<HTML> <BODY TEXT="#000000" BGCOLOR="#FFEBCD"> <HEAD>    <META HTTP-EQUIV="Content-Type" CONTENT="text/html; charset=iso-8859-1">    <META NAME="Author" CONTENT="bonatti">    <META NAME="GENERATOR" CONTENT="Mozilla/4.03 [fr] (Win95; I) [Netscape]">    <TITLE>chaos</TITLE> </HEAD> <BODY>  <CENTER><B><U><FONT COLOR="#FF0000"><FONT SIZE=+2>Syst&egrave;mes non-uniform&eacute;ment hyperboliques</FONT></FONT></U></B></CENTER>   <P>La th&eacute;orie de Smale des dynamiques hyperboliques a eu un double role : d'une part elle &agrave; mis en &eacute;vidence que des syst&egrave;mes simples, sur des espaces de dimension petite, pouvaient avoir un comportement dynamique chaotique, et ceci de fa&ccedil;on persistante. D'autre part les dynamiques chaotiques qui apparaissent dans cette th&eacute;orie admettent une descrition compl&egrave;te, en particulier du point de vue de la th&eacute;orie ergodique.  <P>&nbsp;La th&eacute;orie de Smale a cependant un d&eacute;faut essentiel : l'ensemble des dynamiques hyperboliques n'est pas dense dans l'ensemble des diff&eacute;omorphismes ou des flots, et ce d&egrave;s la dimension 3 pour la topologie C1.  <P>Un probl&egrave;me essentiel est alors :  <P><B><U><FONT COLOR="#990000">Probl&egrave;me </FONT></U></B><I>Peut-on donner une description satisfaisante de la dynamique&nbsp; d'une partie dense dans l'ensemble des diff&eacute;omorphismes?</I> <BR>&nbsp;  <P>Les r&eacute;sultats dans ce sujet sont encore tr&egrave;s partiel.&nbsp; Mon approche s'int&egrave;gre dans celle d'un groupe de chercheurs (Lorenzo Diaz, Marcelo Viana, Enrique Pujals, Martin Sambarino, Raul Ures....et bien d'autres) centr&eacute;s sur <A HREF="\\www.impa.br">l'IMPA (Rio de Janeiro)</A>&nbsp; et autour de Jacob Palis. Nous avons&nbsp; suivi plusieurs pistes qui ont r&eacute;cemment trouv&eacute; leur coh&eacute;rence:  <P>D'une part, avec Lorenzo Diaz et Enrique Pujals, nous avons&nbsp; mis au point (&agrave; travers des exemples, puis de fa&ccedil;on conceptuelle) un cadre g&eacute;om&eacute;trique (plus faible que l'hyperbolicit&eacute;) permettant&nbsp; de couvrir une partie g&eacute;n&eacute;rique de l'ensemble des dynamiques.&nbsp; D'autre part, avec Marcelo Viana, nous montrons comment ce cadre g&eacute;om&eacute;trique permet de donner une bonne description de la dynamique, &agrave; l'aide de la th&eacute;orie ergodique.  <P>&nbsp;Dans cette page, sans doute trop technique et donc r&eacute;serv&eacute;e aux sp&eacute;cialistes, j'essaye de pr&eacute;senter mes propres travaux dans ce domaine. <BR>&nbsp; <CENTER><B><U><FONT COLOR="#FF0000"><FONT SIZE=+2>Etude g&eacute;om&eacute;trique</FONT></FONT></U></B></CENTER>   <P>Avec L. Diaz et&nbsp; E. Pujals, voir l'article <A HREF="publilist.html">33</A>, nous montrons qu'en dimension quelconque, il existe un sous-ensemble de Diff1(M), r&eacute;siduel ( intersection d&eacute;nombrable d'ouverts denses) pour la toplogie C1&nbsp; pour lequels la dynamique pr&eacute;sente une dichotomie de comportements possible: loin de l'adh&eacute;rence des ensembles infinis de sources ou de puits, la dynamique est concentr&eacute;e sur des ensembles poss&egrave;dant un affaiblissement de l'hyperbolicit&eacute;, appel&eacute;e <I>d&eacute;composition domin&eacute;e</I> . Pour les surfaces compactes, R. Man&eacute; avait prouv&eacute; une telle dichotomie g&eacute;n&eacute;rique, entre infinit&eacute; de puits et de sources, et&nbsp; hyperbolicit&eacute;: notre travail est tout-&agrave;-fait dans le m&ecirc;me esprit.  <P>L'un des points-cl&eacute;s qui nous a amen&eacute; vers ce r&eacute;sultat a &eacute;t&eacute;&nbsp; la compr&eacute;hension des diff&eacute;omorphismes <I>robustement transitifs</I> c'est &agrave; dire que tout diff&eacute;omorphisme suffisamment C1-proche&nbsp; poss&egrave;de une orbite dense. Le r&eacute;sultat de Man&eacute; sur les surfaces impliquait que les seuls diff&eacute;omorphismes robustement transitifs des surfaces sont les diff&eacute;omorphismes d'Anosov du tore T2. L'existence d'exemples de diff&eacute;omorphismes robustement transitifs non-hyperboliques (construits dans les ann&eacute;es 70&nbsp; par Shub puis Man&eacute; sur les tores T4&nbsp; et T3 respectivement) interdisaient une g&eacute;n&eacute;ralisation directe de ce r&eacute;sultat, en dimension plus grande.  <P>Avec L. Di az&nbsp; puis avec M. Viana&nbsp; nous avons construit de nombreux&nbsp; exemples de diff&eacute;omorphismes robustement transitifs s'&eacute;loignant de plus en plus de l'hyperbolicit&eacute; pour finalement ne conserver que la d&eacute;composition domin&eacute;e.  <P><B><U><FONT COLOR="#FF0000">Th&eacute;or&egrave;me </FONT></U></B>Tout diff&eacute;omorphisme robustement transitif d'une vari&eacute;t&eacute; compacte M poss&egrave;de une d&eacute;composition domin&eacute;e. <BR>&nbsp;  <P><B><U><FONT COLOR="#FF0000"><FONT SIZE=+1>Enjeux pour l'avenir</FONT></FONT></U></B>  <P>Les r&eacute;sultats ci-dessus ne font que commencer la description d'une partie dense de&nbsp; Diff1(M) , en montrant l'existence d'une d&eacute;composition domin&eacute;e. En effet, si la dynamique&nbsp; d'un diff&eacute;omorphisme, en restriction &agrave; un ensemble hyperbolique est bien comprise, on sait tr&egrave;s peu de chose si l'on remplace la structure hyperbolique par une simple d&eacute;composition domin&eacute;e.  <P>L'an pass&eacute; nous nous demandions si le Shadowing Lemma pouvait&nbsp; &ecirc;tre v&eacute;rifi&eacute; g&eacute;n&eacute;riquement pour les dynamiques partiellement hyperboliques: nous savons a pr&eacute;sent qu'il n'en est rien: voir <A HREF="publilist.html">30</A>. <BR>&nbsp;  <P>Voici quelques unes des questions qui me semblent &ecirc;tre abordables &agrave; pr&eacute;sent, et dont la r&eacute;ponse permettrait de structurer les dynamiques g&eacute;n&eacute;riques:  <P><U><FONT COLOR="#660000">Probl&egrave;mes:</FONT></U> <OL> <LI> &nbsp;<I>Existe-t-il un &eacute;quivalent (au moins g&eacute;n&eacute;rique) au th&eacute;or&egrave;me de decomposition spectral de la th&eacute;orie de Smale ? On aimerait montrer que, en l'absence d'infinit&eacute; de puits ou de sources, l'ensemble des points non-errant est l'union d'une famille finie d'ensembles disjoints transitif ayant une d&eacute;composition domin&eacute;e. Une des difficult&eacute;s consiste &agrave; d&eacute;finir la notion d'{\em ensembles transitifs maximaux} (deux ensembles transitifs disjoints ne sont pas a priori contenus dans un m\^eme ensemble transitif); voir \cite{B27} et \cite{B37} pour des premiers r&eacute;sultats dans cette direction.</I></LI>  <LI> <I>L'article \cite{BD} &agrave; mis en &eacute;vidence un m&eacute;canisme semi-local permettant de construire des exemples&nbsp; robustement transitifs. D\`\i az et Pujals conjecturent que ce m&eacute;canisme est n&eacute;cessaire.&nbsp; Pour cela l'une des clef consiste &agrave; comprendre topologiquement les feuilletages stable et instable forts:</I></LI>  <LI> <I>Montrer que,&nbsp; C1-g&eacute;n&eacute;riquement dans l'ensemble des diff&eacute;omorphismes robustement transitifs, les feuilletages stable ou instable forts sont minimaux (toutes leurs feuilles sont denses). Nous avons pour l'instant des cri&egrave;re topologique permettant de prover cette minimalit&eacute; modulo certaines hypth&egrave;se (du type "int&eacute;grabilit&eacute; de la direction centrale).</I></LI>  <LI> <I>Quel serait l'&eacute;quivalent des partitions de Markov pour les ensembles avec d&eacute;composi\-tion domin&eacute;e ?</I></LI> </OL>  <CENTER>&nbsp;<B><U><FONT COLOR="#FF0000"><FONT SIZE=+2>Approche ergodique</FONT></FONT></U></B></CENTER> Les travaux de Sinai Ruelle et Bowen dans les ann&eacute;es 70 ont montr&eacute; que les dynamiques hyperboliques admettent une famille finie de mesures de probabilit&eacute; qui d&eacute;crivent le comportement statistique de presque toutes les orbites, pour la mesure de Lebesgue.  <P>Depuis quelques ann&eacute;es J. Palis conjecture que ce r&eacute;sultat reste vrai pour une famille dense de dynamiques. Que cette conjecture soit vraie ou fausse, il me semble que le probl&egrave;me qu'elle pose est essentiel pour les syst&egrave;mes dynamiques. <BR>&nbsp;  <P>Avec Marcelo Viana, nous &eacute;tudions l'existence de telles mesures SRB (pour Sinai Ruelle et Bowen), ainsi que la finitude et leur bassin d'attraction. Nous avons commenc&eacute; notre &eacute;tude par les ensembles partiellement hyperboliques, c'est-&agrave;-dire poss&eacute;dant une d&eacute;composition domin&eacute;e o\`u l'un des deux fibr&eacute;s invariant est uniform&eacute;ment hyperbolique (l'autre &eacute;tant appel&eacute; {\em central}). Nous avons obtenu des r&eacute;ponses donnant un panorama presque complet, sous l'hypoth&egrave;se que tous les exposants de Lyapunov sont de meme signe dans la direction centrale, pour un ensemble de mesure de Lebesgue positive de points: <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; <OL> <LI> &nbsp;En pr&eacute;sence d'un fibr&eacute; instable fort, si les exposants du fibr&eacute; central sont plut&ocirc;t n&eacute;gatif, <A HREF="publilist.html">27</A> montre que les &eacute;tats de Gibbs du fibr&eacute; instable sont les mesures SRB et sont en nombre fini.</LI>  <LI> En pr&eacute;sence d'un fibr&eacute; stable fort, si le fibr&eacute; central est plut&ocirc;t dilatant nous montrons (avec Alves article 29) que l'on peut contruire des {\em &eacute;tats de Gibbs centre-instables}, et que ce sont les mesures SRB.</LI> </OL> &nbsp;  <P>L'article 29 permet aussi, mais avec des hypoth&egrave;ses tr&egrave;s restrictives, de traiter certains exemples d'ensemble avec d&eacute;composition domin&eacute;e mais n'ayant aucun sous-fibr&eacute; uniform&eacute;ment hyperbolique (donc pas partiellement hyperbolique). <BR>Il est cependant assez facile de contruire des exemples partiellement hyperboliques ne poss&eacute;dant pas de mesures SRB. Nous pensons &agrave; pr&eacute;sent essayer une m&eacute;thode perturbative: <BR>&nbsp;  <P><U><FONT COLOR="#660000">Probl&egrave;me:&nbsp;</FONT></U> <I>Consid&egrave;rons l'ensemble des diff&eacute;omorphismes robustement transitifs, poss&eacute;dant</I> <BR><I>un fibr&eacute; instable fort (avec peut-&ecirc;tre une hypoth&egrave;se sur la dimension de ce fibr&eacute; relativement &agrave; la dimension du fibr&eacute; central).&nbsp; Existe-t-il une parttie dense form&eacute;e des diff&eacute;omorphismes poss&eacute;dant un nombre fini de mesure SRB telles que l'union de leurs bassins est de mesure de Lebesgue total dans la vari&eacute;t&eacute; ?</I> <BR>&nbsp;  <P>L'une des difficult&eacute;s pour ce probl&egrave;me consiste en le contr&ocirc;le des exposants de Lyapunov dans la direction centrale. Un r&eacute;cent travail de Shub et Wilkinson, g&eacute;n&eacute;ralis&eacute; par Dolgopyat permet de perturber cet exposant central, en dimension trois, pour des syst&egrave;mes pr&eacute;servant le volume et dont la direction centrale a dimension 1 (ceci leur permet de prouver la g&eacute;n&eacute;ricit&eacute; de l' <I>ergodicit&eacute; stable</I>, dans ce cadre. Malheureusement leurs technique semble difficile &agrave; adapter en dehors du cadre conservatif.&nbsp; Avec M. Viana nous avons commenc&eacute; une nouvelle approche: il s'agit d'adapter le c&eacute;l&egrave;bre th&eacute;or&egrave;me de Furstenberg pour le produit al&eacute;atoire de matrices au cadre des cocycles lin&eacute;aires au dessus des syst&egrave;mes hyperboliques. Un r&eacute;sultat r&eacute;cent de J. Bochi (&eacute;tudiant de Viana) montre que, parmis les cocycles continus et non hyperboliques, l'existence d'exposants nuls est g&eacute;n&eacute;rique. Nos id&eacute;es semblent pouvoir traiter le cas des cocycles diff&eacute;rentiables tels que la dynamiques hyperbolique horizontale (de la base) domine la dynamique dans les fibres. <BR>&nbsp; <BR>&nbsp; </BODY> </HTML> 
