<!DOCTYPE html 	PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN" 	"http://www.w3.org/TR/html4/loose.dtd"> <html lang="fr-FR"><head><title>CCSD thses-EN-ligne: Chaos en dynamique topologique, en particulier sur l&#39;intervalle, mesures d&#39;entropie maximale</title> <link rev="made" href="mailto:adminTEL%40ccsd.cnrs.fr"> <meta HTTP-EQUIV="content-type" CONTENT="text/html; charset=ISO-8859-1"> <style type="text/css"> .links {text-decoration: none; color: #FFFFFF; font-weight: bold;}  .black {text-decoration: none; color: #808080 } .logo {text-decoration: none; font-weight: bold;}</style> <script language="Javascript" src="/script/fenetre.js" type="text/javascript"></script> </head><body fgcolor="black" bgcolor="#fbefd1"> <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0>   <tr>     <td align="center" valign="middle" Xbgcolor="#f2ca6c" bgcolor="#fbefd1" fgcolor="black">   <!-- br -->    <a class=logo href="http://tel.ccsd.cnrs.fr/"><font size=+1 face="Verdana,Helvetica" color="#808080">thses<br>-E</font><font size=+1 face="Verdana,Helvetica" color="#f2ca6c">N-<br>ligne</font> </a> <!-- img border="0" width="93" height="29" src="http://tel.ccsd.cnrs.fr/images/ccsd3.gif" ALT="CCSD thses-EN-ligne" -->      </td>     <td width="100%" colspan=2 align=center valign="center" bgcolor="#f2ca6c" fgcolor="white"> <H2><font face="Verdana,Helvetica" color="#808080"><br>Chaos en dynamique topologique, en particulier sur l'intervalle, mesures d'entropie maximale</font></H2></td></tr>    <tr>     <td align="center" valign="top" Xbgcolor="#f2ca6c" bgcolor="#707070">       <table border=0 cellpadding=0 cellspacing=0>         <tr>           <td align=center valign=top Xbgcolor=#f2ca6c bgcolor="#707070"> 		      <BR>      <font size="2" face="Verdana, Helvetica" color="white"> <A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/" class="links">&nbsp;Page&nbsp;d'accueil&nbsp;</A>&nbsp;</font><BR><BR>         <font size="2" face="Verdana, Helvetica" color="white"> <A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/view-ROOT_fr.html" class="links">Lister</A>&nbsp;</font><BR><BR>             <font size="2" face="Verdana, Helvetica" color="white"> <A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/perl/searchfr?LANG=fr" class="links">Rechercher</A>&nbsp;</font><BR><BR>             <font size="2" face="Verdana, Helvetica" color="white"> <A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/register_fr.html" class="links">S'enregistrer</A>&nbsp;</font><BR><BR>             <font size="2" face="Verdana, Helvetica" color="white"> <A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/perl/users/subscribefr?LANG=fr"  class="links" >S'abonner</A>&nbsp;</font><BR><BR>            <font size="2" face="Verdana, Helvetica" color="white"  class="links" > <A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/perl/users/submitfr?LANG=fr" class="links" >Dposer</A>&nbsp;</font><BR><BR> 	   <font size="2" face="Verdana, Helvetica" color="white"> <A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/perl/users/homefr?LANG=fr" class="links">&nbsp;Vos documents</A>&nbsp;</font><BR><BR>            <font size="2" face="Verdana, Helvetica" color="white"> <A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/help/index_fr.html" class="links">Aide</A>&nbsp;</font><BR><BR> 	   <font size="2" face="Verdana, Helvetica" color="white"> <A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/information_fr.html" class="links">A propos</A></font><BR><BR>           </td>         </tr>       </table>     </td>      <td valign=top>       &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;     </td>     <td valign=top width="100%"> <BR><BR>  <font size="2" face="Verdana,Helvetica">  <P>Ruette, Sylvie. <b>Chaos en dynamique topologique, en particulier sur l'intervalle, mesures d'entropie maximale</b>. Thse de doctorat (26 novembre 2001), Institut de Mathmatiques de Luminy, UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE - AIX-MARSEILLE II.</P> <TABLE BORDER=0 CELLPADDING=5><TR><TD VALIGN=TOP><font size="2" face="Verdana, Helvetica"><STRONG>Formats disponibles :</STRONG></font></TD><TD><font size="2" face="Verdana, Helvetica"><A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/documents/archives0/00/00/11/44/tel-00001144-00/tel-00001144.ps">Postscript</A><BR><A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/documents/archives0/00/00/11/44/tel-00001144-01/tel-00001144.pdf">Adobe PDF</A><BR></font></TD></TR></TABLE> <p><STRONG>Rsum :</STRONG></p><P>Dans cette thse on s'intresse aux proprits lies au chaos et aux mesures d'entropie maximale (ou mesures maximales) pour certains systmes, en particulier ceux sur l'intervalle.  Pour un systme dynamique $(X,T)$, une entropie non nulle est considre comme une proprit chaotique. On montre qu'une entropie non nulle implique la prsence de couples asymptotiques propres, c'est--dire des couples de points distincts $(x,y)$ tels que la distance entre $T^n x$ et $T^n y$ tend vers zro quand $n$ tend vers l'infini. Si $T$ est de plus inversible, de nombreux couples asymptotiques pour $T$ sont des couples de Li-Yorke pour l'inverse de $T$. Les preuves de ces rsultats sont ergodiques.  Une chane de Markov topologique est l'ensemble des chemins sur un graphe orient ; c'est un outil pour l'tude des mesures maximales. Un graphe connexe est transient, rcurrent nul ou rcurrent positif. On rappelle les liens entre ces classes et la possibilit d'tendre ou de restreindre le graphe sans changer l'entropie, et on montre qu'un graphe transient admet un surgraphe rcurrent de mme entropie. On sait qu'une chane de Markov transitive a une mesure maximale si et seulement si le graphe est rcurrent positif. On donne un nouveau critre impliquant la rcurrence positive et on montre l'existence de mesures presque maximales fuyant vers l'infini pour un graphe non rcurrent positif.  Quand on se restreint aux systmes sur l'intervalle, les diverses notions de chaos concident largement. On prsente une synthse des liens existant entre les diffrentes proprits chaotiques.  Pour un systme sur l'intervalle, la question d'existence d'une mesure maximale se ramne dans certains cas  l'tude d'une chane de Markov. Cela permet de donner une condition assurant l'existence d'une mesure maximale pour les transformations $C^1$. Pour tout entier $n$, on construit des exemples de transformations de l'intervalle $C^n$ et mlangeantes mais n'admettant aucune mesure maximale. </P> <p><STRONG>Rsum en anglais :</STRONG></p><P>In this thesis we are interested in the properties linked to chaos and in the existence of measures of maximal entropy (called maximal measures) for some systems, in particular for systems on the interval.  For a topological dynamical system $(X,T)$, having a positive entropy is considered as a chaotic property. We show that a positive topological entropy implies the existence of proper asymptotic pairs, that is, pairs of distinct points $(x,y)$ such that the distance between $T^n x$ and $T^n y$ tends to zero when $n$ goes to infinity. In addition, if $T$ is invertible, many asymptotic pairs for $T$ are Li-Yorke pairs for the inverse of $T$. The proofs of these results rely entirely on ergodic methods.  A topological Markov chain is the set of infinite paths on an oriented graph; these systems are a tool for the study of maximal measures. A connected oriented graph is either transient or null recurrent or positive recurrent. We recall the links between this classification and the fact that a graph can be extended or contracted without changing its entropy, and we show that any transient graph is included in a recurrent graph of equal entropy. It is known that a Markov chain on a connected graph $G$ has a maximal measure if and only if $G$ is positive recurrent. We give a new condition implying positive recurrence and we show the existence of almost maximal measures escaping to infinity for non positive recurrent graphs.  When one restricts to dynamical systems on the interval, the various notions of chaos mostly coincide. We survey the links between the different chaotic properties.  For an interval map, the question of existence of maximal measures reduces in some cases to the study of a Markov chain. This allows us to give a condition that ensures the existence of a maximal measure for $C^1$ maps. For every integer $n$, we build an example of a $C^n$ mixing interval map which has no maximal measure. </P></font> <P><TABLE BORDER=0 CELLPADDING=3> <TR><TD VALIGN=TOP><font  size="2" face="Verdana, Helvetica"><STRONG>Mots-cls :</STRONG></font></TD><TD><font size="2" face="Verdana, Helvetica">systmes dynamiques topologiques, transformations de l'intervalle,  chanes de Markov topologiques, mesures d'entropie maximale, chaos, entropie, couples asymptotiques.</font></TD></TR> <TR><TD VALIGN=TOP><font  size="2" face="Verdana, Helvetica"><STRONG>Code MSC&nbsp;:</STRONG></font></TD><TD><font size="2" face="Verdana, Helvetica">37B40, 37E05, 37B10, 37A99</font></TD></TR> <TR><TD VALIGN=TOP><font size="2" face="Verdana,Helvetica"><STRONG>Directeur&nbsp;de&nbsp;thse&nbsp;:</STRONG></font></TD><TD><font size="2" face="Verdana,Helvetica">Blanchard, Franois</font></TD></TR> <TR><TD VALIGN=TOP><font size="2" face="Verdana,Helvetica"><STRONG>Domaine&nbsp;:</STRONG></font></TD><TD><font size="2" face="Verdana,Helvetica"><A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/view-thes-math_fr.html">Thses de mathmatiques</A><BR> </font></TD><TR> <TD VALIGN=TOP><font size="2" face="Verdana,Helvetica"><STRONG>Code identifiant&nbsp;:</font></STRONG></TD><TD><font size="2" face="Verdana,Helvetica">tel-00001144</font></TD></TR> <TR><TD VALIGN=TOP><font size="2" face="Verdana,Helvetica"><STRONG>Dpos par&nbsp;:</STRONG></font></TD><TD><font size="2" face="Verdana,Helvetica"><A HREF="http://tel.ccsd.cnrs.fr/perl/userfr?LANG=fr&username=ruette">Sylvie Ruette</A> le 26 fvrier 2002 (13:32) </font></TD></TR> <TR><TD VALIGN=TOP><font size="2" face="Verdana,Helvetica"><STRONG>Autres localisations&nbsp;:</STRONG></font></TD><TD><font size="2" face="Verdana,Helvetica"><A HREF="http://iml.univ-mrs.fr/~ruette/these.ps.gz">http://iml.univ-mrs.fr/~ruette/these.ps.gz</A> </font></TD></TR> </TABLE></P> <BR> <font size="2" face="Verdana,Helvetica">  <HR> <address> En cas de problmes : <a href="mailto:adminTEL@ccsd.cnrs.fr">adminTEL@ccsd.cnrs.fr</a> </address>     </font></td>   </tr> </table> </font> </body></html> 
