<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">  <!--Converted with LaTeX2HTML 99.2beta6 (1.42) original version by:  Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds * revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan * with significant contributions from:   Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others --> <HTML> <HEAD> <TITLE>Le chaos d&eacute;terministe</TITLE>  </HEAD>  <BODY  bgcolor="#ffffff">  <P> <H1 align=center><font size=+4>Le chaos d&eacute;terministe</font></H1>  <P> <HR>  <P> Un syst&egrave;me dynamique d&eacute;terministe est un syst&egrave;me &eacute;voluant avec le temps en suivant une loi pr&eacute;-&eacute;tablie.  <P> En g&eacute;n&eacute;ral, la loi d'&eacute;volution est locale : &agrave; chaque instant elle ne donne l'&eacute;volution du syst&egrave;me que sur un temps tr&egrave;s court. On cherche &agrave; conna&icirc;tre l'&eacute;volution globale du syst&egrave;me, en particulier son comportement quand le temps tend vers l'infini.  <P>  <table width=80% align=center> <TR> <TD valign=top> <B>Exemple physique :</B> oscillation d'un pendule. <P> Le bilan des forces permet de conna&icirc;tre l'acc&eacute;l&eacute;ration. Pour conna&icirc;tre l'&eacute;volution &agrave; long terme, il faut r&eacute;soudre une &eacute;quation diff&eacute;rentielle.  <P> Un pendule sans frottement oscille de fa&ccedil;on p&eacute;riodique sans jamais s'arr&ecirc;ter.<P>   <DIV ALIGN="CENTER"> <!-- MATH  $\includegraphics[height=3.2cm]{poster-fig1.eps}$  --> <IMG  WIDTH="177" HEIGHT="141" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img1.png"  ALT="pendule"> </DIV> </TD> <TD width=10%> </TD> <TD valign=top> Le temps peut &eacute;galement &ecirc;tre discret, c'est-&agrave;-dire qu'il vaut  successivement 0,1,2,3,..., 1742,...<P>  <B>Exemple :</B> suite r&eacute;currente <!-- MATH  $u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$  --> <IMG  WIDTH="147" HEIGHT="44" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img2.png"  ALT="$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$">.  <P> L'&eacute;tude de la fonction <!-- MATH  $f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right)$  --> <IMG  WIDTH="123" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img3.png"  ALT="$f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right)$"> permet de voir que la suite converge vers le point <IMG  WIDTH="26" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img4.png"  ALT="$\sqrt{a}$"> quelle que soit la valeur initiale de la suite.  <P> <I>Cet algorithme &eacute;tait utilis&eacute; par les Babyloniens pour calculer des racines carr&eacute;es.</I> </TD> </TR> </table>   <P>  <H2 align=center> D&eacute;terminisme et impr&eacute;visibilit&eacute;</H2>  <P> Chaque condition initiale d&eacute;termine enti&egrave;rement l'&eacute;volution future car il n'y a pas de hasard : le syst&egrave;me est <B>d&eacute;terministe</B>. Cependant, deux conditions initiales tr&egrave;s proches peuvent avoir des &eacute;volutions  compl&egrave;tement diff&eacute;rentes. L'&eacute;volution du syst&egrave;me devient alors impr&eacute;visible car une petite erreur de mesure ou un arrondi &agrave; la  15&egrave;me d&eacute;cimale conduisent &agrave; des r&eacute;sultats compl&egrave;tement faux au bout  d'un certain temps. C'est le <B>chaos d&eacute;terministe</B>.  <P> <I>Le m&eacute;t&eacute;orologue Lorenz a &eacute;t&eacute; le premier &agrave; r&eacute;aliser qu'il existe un chaos d&eacute;terministe. En m&eacute;t&eacute;o, cela a pour cons&eacute;quence qu'il sera toujours impossible de pr&eacute;voir le temps du mois prochain.</I>   <H2 align=center>Un syst&egrave;me chaotique simple</H2>  <P> L'&eacute;volution d'une population animale peut se mod&eacute;liser par la fonction <I>f (x)=rx</I>(1<I>-x</I>) : si &agrave; un moment donn&eacute; la population vaut <I>x</I>, &agrave; la g&eacute;n&eacute;ration suivante elle vaut <I>f (x)</I> (o&ugrave; <I>x</I>=1 repr&eacute;sente la population  maximale). Ce syst&egrave;me, tr&egrave;s simple, permet de mod&eacute;liser le fait que si la population est faible alors elle va augmenter, mais si la population est trop importante elle va manquer de ressources alimentaires et donc diminuer.<P>   Si le param&egrave;tre <I>r</I> est faible, la population se stabilise  autour d'une valeur donn&eacute;e (sch&eacute;ma ci-dessous).  <P> <table width=80% align=center> <TR> <TD> <DIV ALIGN="CENTER"> <!-- MATH  $\includegraphics[height=6cm]{poster-fig8.eps}$  --> <IMG  WIDTH="270" HEIGHT="266" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img5.png"  ALT="fonction f(x)=rx(1-x), r faible"> </DIV> </TD> <TD width=10%></TD> <TD> <i> L'image de  <IMG  ALIGN="top" SRC="img6.png" ALT="0 cercl&eacute;">   (horizontalement) est <IMG  ALIGN="top" SRC="img7.png" ALT="1 cercl&eacute;">   (verticalement). On se sert de la diagonale pour reporter  <IMG ALIGN="top" SRC="img7.png" ALT="1 cercl&eacute;"> sur l'axe horizontal, puis  on applique &agrave; nouveau la fonction f pour obtenir   <IMG ALIGN="top" SRC="img8.png" ALT="2 cercl&eacute;">, etc. On voit que la suite  converge vers un point fixe limite. </i> </TD> </TD> </TR> </table>  <P> Mais si le param&egrave;tre <I>r</I> est assez &eacute;lev&eacute; (par exemple <I>r</I>=4) le syst&egrave;me est chaotique, comme le montrent les sch&eacute;mas suivants.  <P> <table> <TR> <TD> <!-- MATH  $\includegraphics[height=6cm]{poster-fig2.eps}$  --> <IMG  WIDTH="255" HEIGHT="267" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img9.png"  ALT="f(x)=4x(1-x), premi&egrave;res it&eacute;rations"> </TD> <TD> <i>&Agrave; gauche, on a repr&eacute;sent&eacute; les premi&egrave;res valeurs de la suite  des it&eacute;r&eacute;s.<P>  &Agrave; droite,  on a repr&eacute;sent&eacute; un plus grand nombre d'it&eacute;rations, ce qui permet de voir que les diff&eacute;rentes valeurs se r&eacute;partissent un peu partout.<P>  Ci-dessous on a repr&eacute;sent&eacute; symboliquement les variations de population et de ressources alimentaires. </i> </TD> <TD> <!-- MATH  $\includegraphics[height=6cm]{poster-fig9.eps}$  --> <IMG  WIDTH="255" HEIGHT="267" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img10.png"  ALT="f(x)=4x(1-x), it&eacute;rations successives"> </TD> </TR> </table>  <P> <table width=100%> <TR> <TD align=center> <IMG  SRC="souris2.gif"  ALT="2 souris"></TD> <TD  align=center><IMG  SRC="souris4.gif"  ALT="4 souris"></TD> <TD align=center><IMG  SRC="souris9.gif"  ALT="9 souris"></TD> <TD  align=center><IMG  SRC="souris3.gif"  ALT="3 souris"></TD> <TD valign=bottom align=center> <IMG  SRC="question.gif"  ALT="?"> </TD> </TR>  <TR> <TD valign=bottom align=center> <IMG  SRC="fromage3.gif"  ALT="fromage"> </TD> <TD valign=bottom align=center> <IMG width=84 SRC="fromage3.gif"  ALT="fromage"> </TD> <TD valign=bottom align=center> <IMG  width=42 SRC="fromage3.gif"  ALT="fromage"> </TD> <TD valign=bottom align=center> <IMG  width=105 SRC="fromage3.gif"  ALT="fromage"> </TD> <TD></TD> </TR>  <TR> <TD align=center><IMG  SRC="img6.png" ALT="0"> </TD> <TD align=center><IMG  SRC="img7.png" ALT="1"> </TD> <TD align=center><IMG  SRC="img8.png" ALT="2"> </TD> <TD align=center><IMG  SRC="img14.png" ALT="3"> </TD> <TD align=center><IMG  SRC="img15.png" ALT="n"></TD> </TR>  <TR> <TD align=center>  population faible, nourriture abondante<br>  <IMG  SRC="img16.png" ALT="$\Rightarrow"> acroissement </TD> <TD></TD> <TD align=center> population trop importante<br> <IMG  SRC="img16.png" ALT="$\Rightarrow"> diminution </TD> <TD></TD> <TD align=center> &agrave; long terme, population inconnue </TD> </TR> </table>  <P>  <H2 align=center>Une statistique du chaos</H2> <P>  &Agrave; long terme, on ne peut pas savoir, m&ecirc;me approximativement, quelle sera  valeur d'un syst&egrave;me chaotique.  Par contre, on peut &eacute;tudier le syst&egrave;me d'un point de vue statistique. Une <B>mesure invariante</B> est une mesure de probabilit&eacute; probabilit&eacute; qui refl&egrave;te le comportement statistique du syst&egrave;me. Il existe plusieurs mesures invariantes pour le m&ecirc;me syst&egrave;me, plus ou moins pertinentes selon ce qu'on souhaite &eacute;tudier.  <P> L'entropie est une notion math&eacute;matique permettant de quantifier le chaos. Pour &eacute;tudier le  chaos, les <B>mesures invariantes d'entropie maximale</B> sont particuli&egrave;rement adapt&eacute;es car elles mettent l'accent sur les comportements les plus complexes, et elles permettent de voir o&ugrave; se  concentre cette complexit&eacute;.  <P> <I>Ci-dessous : 2 exemples de syst&egrave;mes chaotiques donn&eacute;s par l'it&eacute;ration  d'une fonction. &Agrave; droite de chaque fonction on a repr&eacute;sent&eacute; la  r&eacute;partition de la mesure invariante d'entropie maximale (le point d'abscisse  <I>x</I> donne la probabilit&eacute; d'&ecirc;tre compris entre 0 et <I>x</I>).</I>  <P> <table> <TR> <TD> <IMG  WIDTH="473" HEIGHT="210" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img12.png"  ALT="f(x)=4x(1-x)"> </TD> <TD> <I>La mesure invariante d'entropie maximale est r&eacute;partie sur tout l'intervalle  mais elle est davantage concentr&eacute;e pr&egrave;s des extr&eacute;mit&eacute;s 0 et 1. </I> </TD> </TR> <TR> <TD> <IMG  WIDTH="468" HEIGHT="202" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img13.png"  ALT="fonction tente tronqu&eacute;e"> </TD> <TD> <I>La mesure invariante d'entropie maximale est concentr&eacute;e sur un ensemble tr&egrave;s petit. En dehors de cet ensemble, les points atterrissent sur 0 au bout d'un certain temps. </I> </TD> </TR> </table>  <HR>  <ADDRESS> Le contenu de cette page est tir&eacute; d'un poster pr&eacute;sent&eacute;  aux Doctoriales de mai 2002. </ADDRESS> </BODY> </HTML> 
