<HTML> <HEAD> <TITLE>CHAOS DETERMINISTE Oscillation d'un pendule chaotique</TITLE> <META NAME="description" CONTENT="CHAOS DETERMINISTE Oscillation d'un pendule chaotique"> <META NAME="keywords" CONTENT="MATHS"> <META NAME="resource-type" CONTENT="document"> <META NAME="distribution" CONTENT="global"> <META HTTP-EQUIV="Content-Type" CONTENT="text/html; charset=iso_8859_1"> <link href="chaos.zip"> <link href="chaos.zip" title="chaos.zip"> </HEAD> <BODY bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" alink="#000066" link="#3333FF" vlink="#00FFFF" > <h1 align="CENTER"><b>CHAOS DETERMINISTE <br>   Oscillation d'un pendule chaotique</b></h1> <p align="CENTER"><strong>CHANGEY Sbastien - LECLER Sylvain <br>   Responsable de Projet : Monsieur Takakura</strong></p> <p align="CENTER"><strong>Fvrier 2000 </strong></p> <P ALIGN="left">&nbsp;</P> <P ALIGN="left">Cette page n'est en fait qu'un r&eacute;sum&eacute; du projet    : vous avez acces au <a href="maths-long.html"> rapport complet</a></P> <div align="center">    <p align="left">Vous pouvez t&eacute;l&eacute;charger le programme correspondant      &agrave; cette page : <a href="chaos.zip">chaos.zip</a> </p>   <p align="left">Vous pouvez aussi t&eacute;l&eacute;charger le code source d'un      fichier exemple, permettant de faire &quot;une animation&quot; en C : <a href="essai.zip">essai.zip</a></p> </div> <div align="left">    <div align="left">     <p></p>   </div>   <ul>     <li>        <div align="left"><a href="#sujet">Enonc&eacute; du sujet</a></div>     </li>   </ul>   <div align="center">      <div align="left">       <ul>         <li><a name="tex2html16"  href="#SECTION00040000000000000000"> Etude du comportement chaotique du pendule</a>            <ul>             <li><a name="tex2html17"  href="#SECTION00041000000000000000"> Le pendule simple</a>                <ul>                 <li><a name="tex2html18"  href="#SECTION00041100000000000000"> Sans amortissement</a>                  <li><a name="tex2html19"  href="#SECTION00041200000000000000"> Avec amortissement visqueux</a>                </ul>             <li><a name="tex2html20"  href="#SECTION00042000000000000000"> Le pendule forc</a>                <ul>                 <li><a name="tex2html21"  href="#SECTION00042100000000000000"> Sans amortissement et sans bruit</a>                  <li><a name="tex2html22"  href="#SECTION00042200000000000000"> Avec amortissement et sans bruit</a>                  <li><a name="tex2html23"  href="#SECTION00042300000000000000"> Avec amortissement et avec un bruit blanc</a>                  <li><a name="tex2html24"  href="#SECTION00042400000000000000"> Avec amortissement et avec un bruit liss</a>                </ul>           </ul>         <li><a name="tex2html25"  href="#SECTION00050000000000000000"> Conclusion</a>          <li><a name="tex2html36"  href="#SECTION000110000000000000000"> Notice d'utilisation du programme</a>        </ul>     </div>   </div>   <p>&nbsp;</p> </div> <div align="center">    <h1 align="left"><a name="sujet"></a>Enonc&eacute; du sujet</h1>   <p align="left">Un pendule constitu d'une masse <I>m</I> fixe au bout d'une      tige de longueur <I>l</I> est soumis  un couple sinusodale. </p>   <p align="left">On demande : </p> </div> <blockquote>    <ol>     <ol>       <li> d'tablir l'quation du mouvement satisfaite par l'angle instantan          <IMG WIDTH="33" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img2.gif"  ALT="$\theta(t)$"> entre la tige et la verticale </li>       <li>d'intgrer cette quation par la mthode de Runge-Kutta </li>       <li>d'tudier la transition vers le chaos en faisant une reprsentation          graphique de la section de Poincar dans le diagramme de phase <IMG WIDTH="44" HEIGHT="39" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img3.gif"  ALT="$(\theta,\dot{\theta})$">. </li>     </ol>   </ol> </blockquote> On prendra d'abord <IMG WIDTH="70" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img4.gif"  ALT="$\varphi(t)=0$">, puis on fera l'tude dans la cas o <IMG WIDTH="36" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img5.gif"  ALT="$\varphi(t)$"> est un bruit blanc centr de variance <IMG WIDTH="21" HEIGHT="18" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img6.gif"  ALT="$\sigma^{2}$">.  <h2><a name="SECTION00031000000000000000">Ce que fait le programme</a> </h2> <p> Il permet, apres avoir choisi les paramtres caractrisant le pendule, d'intgrer    les quations de son mouvement par la mthode de Runge-Kutta <i>(cette mthode    permet un calcul  l'ordre 4 )</i>, et reprsente sa trajectoire dans le diagramme    de phase puis dans celui de Poincar. <br> <p>&nbsp;  <h2><a name="SECTION00040000000000000000">Etude du comportement chaotique du pendule</a>  </h2> <h2> <a name="SECTION00041000000000000000"></a>Le pendule simple - <a name="SECTION00041100000000000000">Sans    amortissement</a> </h2> <p> Le diagramme de phase est en forme d'ellipse :  <p>  <div align="CENTER"> <img width="400" height="300" align="BOTTOM" border="0"  src="pendulesimple-sans-sinus-phase.jpg"  alt="\includegraphics  "><br>   <i>diagramme de phase</i> </div> <br> <br> <p>&nbsp;  <p>  <h3><a name="SECTION00041200000000000000">Avec amortissement visqueux</a> </h3> <p>&nbsp;  <div align="CENTER"> <img width="350" height="262" align="BOTTOM" border="0"  src="penduleamorti.jpg"  alt="\includegraphics  "><br>   <i>pendule amorti</i> </div> <p><b>Le pendule simple tant un systme entirement dcrit avec deux parametres    physiques, il n'a pas de comportement chaotique.</b>  <p>  <p><br> <h2><a name="SECTION00042000000000000000"> Le pendule forc</a> </h2> <p> On applique au pendule un couple <img width="169" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img1.gif"  alt="$\Gamma = A cos(\omega t + \varphi(t))$"> o&#249; <img width="36" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img5.gif"  alt="$\varphi(t)$"> est un bruit.  <h3><a name="SECTION00042100000000000000">Sans amortissement et sans bruit</a>  </h3> <p><b>Commentaire :</b> On observe que :  <ul>   <li> quand on augmente l'amplitude <i>A</i> du couple d'exitation, le domaine      de frquence o&#249; apparait la rsonance s'largit et la rsonance elle-mme      est amplifie.    <li> les trajectoires dans la <b>section de Poincar</b> convergent souvent      vers des figures appelles attracteurs : ceux-ci peuvent avoir des formes      tres diverses. <br> </ul> <div align="CENTER">    <table cellpadding=3 border="1">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>A</td>       <td align="CENTER" nowrap>amort</td>       <td align="CENTER" nowrap>c</td>       <td align="CENTER" nowrap>n</td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>2</sub></i></td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>1</sub></i></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>0.006</td>       <td align="CENTER" nowrap>&nbsp;</td>       <td align="CENTER" nowrap>&nbsp;</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>       <td align="CENTER" nowrap>1600</td>       <td align="CENTER" nowrap>30</td>     </tr>   </table> </div> <div align="CENTER">    <table cellpadding=3 width="510">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap width="250"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="attracteur-diverse1.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>       <td align="CENTER" nowrap width="240"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="attracteur-diverse2.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <th align="CENTER" nowrap width="250"><i>exemple d'attracteur</i></th>       <td align="CENTER" nowrap width="240"><i>un autre type d'attracteur</i></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap width="250"><i>w</i>=2</td>       <td align="CENTER" nowrap width="240"><i>w</i>=5</td>     </tr>   </table> </div> <p>  <h3>&nbsp;</h3> <h3><a name="SECTION00042200000000000000">Avec amortissement et sans bruit</a>  </h3> <p> L'ajout d'un amortissement contribue  stabiliser le pendule. L'angle <img width="33" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img2.gif"  alt="$\theta(t)$"> a une volution au cours du temps qui devient sinusodale    : on obtient un pendule entretenu. On observe que :  <ul>   <li> plus la pulsation d'exitation est grande, plus <img width="33" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img2.gif"  alt="$\theta(t)$"> tend vers une sinusode.    <li> l'amplitude des oscillations du pendule entretenu est maximum  la rsonance      et nulle pour les valeurs extremes de <i>w</i> (<i>w</i>=0.1 - <i>w</i>=100).      <br>     <br>   <li> si l'amplitude <i>A</i> du couple exitateur est trs petite (<i>A</i>=0.001),      l'amplitude des oscillations entrenues est trop petite. A l'inverse, si <i>A</i>      est trop grand (<i>A</i>=0.01), le chaos devient omni prsent. <br>     Nous avons choisi <i>A</i>=0.006 :      <ul>       <li> pour que le chaos soit trs rare sans bruit.        <li> pour que le domaine de rsonance soit assez large en frquence.        <li> pour que l'amplitude du signal entretenu ait une valeur raisonnable.      </ul> </ul> <p>  <div align="CENTER">    <table cellpadding=3 border="1">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>A</td>       <td align="CENTER" nowrap>w</td>       <td align="CENTER" nowrap>amort</td>       <td align="CENTER" nowrap>c</td>       <td align="CENTER" nowrap>n</td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>2</sub></i></td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>1</sub></i></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>0.006</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.8</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.003</td>       <td align="CENTER" nowrap>&nbsp;</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>       <td align="CENTER" nowrap>1600</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>     </tr>   </table>   <p> <br>     <img width="500" height="375" align="BOTTOM" border="0"  src="vers-pendule-entretenu.jpg"  alt="\includegraphics  "></p>   <p> <i><img width="33" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img2.gif"  alt="$\theta(t)$"> pour le pendule entretenu</i> <br>     <i>1 zone de transition</i> <br>     <i>2 stabilisation du pendule</i> </p> </div> <br> <h3><a name="SECTION00042300000000000000"> Avec amortissement et avec un bruit    blanc</a> </h3> <p> Un bruit blanc est un signal alatoire de moyenne nulle, prenant des valeurs    indpendantes les unes des autres. Quand on integre ce bruit en tant que phase    dans le couple exitateur, on favorise l'apparition du chaos. <br>   Cette modlisation avec un bruit se rapproche encore plus de la ralit physique,    car elle traduit les perturbations engendres par l'environement. <br>   La sensibilit aux conditions initiales rend difficile la convergence de Runge-Kutta,    et nous contraint  diminuer le temps d'tude <i>t<sub>2</sub></i>. On se contentera    malgr tout d'carts quadratiques relativement levs. <br>   <br>   <b>commentaires : </b> <ul>   <li> on peut justifier la difficult qu'a Runge-Kutta  converger par le fait      que l'algorithme utilise <i>f</i>(), la fonction drivation du couple<img width="1" height="47" align="MIDDLE" border="0"  src="img28.gif"  alt="$(\dot{\theta},\theta)$">, et que le bruit n'est pas drivable (bruit blanc).    </li>   <li> la non drivabilit du bruit, pour la mme raison, explique le manque de      netet de certains attracteurs. <i>(fig 2)</i>      <p>Cependant, l'observation des attracteurs dans la section de Poincar permet        quand mme de discerner les cas chaotiques. <i>(fig 1)</i> <br>       <br>     </p>   </li> </ul> <div align="CENTER">   <table cellpadding=3 border="1">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>fig</td>       <td align="CENTER" nowrap>A</td>       <td align="CENTER" nowrap>w</td>       <td align="CENTER" nowrap>amort</td>       <td align="CENTER" nowrap>c</td>       <td align="CENTER" nowrap>amp</td>       <td align="CENTER" nowrap>lisse</td>       <td align="CENTER" nowrap>n</td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>2</sub></i></td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>1</sub></i></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.006</td>       <td align="CENTER" nowrap>14</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.003</td>       <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.003</td>       <td align="CENTER" nowrap>&nbsp;</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>       <td align="CENTER" nowrap>1600</td>       <td align="CENTER" nowrap>40</td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>2</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.006</td>       <td align="CENTER" nowrap>5</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.003</td>       <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.05</td>       <td align="CENTER" nowrap>&nbsp;</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>       <td align="CENTER" nowrap>1600</td>       <td align="CENTER" nowrap>40</td>     </tr>   </table>   <table cellpadding=3>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap width="250" height="188"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="convergence-vers-pendule-entretenu-bruit.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>       <td align="CENTER" nowrap width="6" height="188"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="attracteur-contour-irregulier.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <th align="CENTER" nowrap width="250">          <div align="center"><i>fig 1 : convergence</i></div>       </th>       <td align="CENTER" nowrap width="6">          <div align="center"><i>fig 2 : attracteur</i></div>       </td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <th align="CENTER" nowrap width="250">          <div align="center"><i>du pendule entretenu</i></div>       </th>       <td align="CENTER" nowrap width="6">          <div align="center"><i>avec contour irrgulier</i></div>       </td>     </tr>   </table>   <br>   <br> </div> L'attracteur reprsent figure 2 ne permet pas de prdire avec prcision l'volution  du pendule, mais ce n'est pas un cas chaotique : le manque de prcison est une  consquence de la non drivabilit du bruit. <h3><a name="SECTION00042400000000000000">Avec amortissement et avec un bruit    liss</a> </h3> <p> Le lissage est une opration qui permet de diminuer les variations du bruit,    et donc qui permet de le rendre drivable  l'chelle du pas de calcul utilis    par Runge-Kutta ; <b>attention : le lissage diminue l'amplitude</b>.Le bruit    utilis ayant une distribution uniforme, sa variance est relie  son amplitude    : ainsi, nous utiliserons la variance calcule pour dterminer l'amplitude de    ce bruit. <br>   <br>   Le bruit, suffisament liss, devient drivable. Runge-Kutta qui utilise l'opration    de drivation dans son algorithme converge mieux : les attracteurs ont des contours    plus nets. <br>   <br> <div align="CENTER"> <i>Amlioration de la netet des contours avec le nombre    de lissages</i>    <table cellpadding=3 border="1">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>A</td>       <td align="CENTER" nowrap>amort</td>       <td align="CENTER" nowrap>c</td>       <td align="CENTER" nowrap>amp</td>       <td align="CENTER" nowrap>lisse</td>       <td align="CENTER" nowrap>lb</td>       <td align="CENTER" nowrap>n</td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>2</sub></i></td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>1</sub></i></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>0.006</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.003</td>       <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.4</td>       <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>300</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>       <td align="CENTER" nowrap>1600</td>       <td align="CENTER" nowrap>40</td>     </tr>   </table>   <table cellpadding=3 width="387">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap width="250"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="avec-1-lissage.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>       <td align="CENTER" nowrap width="117"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="avec-3-lissage.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <th align="CENTER" nowrap width="250"><i>(Poincar) 1 lissage</i></th>       <td align="CENTER" nowrap width="117"><i>(Poincar) 3 lissages</i></td>     </tr>   </table>   <p><i>lb est la taille de la fentre de lissage</i></p>   <p> On observe que pour une mme variance (amplitude) du bruit, plus le bruit      est liss, moins il y a de phnomnes chaotiques. <br>   </p> </div> <div align="CENTER"> <i>dans la section de Poincar :</i>    <table cellpadding=3 border="1">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>A</td>       <td align="CENTER" nowrap>w</td>       <td align="CENTER" nowrap>amort</td>       <td align="CENTER" nowrap>c</td>       <td align="CENTER" nowrap>amp</td>       <td align="CENTER" nowrap>lisse</td>       <td align="CENTER" nowrap>lb</td>       <td align="CENTER" nowrap>n</td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>2</sub></i></td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>1</sub></i></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>0.006</td>       <td align="CENTER" nowrap>5.8</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.003</td>       <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>6</td>       <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>300</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>       <td align="CENTER" nowrap>400</td>       <td align="CENTER" nowrap>400</td>     </tr>   </table>   <br>   <br>   <table cellpadding=3 width="241">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap width="250"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="supression-du-chaos-par-lissage.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>       <td align="CENTER" nowrap width="6"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="chaos-malgre-lissage.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <th align="CENTER" nowrap width="250" height="28"><i>avec 7 lissages : stable</i></th>       <td align="CENTER" nowrap width="6" height="28"><i>avec 2 lissages : chaos</i></td>     </tr>   </table>   <p align="left">Dans ces deux cas, le bruit a une variance constante, de l'ordre      de 10<sup>-2</sup>. <br>     <br>     Nous avons observ que pour un bruit de variance (amplitude) constante, on      peut faire disparatre un phnomene chaotique en lissant le bruit plusieurs      fois, puis le faire rappaaratre en augmentant son amplitude : </p> </div> <ul>   <li> le chaos est plus rare pour un bruit correl (liss).    <li> le chaos est plus frquent avec une augmentation de l'amplitude du bruit,      mme quand il est liss.  </ul> <p> Remarque : les conditions initiales ne semblent pas jouer un rle important    dans l'apparition du chaos.  <h1><a name="SECTION00050000000000000000">Conclusion</a> </h1> <p> L'tude a montr que pour certaines pulsations exitatrices, le pendule avait    un comportement chaotique observable dans sa section de Poincar. On peut observer    des priodes de transition vers le chaos. La prsence d'un bruit favorise l'appariton    des phnomnes chaotiques. Ceux-ci sont d'autant plus frquents que l'amplitude    du bruit est grande <i>(voir throrme de KAM en annexe</i>) et que celui-ci    est non correl. <br>   Le programme permet de visualiser tous les diagrammes prsents ici, mais aussi    les autres graphiques correspondants, ainsi que l'oscilation du pendule en temps    rel. On peut de plus laiss libre cours  l'imagination et au sens physique,    en faisant de nouvelles exprience par la saisie de nouveaux paramtres propres     l'utilisateur.  <p> <br> <h1><a name="SECTION000110000000000000000"> Notice d'utilisation du programme</a>  </h1> <p><b>ATTENTION : ce programme ne peut pas tre excut directement depuis la    disquette : il necessite d'tre copi sur le dique dur, car pour des problmes    d'espace mmoire, nous travaillons directement sur le disque dur ; le programme    peut crer des fichiers d'une taille allant jusqu' 16 Mo.</b>  <p> <br>   Au lancement, vous avez acces  deux choix :  <ul>   <li> le premier laisse libre le choix des paramtres    <li> le second permet de choisr parmis 15 cas enregistrs  </ul> <br> Dans tous les cas , le programme affiche ce qu'il fait :  <ul>   <li> il cre le fichier bruit, et en donne sa variance    <li> il le lisse ventuellement le bruit et recalcule la variance    <li> il resout l'quation du mouvement par la mthode de Runge-Kutta    <li> il calule et affiche l'cart quadratique entre la premiere rsolution et      une rsolution plus prcise    <li> il affiche les paramtres du problme    <li> il trace diffrents diagrammes selon les cas  </ul> </BODY> </HTML> 
