<html>  	<head> 		<title>Fractales - extrait du &#147;Guide la th&eacute;orie du chaos&#148;</title> 	</head>  	<body bgcolor="#FFFFFF"> 		<h3> 		<center> 			<font size="+1" face="arial" color="#FF0000"><a name="top"></a>LES FABULEUSES FRACTALES</font></center> 		</h3> 		<center> 			<font face="arial" color="#000000">article extrait du livre :</font></center> 		<h3> 		<center> 			<font face="arial" color="#000000">&laquo; Un miroir turbulent - Guide illustr&eacute; de la th&eacute;orie du chaos &raquo;</font></center> 		</h3> 		<h5> 		<center> 			<font size="+1" face="arial" color="#000000">&copy; John Briggs &amp; E. David Peat - 1991 - InterEditions Paris<br> 			</font><font size="-1" face="arial" color="#000000">[ Edition originale : Harper &amp; Row publishers - New York - 1989]</font></center> 		</h5> 		<h5> 		<center> 			<font size="+1">traduit de l'am&eacute;ricain par Dimitri Stoquart</font></center> 		</h5> 		<p><font size="+1" face="arial" color="#FF0000"><br> 		</font><font size="+2" face="arial" color="#FF0000"> 		<table border="0" cellspacing="8" cellpadding="0" width="100%" height="100%" valign="top"> 			<tr> 				<td valign="top" width="123" bgcolor="#CCCCCC"> 					<p align="right"><a href="#mandel">Mandelbrot</a></p> 					<p align="right"><a href="#wheel">Wheeler</a></p> 					<p align="right"><a href="#sang">l'exemple du sang</a></p> 					<p align="right"><a href="#karl">Karl Weierstrass et la courbe &quot;non d&eacute;ff&eacute;renci&eacute;e&quot;</a></p> 					<p align="right"><a href="#newton">de Newton &agrave; Reymond Debois</a></p> 					<p align="right"><a href="#peano">la courbe de remplissage du plan de Guiseppe Peano</a></p> 					<p align="right"><a href="#bret">L'exemple de la c&ocirc;te de la Bretagne </a></p> 					<p align="right"><a href="#comprendre">Comprendre les fractales</a></p> 				</td> 				<td valign="top"> 					<p><font size="+4" color="#CC0000"><b>S</b></font><font size="+2" color="#000000">male, Thom, Lyapunov, Ruelle et d'autres ont con&ccedil;u d'importants instruments qualitatifs permettant de percevoir le mouvement de l'ordre, du chaos et du changement dans l'univers non lin&eacute;aire. </font></p> 					<p><font size="+2" color="#000000">Mais plus que tout autre, un math&eacute;maticien a r&eacute;volutionn&eacute; la science des turbulences par sa d&eacute;couverte d'une mesure qualitative qui a immortalis&eacute; la beaut&eacute; complexe du monde-miroir. </font></p> 					<p><font size="+2" color="#000000">Sa d&eacute;couverte a &eacute;galement d&eacute;montr&eacute; que l'univers-miroir est myst&eacute;rieusement similaire &agrave; celui dans lequel nous vivons notre quotidien.</font></p> 				</td> 			</tr> 			<tr> 				<td valign="top" width="123"> 					<p align="right"><font size="+1" color="#666666"><a name="mandel"></a><b>Mandelbrot</b></font></p> 					<p align="right"><a href="#top">retour</a></p> 					<p></p> 				</td> 				<td valign="top"> 					<p>Les &eacute;tudes de Beno&icirc;t Mandelbrot furent irr&eacute;guli&egrave;res et son esprit obstin&eacute;ment visuel. Il raconte que, lorsqu'il s'installa pour passer les examens d'entr&eacute;e de la prestigieuse &Eacute;cole Polytechnique, il fut incapable de r&eacute;soudre parfaitement les probl&egrave;mes alg&eacute;briques mais obtint la meilleure note en traduisant mentalement les questions en images.</p> 					<p>Aujourd'hui encore, Mandelbrot pr&eacute;tend ne pas conna&icirc;tre l'alphabet &agrave; tel point qu'il &eacute;prouve les pires difficult&eacute;s &agrave; utiliser un annuaire t&eacute;l&eacute;phonique.</p> 					<p>En revanche, il peut voir des choses que d'autres personnes ne peuvent percevoir. Ainsi, dit-il, &laquo; je ne programme pas les ordinateurs moi-m&ecirc;me, mais j'ai d&eacute;couvert des fa&ccedil;ons de travailler de mani&egrave;re tr&egrave;s interactive avec plusieurs personnes hors pair: des &eacute;tudiants et des assistants, mais &eacute;galement des coll&egrave;gues comme Richard F. Voss. En fait, j'ai d&eacute;velopp&eacute; une technique d'aide au &laquo; d&eacute;bogage &raquo; de programmes que je ne peux comprendre, en analysant les images erron&eacute;es produites par ces programmes. &raquo; Frustr&eacute; par les math&eacute;matiques hautement abstraites qui lui furent enseign&eacute;es, le jeune Mandelbrot cultiva une fascination pour l'irr&eacute;gularit&eacute; g&eacute;om&eacute;trique (ou plut&ocirc;t non g&eacute;om&eacute;trique) du monde qui l'entoure. Il fut pouss&eacute; par un sentiment qu'il exprima plus tard dans un aphorisme qui, selon lui,&laquo; a gagn&eacute; l'honneur supr&ecirc;me de devenir un clich&eacute; &raquo;.</p> 					<p>L'intuition g&eacute;om&eacute;trique qui le guida &eacute;tait que &laquo; les nuages ne sont pas des sph&egrave;res, les montagnes ne sont pas des c&ocirc;nes, les lignes c&ocirc;ti&egrave;res ne sont pas des cercles, l'aboiement d'un chien n'est pas r&eacute;gulier et la lumi&egrave;re ne se propage pas en ligne droite &raquo;.</p> 					<p>Une fois ses &eacute;tudes termin&eacute;es, la carri&egrave;re de Mandelbrot devint aussi irr&eacute;guli&egrave;re que les formes auxquelles il s'int&eacute;ressait. Il &eacute;tudia l'a&eacute;ronautique au California Institute of Technology. Il fut parrain&eacute; &agrave; l'Institute for Advanced Study de Princeton par le brillant math&eacute;maticien John von Neumann et effectua des recherches dans un grand nombre de domaines. &laquo; J'&eacute;tais sans cesse saisi par l'envie soudaine de laisser tomber un domaine au beau milieu</p> 					<p>de la r&eacute;daction d'un article pour me tourner vers un nouveau centre d'int&eacute;r&ecirc;t dans un domaine dont je ne connaissais rien. Je me suis laiss&eacute; guider par mes intuitions, mais je n'ai pu les justifier que beaucoup plus tard. &raquo; Devenu en 1958 membre de l'&eacute;quipe du prestigieux centre de recherche Thomas J. Watson d'IBM &agrave; Yorktown Heights, dans l'Etat de New York, Mandelbrot y re&ccedil;ut le titre de Feiiow en 1974.</p> 					<p>C'est l&agrave;, dans un b&acirc;timent vitr&eacute; &agrave; la courbe r&eacute;guli&egrave;re, plant&eacute; dans les collines du comt&eacute; de Westchester, que ses intuitions commenc&egrave;rent &agrave; prendre forme.</p> 					<p>Une nouvelle g&eacute;om&eacute;trie &eacute;mergea de son esprit, incomparable &agrave; tout ce qui avait pr&eacute;c&eacute;d&eacute;. Mandelbrot venait de concevoir les fractales.</p> 					<p>Ce nom provient du latin fractus, qui signifie irr&eacute;gulier, mais Mandelbrot appr&eacute;cia &eacute;galement ses connotations de fractionnel et de fragment&eacute;.</p> 					<p>Ses premi&egrave;res id&eacute;es l'amen&egrave;rent &agrave; utiliser des fractales pour repr&eacute;senter des cotations boursi&egrave;res et produire des faux math&eacute;matiques suffisamment bons pour tromper des experts du domaine. Ses fractales montraient que les r&eacute;cessions importantes imitent la fluctuation journali&egrave;re et mensuelle des valeurs, de sorte que le march&eacute; est auto-similaire des &eacute;chelles les plus grandes aux plus petites.</p> 					<p>Se tournant vers le probl&egrave;me du bruit dans la transmission de donn&eacute;es, Mandelbrot tira un mod&egrave;le exploitable de sa nouvelle g&eacute;om&eacute;trie et, sans utiliser de donn&eacute;es astronomiques, il &eacute;mit, sur la r&eacute;partition des galaxies dans l'Univers, une hypoth&egrave;se math&eacute;matique que les astrophysiciens ont depuis lors confirm&eacute;e. &laquo; Je pris conscience que l'auto-similarit&eacute;, loin d'&ecirc;tre une propri&eacute;t&eacute; anodine et sans int&eacute;r&ecirc;t, constituait un moyen tr&egrave;s puissant d'engendrer une forme. &raquo; Par &laquo; auto-similarit&eacute; &raquo;, Mandelbrot entendait une r&eacute;p&eacute;tition de d&eacute;tails &agrave; des &eacute;chelles d&eacute;croissantes - la r&eacute;p&eacute;tition de l'image de&laquo; la sauce de papa &raquo;.</p> 					<p>Bien que Mandelbrot soit toujours un missionnaire infatigable pour ses fractales, c'est aujourd'hui&agrave; peine n&eacute;cessaire. Le grand physicien th&eacute;oricien John Wheeler a d&eacute;clar&eacute; que, par le pass&eacute;, on ne pouvait se consid&eacute;rer scientifiquement &eacute;duqu&eacute; sans comprendre l'entropie.</p> 				</td> 			</tr> 			<tr> 				<td valign="top" width="123"> 					<p align="right"><font size="+1" color="#666666"><a name="wheel"></a><b>Wheeler</b></font></p> 					<p align="right"><a href="#top">retour</a></p> 				</td> 				<td valign="top"> 					<p>A l'avenir, insiste Wheeler, &laquo; personne ne sera reconnu comme scientifique sans &ecirc;tre familiaris&eacute; avec les fractales &raquo;.</p> 					<p>L'assertion de Wheeler fait r&eacute;f&eacute;rence au fait qu'au cours des vingt derni&egrave;res ann&eacute;es, Mandelbrot a accompli un travail impressionnant pour propager son id&eacute;e. Il est aujourd'hui &eacute;vident que les fractales s'appliquent non seulement aux royaumes du chaos et du bruit, mais &eacute;galement &agrave; une grande vari&eacute;t&eacute; de formes de la nature que la g&eacute;om&eacute;trie enseign&eacute;e au cours des deux derniers mill&eacute;naires et demi s'est r&eacute;v&eacute;l&eacute;e incapable de d&eacute;crire - des formes telles que celles des lignes c&ocirc;ti&egrave;res, des arbres, des montagnes, des galaxies, des nuages, des polym&egrave;res, des rivi&egrave;res, des sch&eacute;mas climatiques, du cerveau, des poumons et du syst&egrave;me sanguin. A l'image de la physique qui avait tent&eacute; d'englober sous l'appellation de&laquo; chaos &raquo; ou &laquo; d&eacute;sordre &raquo; un vaste &eacute;chantillon de propri&eacute;t&eacute;s subtiles de la nature, ces formes, parmi les plus exquises de la nature, avec toute la richesse de leurs d&eacute;tails, &eacute;taient ignor&eacute;es par la g&eacute;om&eacute;trie conventionnelle. consid&eacute;rez la mani&egrave;re dont la turbulence du vent et de l'eau creuse et sculpte les formes superbes des canyons, mesas et grottes sous-marines. L'ordre n'existe-t-il pas en ces sites ? Mandelbrot affirme que la g&eacute;om&eacute;trie euclidienne est&laquo; morne &raquo;. En revanche, il a d&eacute;montr&eacute; que l'irr&eacute;gularit&eacute; &eacute;tait envo&ucirc;tante et qu'il ne s'agissait pas simplement du bruit d&eacute;formant les formes euclidiennes.</p> 					<p>En fait, ce &laquo; bruit &raquo; est la signature des puissances cr&eacute;atrices de la nature.</p> 				</td> 			</tr> 			<tr> 				<td valign="top" width="123"> 					<p align="right"><font size="+2" color="#666666"><a name="sang"></a></font><font size="+1" color="#666666"><b>l'exemple du sang</b></font></p> 					<p align="right"><a href="#top">retour</a></p> 				</td> 				<td valign="top"> 					<p>Prenez, par exemple, la circulation du sang dans notre organisme. Dans un livre d'anatomie, les branchements r&eacute;p&eacute;t&eacute;s des veines et des art&egrave;res peuvent para&icirc;tre chaotiques. N&eacute;anmoins, une &eacute;tude plus d&eacute;taill&eacute;e d&eacute;montre de mani&egrave;re &eacute;vidente que ces m&ecirc;mes branchements complexes se r&eacute;p&egrave;tent dans des vaisseaux sanguins de plus en plus petits, jusqu'aux capillaires, c'est vrai aussi pour les montagnes. A une distance de soixante kilom&egrave;tres, le contour des montagnes, tout en &eacute;tant irr&eacute;gulier, est facilement reconnaissable. A mesure que l'on s'en approche, le nombre de d&eacute;tails augmente et m&ecirc;me lorsque l'on en commence l'escalade, on distingue le m&ecirc;me sch&eacute;ma d'irr&eacute;gularit&eacute; et de d&eacute;tails dans chacun des rochers.</p> 					<p>Les syst&egrave;mes complexes de la nature semblent pr&eacute;server les m&ecirc;mes d&eacute;tails &agrave; des &eacute;chelles de plus en plus petites. ce probl&egrave;me d'&eacute;chelles appara&icirc;t &agrave; nouveau lorsque l'on regarde les formes et structures merveilleuses de la nature dans un livre de photographies prises &agrave; l'aide de microscopes et de t&eacute;l&eacute;scopes. Des images &agrave; des &eacute;chelles largement diff&eacute;rentes donnent une impression de similitude et pr&eacute;sentent un air de famille.</p> 					<p>Mais comment quelque chose mesurant des milliers d'ann&eacute;es-lumi&egrave;re pourrait-elle avoir quoi que ce soit de commun avec des objets pouvant tenir dans la main ou sur une t&ecirc;te d'&eacute;pingle ? Se pourrait-il que de m&ecirc;mes lois ou principes math&eacute;matiques de croissance et de forme s'appliquent &agrave; des &eacute;chelles si diff&eacute;rentes ? Mandelbrot comprit que, si tel &eacute;tait le cas, ces lois ne devaient avoir que peu de rapport avec la g&eacute;om&eacute;trie classique dans laquelle la notion d'&eacute;chelle est &agrave; ce point &eacute;vidente qu'elle finit par n'avoir que peu ou pas d'importance. Pouvait-on cr&eacute;er une mesure de l'irr&eacute;gularit&eacute; fond&eacute;e sur des &eacute;chelles ? c'est en se tournant vers des curiosit&eacute;s et des anomalies math&eacute;matiques qui &eacute;taient apparues aux environs de la fin du XIXe et avaient &eacute;t&eacute; ignor&eacute;es par les math&eacute;maticiens que Mandelbrot entama son &eacute;tude du probl&egrave;me des &eacute;chelles et la concr&eacute;tisation de sa vision d'un univers irr&eacute;gulier et n&eacute;anmoins ordonn&eacute;. Etait-il possible que ces bizarreries math&eacute;matiques contiennent des indices importants de la complexit&eacute; de la nature?</p> 				</td> 			</tr> 			<tr> 				<td valign="top" width="123"> 					<p align="right"><font size="+1" color="#666666"><a name="karl"></a><b>Karl</b> <b>Weierstrass et la courbe &quot;non diff&eacute;renci&eacute;e&quot;</b></font></p> 					<p align="right"><a href="#top">retour</a></p> 				</td> 				<td valign="top"> 					<p>En 1872, un math&eacute;maticien nomm&eacute; Karl Weierstrass avait provoqu&eacute; une petite crise dans les math&eacute;matiques en d&eacute;crivant une courbe qui ne pouvait &ecirc;tre &laquo; diff&eacute;renci&eacute;e &raquo; math&eacute;matiquement. La capacit&eacute; &agrave; diff&eacute;rencier, c'est-&agrave;-dire &agrave; calculer la pente d'une courbe d'un point &agrave; un autre, est une caract&eacute;ristique essentielle du calcul infinit&eacute;simal. Le calcul infinit&eacute;simal fut invent&eacute; ind&eacute;pendamment par Newton et Leibniz environ deux cents ans avant Weierstrass. Les nouvelles lois de la m&eacute;canique de Newton concernaient le changement r&eacute;gulier et les vitesses de changement et il devait disposer de math&eacute;matiques permettant de d&eacute;crire diverses formes de changement progressif ; il les trouva dans le calcul infinit&eacute;simal.</p> 					<p>La notion de pente est une notion relativement intuitive. On en fait l'exp&eacute;rience chaque fois que l'on escalade une colline. Une pente est en r&eacute;alit&eacute; la m&ecirc;me chose qu'une d&eacute;clivit&eacute;. Dans le cas d'une voie ferr&eacute;e, la valeur de la pente est parfois indiqu&eacute;e sur un poteau sous la forme 1 :200, par exemple. Cela signifie que tous les deux cents m&egrave;tres de voie, l'altitude augmente d'un m&egrave;tre. La pente ou d&eacute;clivit&eacute; d'une route peut devenir plus importante dans les r&eacute;gions montagneuses ; la pente d'une route &agrave; flanc de coteau peut atteindre 1:6 ou 1:5.</p> 					<p>Bien entendu, les routes ne sont pas parfaitement r&eacute;guli&egrave;res ; elles ont tendance &agrave; monter et descendre, de sorte que les d&eacute;clivit&eacute;s indiqu&eacute;es sur une carte ou un panneau indicateur ne sont que des valeurs moyennes. En proc&eacute;dant &agrave; une analyse plus pr&eacute;cise, il est possible de d&eacute;terminer la pente dans des intervalles de plus en plus petits et de tenir compte de chaque variation de la route. Le calcul infinit&eacute;simal de Newton franchissait un pas suppl&eacute;mentaire.</p> 				</td> 			</tr> 			<tr> 				<td valign="top" width="123"> 					<p align="right"><font size="+1" color="#666666"><b><a name="newton"></a>de Newton &agrave; Debois Reymond</b></font></p> 					<p align="right"><a href="#top">retour</a></p> 				</td> 				<td valign="top"> 					<p>L'&eacute;quation math&eacute;matique de la route de c&ocirc;te d&eacute;termine la pente ou d&eacute;clivit&eacute; en chaque point. Cette d&eacute;termination est math&eacute;matiquement &eacute;quivalente &agrave; la diff&eacute;renciation de l'&eacute;quation de la courbe.</p> 					<p>Depuis Newton, les math&eacute;maticiens se sont amus&eacute;s &agrave; diff&eacute;rencier des courbes, des fonctions et leur pente. Il restait n&eacute;anmoins toujours un probl&egrave;me lorsque la courbe &eacute;tait discontinue, c'est-&agrave;-dire lorsque la route disparaissait subitement pour r&eacute;appara&icirc;tre un peu plus loin. Comment &eacute;tait-il possible qu'il y ait une pente &agrave; l'endroit m&ecirc;me o&ugrave; la route s'arr&ecirc;tait brusquement ? Mais hormis ces cas particuliers, les math&eacute;maticiens pensaient que toutes les courbes devaient avoir une pente. En langage plus formel, ils croyaient qu'une courbe continue pouvait toujours &ecirc;tre diff&eacute;renci&eacute;e.</p> 					<p>Le calcul infinit&eacute;simal de Newton semblait &agrave; l'abri de toute attaque jusqu'&agrave; ce que, &agrave; la fin du XIX si&egrave;cle, un math&eacute;maticien nomm&eacute; Debois Reymond fasse son apparition et pr&eacute;sente l'&eacute;quation de weierstrass pour une courbe continue mais tellement complexe qu'elle ne pouvait jamais &ecirc;tre diff&eacute;renci&eacute;e. Il fallut un demi-si&egrave;cle pour trouver une solution a la panique g&eacute;n&eacute;rale qui secoua l'univers des math&eacute;matiques. Finalement, les math&eacute;maticiens furent forc&eacute;s d'admettre l'existence de telles courbes exceptionnelles. Mais ils se consol&egrave;rent d'eux-m&ecirc;mes &agrave; la pens&eacute;e qu'une courbe aussi complexe et absurde ne devait avoir aucun rapport avec l'univers r&eacute;el.</p> 				</td> 			</tr> 			<tr> 				<td valign="top" width="123"> 					<p align="right"><font size="+1" color="#666666"><b><a name="peano"></a>la courbe de remplissage du plan de Guiseppe</b></font><font color="#666666"><b> </b></font><font size="+1" color="#666666"><b>Peano</b></font></p> 					<p align="right"><a href="#top">retour</a></p> 				</td> 				<td valign="top"> 					<p>Une autre bombe &eacute;clata aux environs de 1890 lorsque Giuseppe Peano d&eacute;couvrit ce qui fut baptis&eacute; une &laquo; courbe de remplissage du plan &raquo;. Une courbe n'est rien d'autre qu'une droite qui se plie et se d&eacute;forme ; or, comme chaque &eacute;colier le sait, une droite n'a qu'une seule dimension. Les math&eacute;maticiens consid&eacute;raient comme &eacute;vident qu'une courbe, quelle qu'en soit la complexit&eacute;, devait &ecirc;tre unidimensionnelle.</p> 					<p>Un plan lune feuille de papier, par exemple) a deux dimensions. Le plan et la courbe sont parfaitement distincts en termes de dimensions.</p> 					<p><a href="img/fig5.JPG"><b>Figure 0.5</b></a><b> Etapes suivies pour la cr&eacute;ation d'une courbe de Peano. Elles peuvent &ecirc;tre r&eacute;p&eacute;t&eacute;es jusqu'&agrave; l'infini o&ugrave; tout l'espace bidimensionnel est rempli par la courbe.</b></p> 					<p>Cependant, Peano avait trac&eacute; une courbe qui se tordait de mani&egrave;re tellement complexe qu'elle remplissait en fait la totalit&eacute; du papier sur lequel elle</p> 					<p>&eacute;tait trac&eacute;e. Aucun point du plan n'&eacute;chappait &agrave; la ligne courbe de Peano, ce qui d&eacute;plut aux math&eacute;maticiens. Les deux dimensions du plan r&eacute;sidaient dans son ensemble de points. Qu'adviendrait-il si tous ces points appartenaient &eacute;galement &agrave; une droite unidimensionnelle ? Comment un objet pouvait-il &agrave; la fois &ecirc;tre unidimensionnel et bidimensionnel?</p> 					<p>Dans Stories About Sets, Nicol&agrave;i Yakovlevich Vilenkin d&eacute;crit la r&eacute;action des math&eacute;maticiens:</p> 					<p>&laquo; Tout &eacute;tait boulevers&eacute; ! Il est difficile de traduire en mots l'effet du r&eacute;sultat de Peano sur le monde math&eacute;matique. Tout semblait r&eacute;duit &agrave; n&eacute;ant, tous les concepts math&eacute;matiques fondamentaux semblaient avoir perdu leur signification. &raquo; Ces courbes scandaleuses sans pente et &agrave; la dimension ambigu&euml; &eacute;taient extr&ecirc;mement troublantes. Le seul espoir des math&eacute;maticiens &eacute;tait de pouvoir les ignorer en les consid&eacute;rant comme une simple chim&egrave;re de la pens&eacute;e abstraite, une blague de math&eacute;maticien sans danger pour la mani&egrave;re ordonn&eacute;e utilis&eacute;e par les math&eacute;matiques et la g&eacute;om&eacute;trie pour d&eacute;crire la nature. Le grand Poincar&eacute; lui-m&ecirc;me adopta une position d&eacute;fensive. Il qualifia ces courbes &eacute;tranges de &laquo; galerie de monstres &raquo;.</p> 					<p>N&eacute;anmoins, soixante-dix ans apr&egrave;s Peano&gt; Mandelbrot prit ces courbes au s&eacute;rieux et, en suivant leurs implications, fut &agrave; m&ecirc;me de faire tourner les tables dans les math&eacute;matiques. Il d&eacute;montra avec conviction qu'il &eacute;tait faux de penser que les courbes monstrueuses n'avaient que peu de rapport avec la g&eacute;om&eacute;trie de l'Univers. Tout au contraire. Il prouva qu'en elles r&eacute;sidait le secret de la mesure de l'irr&eacute;gularit&eacute; du monde r&eacute;el. Le secret des fractales.</p> 					<p>Qu'est donc exactement une fractale et de quoi est-ce fait? La figure 0.6 illustre la cr&eacute;ation d'une fractale trouvant son origine dans la courbe &laquo; flocon de neige &raquo; engendr&eacute;e par Helge von Koch en 1904.</p> 					<p><a href="img/fig6.JPG"><b>Figure 0.6 </b></a><b>L'application successive du g&eacute;n&eacute;rateur aux c&ocirc;t&eacute;s d'un triangle (un initiateur) cr&eacute;e un flocon de neige aux bords d&eacute;coup&eacute;s dans lequel le triangle se r&eacute;p&egrave;te &agrave; des &eacute;chelles de plus en plus petites.</b></p> 					<p>Fondamentalement, &laquo; l'&icirc;le de Koch &raquo;, ou flocon de neige, est cr&eacute;&eacute;e par un processus d'it&eacute;ration dans lequel chaque &eacute;tape est r&eacute;p&eacute;t&eacute;e &agrave; une &eacute;chelle inf&eacute;rieure. On obtient ainsi une courbe de grande complexit&eacute;, renfermant un nombre de d&eacute;tails extraordinairement &eacute;lev&eacute;. Avec leurs baies, criques et promontoires, les &icirc;les de Koch rappellent de vraies &icirc;les - si ce n'est qu'elles sont beaucoup trop r&eacute;guli&egrave;res. Les v&eacute;ritables &icirc;les doivent &ecirc;tre d&eacute;crites avec des fractales plus &eacute;labor&eacute;es. N&eacute;anmoins, les &icirc;les de Koch illustrent un degr&eacute; de complexit&eacute; tout &agrave; fait &eacute;tranger &agrave; la g&eacute;om&eacute;trie conventionnelle. De toute &eacute;vidence, cette fractale simple r&eacute;v&egrave;le un &eacute;l&eacute;ment nouveau sur la mani&egrave;re dont les math&eacute;matiques peuvent &ecirc;tre utilis&eacute;es pour d&eacute;crire les formes de la nature.</p> 					<p></p> 				</td> 			</tr> 			<tr> 				<td valign="top" width="123"> 					<p align="right"><font size="+1" color="#666666"><a name="bret"></a><b>L'exemple de la c&ocirc;te de la Bretagne</b></font></p> 					<p align="right"><a href="#top">retour</a></p> 				</td> 				<td valign="top"> 					<p>Pour un math&eacute;maticien, cette figure renferme &eacute;galement des surprises moins &eacute;videntes. La premi&egrave;re surgit lorsque l'on tente de mesurer le p&eacute;rim&egrave;tre de l'&icirc;le, c'est-&agrave;-dire de d&eacute;terminer la longueur de sa ligne c&ocirc;ti&egrave;re. En fait, on peut ramener ce probl&egrave;me &agrave; notre Univers r&eacute;el : quelle est la longueur de la c&ocirc;te de la Bretagne ? C'&eacute;tait pr&eacute;cis&eacute;ment la question pos&eacute;e par Mandelbrot dans un article classique. La r&eacute;ponse lui valut sa renomm&eacute;e.</p> 					<p>Les nations veulent bien &eacute;videmment conna&icirc;tre la longueur de leurs c&ocirc;tes et de leurs fronti&egrave;res. Lors du trac&eacute; d'une fronti&egrave;re entre deux pays, par exemple entre le Canada et les Etats-Unis ou entre la France et l'Espagne, les deux parties doivent s'entendre sur sa longueur. A premi&egrave;re vue, ce probl&egrave;me peut sembler simple et avoir une solution simple - il suffit de mesurer la fronti&egrave;re. Dans la r&eacute;alit&eacute;, les journaux officiels et les textes g&eacute;ographiques donnent des longueurs diff&eacute;rentes pour une m&ecirc;me c&ocirc;te ou fronti&egrave;re. Comment est-ce possible ?</p> 					<p>Est-ce d&ucirc; &agrave; une n&eacute;gligence analytique ? Ou &agrave; une erreur de calcul ?</p> 					<p>On pourrait croire que le probl&egrave;me de la longueur de la c&ocirc;te de la Bretagne peut &ecirc;tre r&eacute;solu simplement en prenant une bonne carte et en suivant le p&eacute;rim&egrave;tre c&ocirc;tier &agrave; l'aide d'un morceau de fil, pour ensuite lire le r&eacute;sultat sur l'&eacute;chelle imprim&eacute;e au bas de la carte. N&eacute;anmoins, un temps de r&eacute;flexion r&eacute;v&egrave;le que, sur la carte, les d&eacute;tails ont tendance &agrave; &ecirc;tre adoucis et omis. Elle ne montre que les grandes courbes de la c&ocirc;te et ignore les nombreuses baies et criques. La solution doit donc consister &agrave; utiliser une carte plus d&eacute;taill&eacute;e. Dans ce cas, le fil se pliera et s'enroulera autour d'un plus grand nombre de d&eacute;tails. Cela signifie que la longueur de la c&ocirc;te sera plus importante. Est-il possible d'am&eacute;liorer encore ce r&eacute;sultat? Si l'on proc&egrave;de &agrave; une mesure, par exemple &agrave; des intervalles de cent m&egrave;tres le long de la c&ocirc;te, le r&eacute;sultat sera encore plus d&eacute;taill&eacute;. Une fois encore, la longueur de la c&ocirc;te sera plus importante.</p> 					<p>Mais pourquoi s'arr&ecirc;ter l&agrave;, pourquoi ne pas mesurer la c&ocirc;te &agrave; des intervalles de cinquante m&egrave;tres voire de dix m&egrave;tres ? Dans chaque cas, on tiendra compte de d&eacute;tails de plus en plus pr&eacute;cis et le fil se pliera de mani&egrave;re de plus en plus complexe. Il est maintenant &eacute;vident que plus le nombre de d&eacute;tails inclus est important, plus longue devient la c&ocirc;te.</p> 					<p>Qu'advient-il si l'on tient compte de tous les d&eacute;tails- les rochers, les galets, la poussi&egrave;re, voire les mol&eacute;cules ? La c&ocirc;te doit en r&eacute;alit&eacute; &ecirc;tre infinie. En fait, la c&ocirc;te de la Bretagne a la m&ecirc;me longueur que celle de Manhattan ou de la totalit&eacute; des Am&eacute;riques.</p> 					<p>Elles sont toutes infinies.</p> 					<p>C'&eacute;tait l&agrave; la conclusion choquante &agrave; laquelle aboutissait Mandelbrot. Mais peut-elle &ecirc;tre vraie ? Il suffit de r&eacute;fl&eacute;chir un peu pour &ecirc;tre convaincu que toute figure contenant des d&eacute;tails &agrave; des &eacute;chelles de plus en plus petites doit avoir une longueur infinie.</p> 					<p>Evidemment, ce qui est valable pour la c&ocirc;te de la Bretagne l'est &eacute;galement pour la longueur d'une courbe de Koch, pour toutes les courbes fractales.</p> 					<p>Dans la pratique, nous pouvons accepter une &eacute;chelle conventionnelle et ignorer tous les d&eacute;tails en de&ccedil;&agrave; de cent m&egrave;tres ou d'une autre valeur. Cela &eacute;quivaut &agrave; l'image d'une c&ocirc;te &laquo; brouill&eacute;e &raquo; de sorte que les d&eacute;tails inf&eacute;rieurs &agrave; cent m&egrave;tres sont estomp&eacute;s. S'ils pouvaient s'accorder sur une &eacute;chelle, les cartographes pourraient mesurer et comparer des c&ocirc;tes. Cependant, du point de vue du math&eacute;maticien, un tel compromis laisse beaucoup &agrave; d&eacute;sirer.</p> 					<p>Puisque math&eacute;matiquement toutes les c&ocirc;tes comprenant des d&eacute;tails r&eacute;els doivent avoir une longueur infinie, est-il possible de comparer de telles figures? Nouvelle surprise puisque la r&eacute;ponse de Mandelbrot est oui. Cependant, elle d&eacute;place le probl&egrave;me de la mesure quantitative des longueurs &agrave; une nouvelle sorte de mesure qualitative fond&eacute;e sur les &eacute;chelles - la dimension fractale.</p> 				</td> 			</tr> 			<tr> 				<td valign="top" width="123"> 					<p align="right"><font size="+1" color="#666666"><a name="comprendre"></a><b>Comprendre les fractales</b></font></p> 					<p align="right"><a href="#top">retour</a></p> 				</td> 				<td valign="top"> 					<p>Pour pouvoir comprendre les dimensions fractales, nous devons tout d'abord nous d&eacute;barrasser des id&eacute;es re&ccedil;ues en ce qui concerne la signification d'une dimension. La plupart pensent avoir une id&eacute;e tout &agrave; fait claire de ce concept. L'espace comprend trois dimensions. Un mur, un dessus de table ou une feuille de papier ont deux dimensions. Une droite, une courbe ou une ar&ecirc;te ont une seule dimension.</p> 					<p>Enfin, un point ou un ensemble de points ont z&eacute;ro dimension. Les dimensions rencontr&eacute;es dans notre univers quotidien sont sans aucune ambigu&iuml;t&eacute; : 0, 1, 2, ou 3. Mais les choses sont-elles r&eacute;ellement aussi simples ? Quelle est, par exemple, la dimension d'une pelote de ficelle ? Vue de loin, la pelote ressemble &agrave; un point et a par cons&eacute;quent z&eacute;ro dimension. N&eacute;anmoins, &agrave; seulement quelques m&egrave;tres, tout revient &agrave; la normale et la pelote a trois dimensions.</p> 					<p>Mais qu'advient-il lorsque l'on s'en approche tr&egrave;s pr&egrave;s ? Nous voyons alors un seul fil, tordu et enroul&eacute;. La pelote est constitu&eacute;e d'une ligne tordue et est, d&egrave;s lors, unidimensionnelle. Encore plus pr&egrave;s, cette ligne se transforme en une colonne d'&eacute;paisseur finie et la ficelle devient tridimensionnelle. Plus pr&egrave;s encore, nous ne distinguons plus que de fins fils individuels qui se tordent les uns autour des autres pour former la ficelle - la pelote est redevenue unidimensionnelle.</p> 					<p>Autrement dit, la &laquo; dimension effective &raquo; de la pelote passe sans cesse de trois &agrave; une et inversement.</p> 					<p>(...)</p> 				</td> 			</tr> 			<tr> 				<td valign="top" width="123"> 					<p align="right"><a href="#top">retour</a></p> 				</td> 				<td valign="top"> 					<p><font face="Zapf Dingbats" color="#FF0000">n</font> mise en page &lt; luc dall'armellina &gt; <a href="mailto:lucdall@magic.fr">lucdall@magic.fr </a></p> 				</td> 			</tr> 		</table> 		</font></p> 	</body>  </html> 
