solutions pr&eacute;c&eacute;dents</font><BR><font size="+3" color="#0000cc">2001/2002</font></center> <br> <table width="100%"> <tr> <td width="50%" align="center" valign="top"><a href="../fcurrent/"><font size="+1">Probl&egrave;me du mois </font></a></td> <td width="50%" align="center" valign="top"><a href="./previousyears.html"><font size="+1">Archive de probl&egrave;mes </font></a></td> </tr> </table> </td> <td width="5%">&nbsp;</td> </tr> </table>  <table width="100%"> <tr> <td width="15%">&nbsp;</td> <td width="75%">  <center> <font size="+3" color="#0000cc">MP24: ao&ucirc;t 2002</font> </center>   <font size="+1">  <P> Un probl&egrave;me du concours danois "Georg Mohr Konkurrencen I Matematik 1996" a &eacute;t&eacute; g&eacute;n&eacute;ralis&eacute; par Pierre Bornsztein [CRUX MATHEMATICORUM 2001, page 240]. Il d&eacute;montre que si </font><font face="symbol">p</font><font size="+1"> est une permutation de l'ensemble {1, 2, ..., n} o&ugrave; n est congru &agrave; 2 ou 3 modulo 4, alors les nombres |k - </font><font face="symbol">p</font><font size="+1">(k)| ne peuvent pas tous &ecirc;tre diff&eacute;rents. Ce mois-ci, on demande ce qui arrive lorsque n = 20: <dir> 	Existe-t-il une permutation </font><font face="symbol">p</font><font size="+1"> de {1, 2, ..., 20} telle que 	|k - </font><font face="symbol">p</font><font size="+1">(k)| prend toutes les valeurs de 0 &agrave; 19? </dir> </P>  </font>   <dir> <font size="+1"> <a href="./aug02sol.html">Solution au probl&egrave;me d'ao&ucirc;t 2002</a> </font> </dir> <br>&nbsp;<br>  <center> <font size="+3" color="#0000cc">MP23: juillet 2002</font> </center>   <font size="+1">  <P> Consid&eacute;rons le probl&egrave;me de placer le plus grand triangle &eacute;quilat&eacute;ral possible dans un triangle quelquonque T de c&ocirc;t&eacute;s a, b et c (o&ugrave; a&nbsp;&gt;=&nbsp;b&nbsp;&gt;=&nbsp;c). Notons A, B et C respectivement les angles oppos&eacute;s &agrave; a, b et c. Il n'est pas difficile de d&eacute;montrer que lorsque B mesure au plus 60 degr&eacute;s, le plus grand triangle &eacute;quilat&eacute;ral repose sur le c&ocirc;t&eacute; de longueur a. Lorsque B&nbsp;&gt;&nbsp;60, le plus grand triangle &eacute;quilat&eacute;ral repose parfois sur le c&ocirc;t&eacute; de longueur c, d&eacute;pendant d'une relation entre a, c et B &agrave; para&icirc;tre dans "Equilateral Triangles in Triangles", un article de Richard P. Jerrard et John E. Wetzel dans le journal AMERICAN MATHEMATICAL MONTHLY. </P>  <P> Notre probl&egrave;me: <BR><BR> Quel est le seul triangle non-&eacute;quilat&eacute;ral tel que les trois plus grands triangles &eacute;quilat&eacute;raux reposant respectivement sur les trois c&ocirc;t&eacute;s sont &eacute;gaux? </P>  </font>   <dir> <font size="+1"> <a href="./july02sol.html">Solution au probl&egrave;me de juillet 2002</a> </font> </dir> <br>&nbsp;<br>  <center> <font size="+3" color="#0000cc">MP22: juin 2002</font> </center>   <font size="+1">  <P> Les sept nains prennent leur petit d&eacute;jeuner, et Blanche Neige leur a vers&eacute;  du lait. Avant de boire, les nains se livrent au rituel suivant: Le premier  nain verse un sixi&egrave;me de son lait dans le verre de chacun de ses fr&egrave;res  (ce qui le laisse avec rien du tout). Puis le deuxi&egrave;me nain fait la m&ecirc;me  chose, et ainsi de suite. Ce processus se poursuit autour de la table,  jusqu'&agrave; ce que le septi&egrave;me nain aie distribu&eacute; son lait de la m&ecirc;me fa&ccedil;on  (il s'agit de Simplet). A la fin, chaque nain a dans son verre exactement  la m&ecirc;me quantit&eacute; de lait qu'il avait au d&eacute;part. Si Blanche Neige leur avait  vers&eacute; 42 onces de lait en tout, quelle quantit&eacute; de lait chaque nain a-t-il re&ccedil;u? Le probl&egrave;me a-t-il une seule solution, ou existe-t-il plusieurs solutions?  </P>  <P> Ce probl&egrave;me est tir&eacute; du test d'application au <a href="http://www.mathcamp.org">camp math&eacute;matique  Etats-Unis-Canada 2002.</a>  </P>  </font>   <dir> <font size="+1"> <a href="./june02sol.html">Solution au probl&egrave;me de juin 2002</a> </font> </dir> <br>&nbsp;<br>  <center> <font size="+3" color="#0000cc">MP21: mai 2002</font> </center>   <font size="+1"> 	 <P> Ce probl&egrave;me est tir&eacute; de la cinqui&egrave;me comp&eacute;tition annuelle par &eacute;quipes organis&eacute;e par la section centrale nord de la Math Association of America, qui a eu lieu le 10 novembre 2001. </P> <P> La <b>partie fractionnaire</b> F(r) d'un nombre r est d&eacute;finie comme suit: <dir> F(r) = r - (le plus grand entier qui ne d&eacute;passe pas r). </dir> Par exemple,  <dir> F(12.34) = 0.34, F(&nbsp;<sup>11</sup>/<sub>2</sub>) = &nbsp;<sup>1</sup>/<sub>2</sub>, F(&nbsp;<sup>8</sup>/<sub>3</sub>) = &nbsp;<sup>2</sup>/<sub>3</sub>, F(<IMG SRC="may02.1.gif" HEIGHT=16 WIDTH=19>) = 0.414213562... </dir> <b>Notre probl&egrave;me pour le mois de Mai:</b> <dir> Trouvez un nombre positif r tel que F(r) + F(&nbsp;<sup>1</sup>/<sub>r</sub>) = 1. </dir> </P>   </font>   <dir> <font size="+1"> <a href="./may02sol.html">Solution au probl&egrave;me de mai 2002</a> </font> </dir> <br>&nbsp;<br>  <center> <font size="+3" color="#0000cc">MP20: avril 2002</font> </center>   <font size="+1"> 	 <P>	 Pour c&eacute;l&eacute;brer l'arriv&eacute;e du printemps, notre probl&egrave;me du mois rend hommage &agrave; la cuisine canadienne. <ol> <li>Dans un grand bol, m&eacute;langez ensemble un oeuf, une tasse de lait, une tasse de farine une cuiller&eacute;e &agrave; th&eacute; de poudre &agrave; p&acirc;te. Vous obtenez de la <b>p&acirc;te &agrave; cr&ecirc;pes</b><BR><BR></li>  <li>Versez une grosse cuiller&eacute;e de p&acirc;te dans une po&ecirc;le et faites cuire des deux c&ocirc;t&eacute;s environ 17 minutes. Vous obtenez une <b> cr&ecirc;pe brul&eacute;e</b>.<BR><BR></li>  <li>Placez votre cr&ecirc;pe brul&eacute;e sur une feuille de papier, et tracez en le contour avec un crayon. Vous obtenez une <b>courbe simple ferm&eacute;e</b>.<BR><BR></li>  <li>D&eacute;montrez que votre courbe simple ferm&eacute;e contient les trois sommets d'un <b> triangle &eacute;quilat&eacute;ral</b>.</li> </ol> L'&eacute;tape 4 demande un peu de r&eacute;flexion.  En m&ecirc;me temps, vous pouvez pr&eacute;parer le reste des cr&ecirc;pes et les manger avec une bonne portion de <b> sirop d'&eacute;rable</b>. </P> <center> <IMG SRC="apr02.1.jpg" WIDTH="300" HEIGHT="263" HSPACE="0" VSPACE="0"> </center>   </font>   <dir> <font size="+1"> <a href="./apr02sol.html">Solution au probl&egrave;me d'avril 2002</a> </font> </dir> <br>&nbsp;<br>  <center> <font size="+3" color="#0000cc">MP19: mars 2002</font> </center>   <font size="+1"> 	 <P>	  Votre ennemi choisit 2000 des nombres de 1 &agrave; 3000. Votre mission est de trouver 1000 nombres parmi ceux-l&agrave; tels que leur parit&eacute; alterne (pair, impair, pair, impair, ... ou l'inverse) lorsqu'on les classe du plus petit au plus grand. </P>  <P> D&eacute;montrez que vous pouvez toujours r&eacute;ussir, aussi fut&eacute; que soit votre ennemi. </P>   </font>   <dir> <font size="+1"> <a href="./mar02sol.html">Solution au probl&egrave;me de mars 2002</a> </font> </dir> <br>&nbsp;<br>  <center> <font size="+3" color="#0000cc">MP18: f&eacute;vrier 2002</font> </center>   <font size="+1"> 	 <P>	 Un t&eacute;tra&egrave;dre r&eacute;gulier est une pyramide dont les faces sont quatre triangles &eacute;quilat&eacute;raux, dont chaque paire a un c&ocirc;t&eacute; commun. Par cons&eacute;quent, les six c&ocirc;t&eacute;s ont la m&ecirc;me longueur. Imaginons que sur chaque face du t&eacute;tra&egrave;dre, une voiture se  prom&egrave;ne dans le sens des aiguilles d'une montre &agrave; vitesse  constante sur les c&ocirc;t&eacute;s bordant cette face. Chacune des quatre  voitures a sa propre vitesse, et peut partir de n'importe quel  point de son parcours. Peut-on choisir ces param&ecirc;tres de sorte qu'aucune  collision ne se produise, ou est-il in&eacute;vitable qu'une collision se produise &agrave; un moment donn&eacute;?<BR><BR> <center> <IMG SRC="feb02.1.gif" WIDTH="267" HEIGHT="190"> </center> </P>  </font>   <dir> <font size="+1"> <a href="./feb02sol.html">Solution au probl&egrave;me de f&eacute;vrier 2002</a> </font> </dir> <br>&nbsp;<br>  <center> <font size="+3" color="#0000cc">MP17: janvier 2002</font> </center>   <font size="+1"> 	 <P> Pour tout nombre r&eacute;el r, soit T<sub>r</sub>, l'auto-application du plan d&eacute;finie par  <dir> 	T<sub>r</sub>(x,y) = (10<sup>r</sup>&nbsp;x, y+r).  </dir>	 Trouvez l'&eacute;quation de la courbe continue y = f(x) qui contient l'image du point (2002,2002) par toutes les applications T<sub>r</sub>. </P>  </font>   <dir> <font size="+1"> <a href="./jan02sol.html">Solution au probl&egrave;me de janvier 2002</a> </font> </dir> <br>&nbsp;<br>  <center> <font size="+3" color="#0000cc">MP16: d&eacute;cembre 2001</font> </center>   <font size="+1"> 	 <P> Il existe un seul entier n pour lequel l'expression </P>  <center> <IMG SRC="dec01.1.gif" HEIGHT=37 WIDTH=206> </center>	 <P> est un nombre entier. D&eacute;terminez cette valeur n et d&eacute;montrez  qu'il n'en existe pas d'autres. </P>  </font>   <dir> <font size="+1"> <a href="./dec01sol.html">Solution au probl&egrave;me de d&eacute;cembre 2001</a> </font> </dir> <br>&nbsp;<br>  <center> <font size="+3" color="#0000cc">MP15: novembre 2001</font> </center>   <font size="+1"> 	 <P> Les d&eacute;s d'Efron sont dispos&eacute;s devant vous: </P>  <dir> 	Le d&eacute; A a le nombre 4 sur quatre faces et 0 sur deux faces,<BR> 	le d&eacute; B a le nombre 3 sur toutes ses faces,<BR> 	Le d&eacute; C a le nombre 6 sur deux faces et 2 sur quatre faces,<BR> 	Le d&eacute; D a le nombre 5 sur trois faces et 1 sur trois faces. </dir>  <P> Le jeu se joue &agrave; deux personnes. La premi&egrave;re choisit un des quatre d&eacute;s, et son adversaire en choisit un parmi les trois qui restent. Puis les joueurs jettent leurs d&eacute;s, et celui qui obtient le plus grand nombre gagne. Courtoisement, votre adversaire vous invite &agrave; choisir en premier. Que devriez-vous faire? </P>  </font>  <font size="+1"> <P><i>Veuillez noter que dans la solution d'un probl&egrave;me math&eacute;matique, l'explication est la chose la plus importante &#150; toute assertion doit &ecirc;tre soutenue par une v&eacute;rit&eacute; math&eacute;matique.</i></P>  </font>   <dir> <font size="+1"> <a href="./nov01sol.html">Solution au probl&egrave;me de novembre 2001</a> </font> </dir> <br>&nbsp;<br>    <center> <font size="+3" color="#0000cc">MP14: Octobre 2001</font> </center>   <font size="+1"> 	 <P> Il en co&ucirc;te un dollar pour assister au spectacle du dimanche apr&egrave;s-midi au th&eacute;atre. Or ce dimanche l&agrave;, le caissier s'aper&ccedil;oit qu'il n'a pas de monnaie. Huit personnes arrivent au th&eacute;atre; quatre d'entre elles ont seulement une pi&egrave;ce de deux dollars, et les quatre autres ont seulement une pi&egrave;ce de un dollar. Leur fa&ccedil;on de s'aligner &agrave; la queue va d&eacute;terminer si le caissier peut leur remettre la monnaie lorsqu'ils ach&egrave;tent leurs billets. Les huit personnes se mettent &agrave; la queue dans un ordre al&eacute;atoire, sans savoir qui a une pi&egrave;ce de un dollar et qui a une pi&egrave;ce de deux dollars. Quelle est la probabilit&eacute; que le caissier puisse remettre la monnaie &agrave; chacun? </P>  <P> Ce probl&egrave;me est tir&eacute; du Concours math&eacute;matique des &eacute;coles secondaires de Colombie Britannique pour l'ann&eacute;e 2001. </P>  </font>   <dir> <font size="+1"> <a href="./oct01sol.html">Solution au probl&egrave;me d'Octobre 2001</a> </font> </dir> <br>&nbsp;<br>  <center> <font size="+3" color="#0000cc">MP13: Septembre 2001</font> </center>  <P> Le jour o&ugrave; l'argent pour le caf&eacute; a &eacute;t&eacute; vol&eacute;, six professeurs du d&eacute;partement de math&eacute;matiques avaient visit&eacute; le salon o&ugrave; se trouve la caisse. Chacun y est entr&eacute; seulement une fois, et y est rest&eacute; pour un certain temps avant de repartir. Lorsque deux d'entre eux se trouvaient en meme temps dans le salon, un des deux a n&eacute;cessairement remarqu&eacute; l'autre. (Ils ne se sont pas n&eacute;cessairement remarqu&eacute;s mutuellement; il arrive que les professeurs de math&eacute;matiques soient distraits.) Plus personne ne se souvient de l'heure de sa visite au salon. Le secr&eacute;tariat a r&eacute;ussi &agrave; rassembler les informations suivantes au sujet de ces visites: </P> <center> <table border=1><tr> 	<th>Professeur</th><th>Pr&eacute;tend avoir vu</th></tr> 	<td>Abel</td><td>Bernoulli and Erdos</td></tr> 	<tr> 	<td>Bernoulli</td><td>Abel and Fermat</td></tr> 	<tr> 	<td>Cauchy</td><td>Descartes and Fermat</td></tr> 	<tr> 	<td>Descartes</td><td>Abel and Fermat</td></tr> 	<tr> 	<td>Erdos</td><td>Bernoulli and Cauchy</td></tr> 	<tr> 	<td>Fermat</td><td>Cauchy and Erdos</td></tr> </table> </center><BR>  Aucune information n'est omise, mais on sait que le coupable en a ajout&eacute; un peu: Il a pr&eacute;tendu avoir vu une personne qu'il n'a pas vraiment vu, juste pour l'incriminer.  Qui est ce coupable? </P>  </font>  <dir> <font size="+1"> <a href="./sept01sol.html">Solution au probl&egrave;me de d Septembre 2001</a> </font> </dir> <br>&nbsp;<br>    <font size="+1"> <p> <center><a href="../fcurrent/">Probl&egrave;me du mois</a><br>&nbsp;<br> <a href="../../../findex.html">Centrale des Maths</a> </p> </font>  </td> <td width="10%">&nbsp;</td> </tr> </table>     </body> </html> 
