<!doctype html public "-//w3c//dtd html 4.0 transitional//en"> <html> <head>    <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1">    <meta name="Author" content="L. Nottale">    <meta name="GENERATOR" content="Mozilla/4.5 [fr] (Macintosh; U; PPC) [Netscape]">    <title>RE: R&eacute;sultats</title> </head> <body text="#000000" bgcolor="#FFEECA" link="#0000EE" vlink="#551A8B" alink="#FF0000"> <b><font size=+2>Pr&eacute;diction th&eacute;orique de la distribution des &eacute;l&eacute;ments orbitaux des plan&egrave;tes extra-solaires.</font></b> <p><b><font size=+2>L. Nottale</font></b> <p><b>Mis &agrave; jour le</b> <b>23 Octobre 2000</b> <p>L'information r&eacute;sum&eacute;e dans ces pages a &eacute;t&eacute; publi&eacute;e dans les r&eacute;f&eacute;rences suivantes: <p><i>Astronomy and Astrophysics <b>315</b>, L9 (1996) .</i> <p><i>Astronomy and Astrophysics <b>322</b>, 1018 (1997), avec G. Schumacher et J. Gay.</i> <p><i><a href="arA&A361.ps.gz">Astronomy and Astrophysics <b>361</b>, 379 </a>(2000), avec G. Schumacher et E.T. Lef&egrave;vre.</i> <p><i>Astronomy and Astrophysics (2001), soumis, avec N. Tran Minh</i> <p>La th&eacute;orie de relativit&eacute; d'&eacute;chelle permet de poser d'une mani&egrave;re nouvelle le probl&egrave;me de la formation et de l'&eacute;volution des syst&egrave;mes plan&eacute;taires. <p>Comme dans le mod&egrave;le standard de formation, les plan&egrave;tes sont suppos&eacute;es &ecirc;tre form&eacute;es par accr&eacute;tion de plan&eacute;t&eacute;simaux. Toutefois, la distribution initiale de la densit&eacute; de probabilit&eacute; de ces plan&eacute;t&eacute;simaux ne peut plus &ecirc;tre quelconque dans la nouvelle th&eacute;orie, mais au lieu de cela est donn&eacute;e par les solutions d'une &eacute;quation de Schr&ouml;dinger g&eacute;n&eacute;ralis&eacute;e. <p>Une telle &eacute;quation de type Schr&ouml;dinger est obtenue &agrave; partir d'une g&eacute;n&eacute;ralisation de l'&eacute;quation de la dynamique de Newton dans laquelle des termes de fluctuation et d'irr&eacute;versibilit&eacute; ont &eacute;t&eacute; inclus : ceux-ci sont destin&eacute;s &agrave; d&eacute;crire les structures fractales internes de l'espace-temps. Ces structures ne se r&eacute;v&egrave;leraient, dans ce domaine, qu'aux grandes &eacute;chelles temporelles (grandes relativement &agrave; une &eacute;chelle temporelle de transition au del&agrave; de laquelle l'information sur les orbites individuelles est perdue, quelle qu'en soit la raison: chaos, diffusion, collisions, perturbations diverses, micro-structures de l'espace...). <p>Les solutions de l'&eacute;quation de la dynamique ainsi g&eacute;n&eacute;ralis&eacute;e d&eacute;finissent, dans le cas d'un potentiel de Kepler (probl&egrave;me &agrave; deux corps), des "orbitales" similaires &agrave; celles de l'atome d'hydrog&egrave;ne. <p><b>Exemple de distribution de densit&eacute; de probabilit&eacute;</b> (n = 5): <ul> <ul><img SRC="imorbita.gif" height=180 width=300></ul> </ul> <a NAME="asurm"></a><b><font size=+1>Quantification des demi-grands axes</font></b> <p>On s'attend &agrave; ce que les plan&eacute;t&eacute;simaux remplissent de telles orbitales, puis forment une plan&egrave;te par accr&eacute;tion. La valeur finale du demi-grand axe de la plan&egrave;te est donn&eacute;e au premier ordre par le pic de probabilit&eacute; de l'orbitale. Les positions de ces pics ne peuvent prendre que les valeurs quantifi&eacute;es donn&eacute;es par : <p><font size=+1>a</font><sub><font size=-1>n</font></sub><font size=+1> = GM n</font><sup>2</sup><font size=+1> / w</font><sup>2</sup><font size=+1>.</font> <p>Dans cette formule, M est la masse de l'&eacute;toile centrale et w est une constante ayant la dimension d'une vitesse. On s'attend &agrave; ce que la th&eacute;orie s'applique &agrave; des syst&egrave;mes gravitationnels &agrave; deux corps quelle que soit l'&eacute;chelle, c.&agrave;.d., pas seulement &agrave; des configurations &eacute;toile-plan&egrave;te, mais aussi aux &eacute;toiles doubles et aux paires de galaxies (effet Tifft). A partir de plusieurs &eacute;chantillons galactiques et extragalactiques, on trouve que cette constante w est un multiple ou un sous-multiple (suivant le syst&egrave;me particulier consid&eacute;r&eacute;) de la constante universelle: <p><font size=+1>w</font><sub><font size=-2>0</font></sub> = 144.7 &plusmn; 0.6 km/s . <p>Il est facile de v&eacute;rifier que notre Syst&egrave;me Solaire interne est structur&eacute; en accord avec cette loi et que les plan&egrave;tes extra-solaires r&eacute;cemment d&eacute;couvertes s'accordent &eacute;galement remarquablement bien avec elle. Il faut insister sur le fait que ce <i>n'est pas </i>une loi de type Titius-Bode (elle n'est pas invariante-d'&eacute;chelle), et surtout que cette loi est totalement contrainte: il n'y a <b>aucun ajustement </b>dans les figures ci-dessous. <br>&nbsp; <br>&nbsp; <p><b><font size=+1>Comparaison entre les positions observ&eacute;es des plan&egrave;tes autour d'&eacute;toiles de type solaire et les distances pr&eacute;dites des pics de densit&eacute; de probabilit&eacute; (1996):</font></b> <p><img SRC="ima-m.gif" height=312 width=516> <p>Pour les plan&egrave;tes extra-solaires (voir <a href="http://www.obspm.fr/departement/darc/planets/catalog.html">catalogue</a>), les rapports a/M sont calcul&eacute;s &agrave; partir des p&eacute;riodes (d&eacute;riv&eacute;es du mouvement r&eacute;flexe observ&eacute; de l'&eacute;toile) en utilisant la troisi&egrave;me loi de Kepler. Leur incertitude est domin&eacute;e par l'incertitude sur la masse de l'&eacute;toile, (10% dans la plupart des cas), que nous avons estim&eacute;e &agrave; partir de son type spectral quand aucune d&eacute;termination plus pr&eacute;cise n'existe. Les bandes blanches correspondent aux zones de hautes probabilit&eacute;, c.-&agrave;.-d. &agrave; des n effectifs dans l'intervalle [n-1/4, n+1/4]. Les bandes grises sont les zones de basse probabilit&eacute;, c.-&agrave;.-d. des n effectifs dans l'intervalle [n+1/4, n+3/4]. Les n effectifs sont donn&eacute;s, en fonction de la p&eacute;riode observ&eacute;e T en jours et de la masse M de l'&eacute;toile en masse solaire, par (T / 3.25 M)<sup><font size=-2>1/3</font></sup>. La figure exprime qu'ils se regroupent autour de valeurs enti&egrave;res. <p>La probabilit&eacute; d'obtenir une telle configuration par hasard est P = 2<sup>-14 </sup>= 6 10<sup>?5</sup>. <p>Une des plus &eacute;tonnantes pr&eacute;dictions de la th&eacute;orie, qui a &eacute;t&eacute; <a href="#liwosch7.2">effectu&eacute;e</a> "en aveugle" quatre ans avant les premi&egrave;res d&eacute;couvertes de plan&egrave;tes extra-solaires, est que <b><font size=+1>le pic de l'orbitale fondamentale n = 1 se trouve autour de 0.043 U.A</font></b>. pour les &eacute;toiles de 1 masse solaire. La d&eacute;couverte de 51 Peg B, puis de deux plan&egrave;tes suppl&eacute;mentaires pr&eacute;cis&eacute;ment &agrave; cette distance de leur &eacute;toile a apport&eacute; une confirmation remarquable de cette pr&eacute;diction (1996). Quatre ans plus tard, ces premiers r&eacute;sultats restent confirm&eacute;s: ce sont maintenant 9 plan&egrave;tes et 2 naines brunes qui se concentrent autour de cette valeur (Oct. 2000). La figure suivante donne l'&eacute;tat actuel de la distribution des demi-grands axes des 50 exoplan&egrave;tes connues &agrave; ce jour. La probabilit&eacute; d'obtenir par hasard une telle concentration autour des pics de densit&eacute; pr&eacute;dits est de 1/10000. <p><b><font size=+1>Comparaison entre les demi-grands-axes observ&eacute;s des plan&egrave;tes autour d'&eacute;toiles de type solaire et les pics de densit&eacute; de probabilit&eacute; pr&eacute;dits (Octobre 2000): </font></b>on s'attend &agrave; ce que les valeurs de la variable 4.83(a/M)<sup><font size=-2>1/2 </font></sup>, c'est-&agrave;-dire d'une mani&egrave;re &eacute;quivalente (d'apr&egrave;s la troisi&egrave;me loi de Kepler), 4.83(T/M)<sup><font size=-2>1/3</font></sup> = (w<sub>0</sub>/v), se concentrent autour de nombres entiers. <p><img SRC="imexo2.gif" height=180 width=660> <br>&nbsp; <br>&nbsp; <p><a NAME="frpsr"></a><b><font size=+1>Comparaison entre les p&eacute;riodes observ&eacute;es et pr&eacute;dites des plan&egrave;tes du pulsar PSR B1257+12</font></b> <p><img SRC="impsr.gif" height=220 width=475> <p>Dans le cas du syst&egrave;me plan&eacute;taire qui entoure le pulsar <a href="http://www.obspm.fr/departement/darc/planets/catalog.html" target="_parent">PSR B1257+12</a> (Wolszczan, 1994, <i>Science</i> <b>264</b>, 538), l'accord entre th&eacute;orie et observations est si bon que les termes d'ordre sup&eacute;rieur peuvent &ecirc;tre &eacute;prouv&eacute;s. La distance <b>moyenne</b> de la distribution de densit&eacute; de probabilit&eacute; est quantifi&eacute;e comme n<sup>2</sup> +n/2. En utilisant la troisi&egrave;me loi de Kepler, on trouve que l'on peut pr&eacute;dire les p&eacute;riodes de deux des plan&egrave;tes &agrave; partir de la troisi&egrave;me avec une incertitude de l'ordre de l'heure (alors que les p&eacute;riodes sont de 1 &agrave; 3 mois, voir figure). La probabilit&eacute; d'obtenir un tel r&eacute;sultat par hasard est seulement P &lt; 10<sup><font size=-2>?4</font></sup>. Si d'autres plan&egrave;tes existent dans ce syst&egrave;me, leurs p&eacute;riodes attendues (dans le cas o&ugrave; elles sont inf&eacute;rieures &agrave; 200 jours) sont les suivantes: <br>&nbsp; <table BORDER=2 CELLSPACING=2 CELLPADDING=2 > <tr> <td>0.322</td>  <td>1.957</td>  <td>5.956</td>  <td>13.37</td>  <td>25.24</td>  <td>42.63</td>  <td>66.58</td>  <td>98.15</td>  <td>138.4</td>  <td>188.3</td> </tr>  <tr> <td></td>  <td></td>  <td></td>  <td></td>  <td>25.34</td>  <td></td>  <td>66.54</td>  <td>98.22</td>  <td></td>  <td></td> </tr> </table>  <p>Cette table donne les p&eacute;riodes pr&eacute;dites (en jours) pour n = 1 &agrave; 10, et les compare aux trois p&eacute;riodes observ&eacute;es (Wolszczan A., 1994). Remarquer que les fluctuations de ces p&eacute;riodes orbitales dues aux perturbations gravitationnelles mutuelles ont &eacute;t&eacute; observ&eacute;es et sont de l'ordre de 0.02 jours. <br>&nbsp; <p><font size=+1>Compl&eacute;ment d'information: voir </font><b>ACTUALIT&eacute;S</b> / NOUVELLES SCIENTIFIQUES de l'<b><a href="http://www.obspm.fr">OBSERVATOIRE DE PARIS</a></b>, mois de <b>Mai 2001: <a href="frobspla.htm">Pr&eacute;diction des orbites des plan&egrave;tes et exoplan&egrave;tes</a></b><font size=+1></font> <p><font size=+2>R&eacute;f&eacute;rences:</font> <p><a NAME="liwosch7.2"></a><font size=+1>L. Nottale, Fractal Space-Time and Microphysics (World Scientific, 1993), Chapitre 7.2: </font>"Beyond chaos" <p><font size=+1>L. Nottale, in "Cellular Automata, Prospects in Astrophysical Applications", Eds. J.M. Perdang &amp; A. Lejeune, Proceedings of Han-sur-Lesse Colloquium, Oct. 1992 (World Scientific, 1993), p.268: </font>"Emergence of structures from chaos" <p><font size=+1>L. Nottale, 1995, invited conference in "Chaos and diffusion in Hamiltonian systems", (Chamonix, F&eacute;vrier 1994), Ed. D. Benest et C. Froeschl&eacute; (Fronti&egrave;re), pp. 173-198.</font> "New Formulation of Stochastic Mechanics. Application to Chaos". <p><font size=+1>L. Nottale, 1996, <i>Astron. Astrophys. Lett</i>. <b>315</b>, L9: </font>"Scale relativity and quantization of extra-solar planetary systems" <p><font size=+1>L. Nottale, G. Schumacher &amp; J. Gay, 1997, <i>Astron. Astrophys. </i><b>322</b><i>, </i>1018: </font>"Scale relativity and quantization of the Solar System" <p><font size=+1>L. Nottale, 1997, <i>Chaos, Solitons &amp; Fractals</i>, <b>9</b>, 1043: </font>"Scale relativity and quantization of the planetary system around the pulsar PSR B1257+12" <p><font size=+1>L. Nottale, G. Schumacher &amp; E.T. Lef&egrave;vre, 2000, <a href="arA&A361.ps.gz"><i>Astron. Astrophys. </i><b>361</b><i>, </i>379</a>: </font>"Scale relativity and quantization of exoplanet orbital semi-major axes" </body> </html> 
