<HTML> <HEAD> <META HTTP-EQUIV="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1"> <TITLE>CHAPITRE 2 : NOTION DE CHAOS</TITLE> </HEAD> <BODY BGCOLOR="#FFFFFF" LINK="#3333FF" VLINK="#9933CC" ALINK="#FF0066" MARGINHEIGHT=0 MARGINWIDTH=0 STYLE="padding=0px ; margin=5px">  <FONT SIZE="5"><P><b>CHAPITRE 2 :<U>NOTION DE CHAOS</U></b> </FONT> <U><P>FICHIER MAPLE CORRESPONDANT : <a href="chaos.mws">CHAOS.MWS</a></U> <P>A ] <U>Tentative de dfinition</U> <P>Il n'existe pas encore de dfinition du chaos valable pour un systme dynamique quelconque. <P>Nanmoins, la communaut scientifique s'accorde, dans le cas d'un systme dynamique discret correspondant  une fonction d'un espace mtrique dans lui-mme,  le considrer comme chaotique s'il vrifie les proprits suivantes:  <P>1) <u>La proprit de sensibilit.</u> <P>2) <u>La proprit de mlange.</u> <P>3) <u>La densit des points priodiques.</u>  <P>Dans la suite, on va s'attacher  dfinir plus prcisment ces trois proprits dans le cadre particulier d'une fonction d'un segment de <IMG SRC="Image88.gif"> dans lui-mme, et on se limitera dans cette premire approche  une fonction <IMG SRC="Image89.gif">. <P>Ces dfinitions seront illustres par l'exemple du systme dynamique <IMG SRC="Image90.gif">, avec <IMG SRC="Image91.gif">, dont on montrera grce  de petits programmes MAPLE qu'il vrifie bien les proprits d'un systme chaotique.  <P>1) <U>La sensibilit aux conditions initiales</U> <P>Tout systme dynamique, qu'il soit discret ou continu, est sensible aux conditions initiales, sauf s'il est totalement trivial. Ceci signifie que si l'on change l'tat de dpart, on s'attend  ce que l'volution gnrale du systme soit galement modifie. Par exemple, si une pierre d'une certaine masse est projete avec une certaine vitesse initiale d'un certain point, le changement de la masse, du point de dpart ou de la vitesse initiale va provoquer un changement de trajectoire. <P>Nanmoins, dans bon nombre de systmes dynamiques, une petite erreur sur les conditions initiales va conduire  une erreur contrlable sur les tats suivants du systme. Par exemple, si <IMG SRC="Image92.gif">, et si <IMG SRC="Image93.gif">, alors <IMG SRC="Image94.gif">, ce qui fait que l'erreur relative <IMG SRC="Image95.gif"> reste constante. Un tel systme n'est pas chaotique, bien que sensible aux conditions initiales.  <P>Pour le mtorologue <U>Lorenz</U>, la caractristique d'un systme chaotique est que quelque soit l'erreur initiale <IMG SRC="Image96.gif">, aprs un certain nombre d'itrations (si l'on considre les systmes discrets) l'erreur sera du mme ordre que le signal lui-mme. <P>Par exemple, on peut vrifier que <IMG SRC="Image97.gif"> conduit  un systme dynamique de ce type en utilisant la procdure MAPLE <I>comparaison</I>, qui construit la "courbe" <IMG SRC="Image98.gif">, le nombre d'itrations <I>n</I>, la valeur initiale <I>x0</I> et l'erreur <I>epsilon</I> tant donns. On remarque que quelque soit le choix de ces diffrents paramtres, on obtient au bout d'une vingtaine d'itrations une courbe qui a la mme amplitude de valeurs (en fait <IMG SRC="Image99.gif">) que celle de <IMG SRC="Image100.gif"> (tester la procdure <I>orbite</I> avec le mme <I>n</I> et le mme <I>x0</I>). Ceci est typiquement le signe d'un comportement chaotique. <P>Une dfinition plus prcise de la sensibilit, applique au cas d'une fonction de <IMG SRC="Image99.gif"> dans <IMG SRC="Image99.gif"> est la suivante: <P ALIGN="CENTER"><IMG SRC="Image101.gif"> <P>La borne suprieure de l'ensemble des <IMG SRC="Image102.gif"> vrifiant cette condition est appele la <U>constante de sensibilit</U> du systme.  <P>On peut remarquer que la dfinition ci-dessus est facilement gnralisable si on remplace <IMG SRC="Image99.gif"> par un segment quelconque (pas un intervalle quelconque, sinon on n'est pas assur de l'existence de la constante de sensibilit). <P>De plus, elle est encore gnralisable si l'on se place dans le cadre de certains espaces mtriques plus gnraux que <IMG SRC="Image103.gif">.  <U><P>Remarque complmentaire</U>:  <P>Lors des premires itrations, la croissance de l'erreur est imperceptible sur les graphiques. Il est intressant de savoir que pour ces premires itrations,  <IMG SRC="Image104.gif"> fix, et pour une petite erreur initiale <IMG SRC="Image105.gif">, le systme se comporte presque de faon linaire, c'est  dire comme si la fonction tait du type <IMG SRC="Image106.gif">, avec <IMG SRC="Image107.gif">. <BR> Ceci est un comportement usuel dans ce type de systme dynamique, et le nombre positif <IMG SRC="Image108.gif"> peut tre dtermin exprimentalement de faon approche, ou mme parfois calcul avec des mthodes lmentaires de niveau Sup lorsque la fonction est suffisamment rgulire. Pour certains systmes dynamiques, il est intressant  connatre (penser  l'exemple de la suivie d'une population d'animaux sur quelques gnrations). <P>Le nombre <IMG SRC="Image109.gif"> s'appelle <U>l'exposant de Ljapounov de <IMG SRC="Image110.gif"> en <IMG SRC="Image111.gif"></U>. Dans l'exemple <IMG SRC="Image112.gif">, vous pourrez vrifier empiriquement qu'il vaut <IMG SRC="Image113.gif">, indpendamment de <IMG SRC="Image104.gif">, c'est--dire que <IMG SRC="Image114.gif"> se comporte de faon analogue  <IMG SRC="Image115.gif"> pour de petites valeurs de <IMG SRC="Image116.gif">, pour ce qui concerne la croissance de l'erreur.  <P>2) <U>La capacit de mlange</U> <P>Intuitivement, il s'agit de la proprit suivante: si l'on se donne deux sous-intervalles quelconques <IMG SRC="Image117.gif"> de <IMG SRC="Image118.gif">, le premier tant considr comme source et le second comme cible, il existe une orbite dont le premier terme <IMG SRC="Image119.gif"> est dans <IMG SRC="Image120.gif">, et qui a l'un de ses lments <IMG SRC="Image121.gif"> dans <IMG SRC="Image122.gif">. Le caractre arbitraire des intervalles source et cible implique alors qu'en fait il existe une infinit de telles orbites, et que pour chacune d'entre elles, il existe une infinit d'lments appartenant  l'intervalle cible. <P>Plus prcisment, la dfinition de la capacit de mlange est la suivante: <P ALIGN="CENTER"><IMG SRC="Image123.gif">  <P>La capacit de mlange est a priori difficile  visualiser de faon satisfaisante, puisqu'aucune mthode n'est donne pour le choix de <IMG SRC="Image119.gif"> et que le premier terme <IMG SRC="Image124.gif"> qui atteint l'intervalle cible peut tre d'indice trs lev. <P>Pourtant, il se trouve que les systmes chaotiques possdent gnralement une proprit voisine de la capacit de mlange, qui est celle de l'omniprsence des points  orbite ergodique. Une orbite est dite <U>ergodique</U> si l'ensemble de ses lments est dense dans <IMG SRC="Image118.gif">, c'est--dire si tout sous-intervalle ouvert de <IMG SRC="Image118.gif"> contient un point de cette orbite. L'omniprsence signifie que si l'on prend un point "au hasard" dans <IMG SRC="Image118.gif">, il est  orbite ergodique avec une probabilit gale  1. Par exemple, on sait que l'ensemble des nombres rationnels et celui des irrationnels sont tous deux denses dans <IMG SRC="Image118.gif">, mais si l'on prend un nombre de <IMG SRC="Image118.gif"> au hasard, il a une probabilit nulle d'tre rationnel, et gale  1 d'tre irrationnel (pour comprendre ce phnomne, imaginer que pour former un nombre de <IMG SRC="Image118.gif">, on tire au hasard la suite de ses chiffres dans son criture dcimale <IMG SRC="Image125.gif">. Former un nombre rationnel revient  tirer une suite de chiffres priodique  partir d'un certain rang, ce qui intuitivement - et on peut le montrer par un calcul lmentaire de probabilits - n'a aucune chance de se produire lorsque l'on fait une infinit de tirages).  <P>Si un systme possde cette proprit de l'omniprsence des points  orbite ergodique, il suffit de prendre un point au hasard dans l'intervalle source, et si l'on attend assez longtemps, l'un des itrs doit se retrouver dans l'intervalle cible. Ceci peut tre effectivement test pour <IMG SRC="Image126.gif"> grce  la procdure MAPLE <I>mlange</I>, dans laquelle l'on fournit le point initial <I>x0</I>, les bornes infrieure et suprieure <I>gamma</I> et <I>delta</I> de l'intervalle cible, et qui rend le couple (indice,valeur) correspondant au premier terme de l'orbite de <I>x0</I> qui appartient  l'intervalle cible.  <P>Cette proprit peut aussi tre visualise grce  la procdure <I>histogramme</I>, qui prend en entre un point initial <I>x0</I>, le nombre <I>n</I> d'itrations  effectuer, et le nombre <I>prcision</I> qui dfinit le nombre de sous-intervalles d'gale longueur en lesquels on doit subdiviser <IMG SRC="Image118.gif"> pour former le tableau des occurrences des lments de l'orbite dans chacun de ces intervalles, et qui fournit en sortie l'histogramme des occurrences pour un point initial donn (on ne voit que les sommets des btons). <P>On peut remarquer que lorsqu'on augmente <I>n</I>, la courbe des sommets semble tendre vers une courbe rgulire, symtrique par rapport  <IMG SRC="Image127.gif">, et qui reprsente  la limite la distribution des points de l'orbite dans <IMG SRC="Image118.gif">. <P>Cette courbe, qui est donc la densit d'une probabilit, est en fait la courbe de <IMG SRC="Image128.gif">.  <P>3) <U>La densit des points priodiques</U> <P>Cette proprit est simple  comprendre: dans tout sous-intervalle de <IMG SRC="Image118.gif">, il existe au moins un point priodique, c'est--dire dont l'orbite est un ensemble fini. On en dduit que tout sous-intervalle de <IMG SRC="Image118.gif"> en contient alors une infinit. <P>Par contre, cette proprit n'est pas visualisable,  cause de la proprit de sensibilit aux conditions initiales. En effet, un point priodique n'est en gnral pas cod dans la machine de faon exacte: il est arrondi, mme si c'est  une trs grande prcision. Or cette erreur sur la valeur initiale - ou sur l'une des valeurs suivantes si par hasard la valeur initiale est code de faon exacte - va faire voluer le systme de faon totalement diffrente, et mme, on peut l'affirmer  coup sr,  selon une orbite ergodique... <P>On peut par exemple vrifier  la main que le point <IMG SRC="Image129.gif"> est priodique de priode 3, et cela apparat au dbut du graphe obtenu par la procdure <I>orbite</I>, mais rapidement le comportement devient chaotique...  <P>A ce niveau, il est amusant de remarquer que si les points priodiques sont indcelables informatiquement dans un systme chaotique, inversement toutes les orbites que l'on peut construire dans les procdures telles que <I>orbite</I>, <I>comparaison</I>, <I>histogramme</I> ou <I>mlange</I> sont en fait priodiques! <P>En effet, la machine ne peut coder de faon diffrente plus d'un nombre fini de nombres rels: par exemple, si elle travaille " dix chiffres aprs la virgule", elle ne distingue dans <IMG SRC="Image118.gif"> que <IMG SRC="Image130.gif"> nombres diffrents. Au bout d'au plus <IMG SRC="Image130.gif"> itrations de <IMG SRC="Image131.gif">, elle va donc ncessairement calculer un terme dj rencontr, et ds lors l'orbite deviendra cyclique. C'est le grand nombre d'itrations ncessaire en gnral pour que cela se produise qui fait que l'on ne s'en rend pas compte. On le verrait mieux si par exemple, on forait tous les calculs  des rsultats  deux chiffres aprs la virgule, avec la fonction MAPLE <I>evalf</I>(.,2).  <P>B ] <U>Conclusion</U> <P>Un dernier point, qui n'est pas totalement mtaphysique, malgr les apparences, reste  lucider. <P>Est-il raisonnable de vouloir calculer des orbites pour un systme chaotique, lorsqu'on sait que, d'une part les machines de calcul ne permettent pas de travailler avec une prcision absolue, et que d'autres part la moindre erreur sur une valeur fait dvier compltement l'orbite, et ce de faon imprvisible?  <P>La rponse est surprenante: il est vrai que toute orbite calcule est fondamentalement fausse, et ce - on l'a vu avec la procdure <I>comparaison </I>- au bout dj d'une vingtaine d'itrations aprs la survenue d'une erreur, mais cependant quelque soit cette orbite fausse <IMG SRC="Image132.gif">, aussi petit soit le nombre <IMG SRC="Image133.gif">, il existe une orbite <U>relle </U><IMG SRC="Image134.gif"> telle que <IMG SRC="Image135.gif"> ! <P>Ce rsultat paradoxal s'appelle le <U>lemme de l'ombre</U>, parce que dans toute <IMG SRC="Image136.gif">-ombre d'une orbite calcule, il existe une orbite bien relle... <P>Donc, pour l'tude statistique d'un systme chaotique, le lemme de l'ombre justifie les calculs informatiques que l'on peut faire. Il faut toutefois garder  l'esprit que pour <IMG SRC="Image137.gif"> donn, le nombre que la machine donne pour <IMG SRC="Image138.gif"> peut tre n'importe quoi, et en tout cas est certainement sans rapport avec <IMG SRC="Image139.gif">...  <P>La dmonstration du comportement chaotique du systme dynamique associ  <IMG SRC="Image140.gif">, selon les critres vus ci-dessus, ainsi que celle du lemme de l'ombre pour ce systme, sera tablie en rsolvant le problme PBCHAOS.DOC (que malheureusement je n'ai pas :-( ).<br> <p align="right"><a href="../iterateur/ITERATEUR.html">Chapitre prcdent</a> <a href="../definitions.html">Sommaire</a> <a href="../fractals/FRACTAL.html">Chapitre suivant</a> </BODY> </HTML> 
