<HTML> <HEAD> <TITLE>CHAOS DETERMINISTE Oscillation d'un pendule chaotique</TITLE> <META NAME="description" CONTENT="CHAOS DETERMINISTE Oscillation d'un pendule chaotique"> <META NAME="keywords" CONTENT="MATHS"> <META NAME="resource-type" CONTENT="document"> <META NAME="distribution" CONTENT="global"> <META HTTP-EQUIV="Content-Type" CONTENT="text/html; charset=iso_8859_1"> <link href="chaos.zip"> <link href="chaos.zip" title="chaos.zip"> </HEAD> <BODY bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" alink="#000066" link="#3333FF" vlink="#00FFFF" > <H1 ALIGN="CENTER"><B> CHAOS DETERMINISTE <BR>   Oscillation d'un pendule chaotique</B></H1> <P ALIGN="CENTER"><STRONG>CHANGEY Sbastien - LECLER Sylvain <BR>   Responsable de Projet : Monsieur Takakura</STRONG></P> <P ALIGN="CENTER"><STRONG>Fvrier 2000</STRONG></P> <P ALIGN="CENTER">&nbsp;</P> <div align="center">    <p align="left">Vous pouvez t&eacute;l&eacute;charger le programme correspondant      &agrave; cette page : <a href="chaos.zip">chaos.zip</a><!--End of Table of Contents-->    </p> </div> <div align="left">    <p>Contenu de cette page : </p> </div> <ul>   <li>      <div align="left"><a href="#sujet">Enonc&eacute; du sujet</a></div>   </li> </ul> <div align="center"> <div align="left">      <ul>       <li> <a name="tex2html5"  href="#SECTION00020000000000000000"> Introduction : Le chaos dterministe</a>          <ul>           <li><a name="tex2html27"  href="#SECTION00061000000000000000"> Historique</a>            <li><a name="tex2html6"  href="#SECTION00021000000000000000"> Dcouverte d'un concept</a>            <li><a name="tex2html6"  href="#SECTION00021000000000000000"></a> <a href="#SECTION00022">Outil d'&eacute;tude              des ph&eacute;nom&egrave;ne chaotiques</a>           <li><a name="tex2html29"  href="#SECTION00063000000000000000"> L'attracteur trange</a>            <li><a name="tex2html30"  href="#SECTION00064000000000000000"> Le thorme KAM</a>            <li><a name="tex2html31"  href="#SECTION00065000000000000000"> Conclusion</a>         </ul>       <li><a name="tex2html8"  href="#SECTION00030000000000000000"> Explication du code C</a>       <li><a name="tex2html16"  href="#SECTION00040000000000000000"> Etude du comportement chaotique du pendule</a>          <ul>           <li><a name="tex2html17"  href="#SECTION00041000000000000000"> Le pendule simple</a>              <ul>               <li><a name="tex2html18"  href="#SECTION00041100000000000000"> Sans amortissement</a>                <li><a name="tex2html19"  href="#SECTION00041200000000000000"> Avec amortissement visqueux</a>              </ul>           <li><a name="tex2html20"  href="#SECTION00042000000000000000"> Le pendule forc</a>              <ul>               <li><a name="tex2html21"  href="#SECTION00042100000000000000"> Sans amortissement et sans bruit</a>                <li><a name="tex2html22"  href="#SECTION00042200000000000000"> Avec amortissement et sans bruit</a>                <li><a name="tex2html23"  href="#SECTION00042300000000000000"> Avec amortissement et avec un bruit blanc</a>                <li><a name="tex2html24"  href="#SECTION00042400000000000000"> Avec amortissement et avec un bruit liss</a>              </ul>         </ul>       <li><a name="tex2html25"  href="#SECTION00050000000000000000"> Conclusion</a>        <li><a name="tex2html35"  href="#SECTION000100000000000000000"> Exemple de bruits lisss reprsents pendant          <i>t<sub>1</sub></i>=40 <i>s</i></a>        <li><a name="tex2html36"  href="#SECTION000110000000000000000"> Notice d'utilisation du programme</a>      </ul>   </div>   <p align="left">&nbsp;</p>   <h1 align="left"><a name="sujet"></a>Enonc&eacute; du sujet</h1>   <p align="left">Un pendule constitu d'une masse <I>m</I> fixe au bout d'une      tige de longueur <I>l</I> est soumis  un couple sinusodale</p>   <p align="center"> <IMG WIDTH="169" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img1.gif"  ALT="$\Gamma = A cos(\omega t + \varphi(t))$">. </p>   <p align="left">On demande : </p> </div> <blockquote>    <ol>     <ol>       <li> d'tablir l'quation du mouvement satisfaite par l'angle instantan          <IMG WIDTH="33" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img2.gif"  ALT="$\theta(t)$"> entre la tige et la verticale </li>       <li>d'intgrer cette quation par la mthode de Runge-Kutta </li>       <li>d'tudier la transition vers le chaos en faisant une reprsentation          graphique de la section de Poincar dans le diagramme de phase <IMG WIDTH="44" HEIGHT="39" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img3.gif"  ALT="$(\theta,\dot{\theta})$">. </li>     </ol>   </ol> </blockquote> On prendra d'abord <IMG WIDTH="70" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img4.gif"  ALT="$\varphi(t)=0$">, puis on fera l'tude dans la cas o <IMG WIDTH="36" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img5.gif"  ALT="$\varphi(t)$"> est un bruit blanc centr de variance <IMG WIDTH="21" HEIGHT="18" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img6.gif"  ALT="$\sigma^{2}$">.  <P> <!--Table of Child-Links--> <br> <P>&nbsp; <h1><a name="SECTION00020000000000000000"> Introduction : Le chaos dterministe</a></h1> <h2><a name="SECTION00061000000000000000">Historique</a> </h2> <p> En 1875 <b>J.C. Maxwell</b> faisait remarquer que pour pouvoir noncer un    principe sur un systme donn il fallait que celui-ci ait une stabilit lorsqu'on    lui change ses conditions initiales, mais il ajoutait que certains systmes    semblaient ne pas obir  cette loi. C'est <b>H.Poincar</b> qui le premier,    en rponse  un concours organis pour l'anniversaire du roi de Norvge, mit    en vidence que certains systmes taient intrinsquement sensibles aux conditions    initiales ce qui rendait leur volution humainement imprvisible malgr leur    description dterministe. <b>E.Lorentz</b> plus tard mit en vidence la nature    chaotique de l'atmosphre, enfin c'est <b>D.Ruelle</b> et <b>F. Tackens</b>    qui dcrivirent en dtails les proprits de ces systmes dit chaotiques.  <h2><a name="SECTION00021000000000000000">Dcouverte d'un concept</a> </h2> <p> Les scientifiques ont longtemps oppos <b>les phnomnes ordonns</b> qui,    obissant  des lois connues, avaient une volution prvisible, et <b>les phnomnes    stochastiques</b> qui, semblant voluer alatoirement, taient considrs comme    relevant du hasard. La dcouverte du chaos dterministe allait remettre en cause    cette distinction. <br> <p><i>Dfinition :</i> On dit qu'un systme est chaotique, s'il est dcrit par    des lois dtermines, mais que son volution est imprvisible  cause de sa    trs grande sensibilit aux conditions initiales. La complexit des phnomnes    observs est intrinsque au chaos. <br>   Aujourd'hui des phnomnes chaotiques ont t mis en vidence dans tous les    domaines, de l'orbite des plantes, aux trajectoires des particules en passant    par le dplacement des masses d'air. <br> <p>  <p>  <p>  <p>  <p>  <p>  <p>  <p>  <p>  <p>  <p>&nbsp;</p> <h2><a name="SECTION00022">Outils d'tude des phnomnes chaotiques</a> </h2> <p> Une mthode pratique de reprsentation d'un systme chaotique est la reprsentation    de sa <b>trajectoire dans son diagramme de phase</b>. Rappel : pour connatre    totalement l'tat d'un systme il faut possder un certain nombre de paramtres    physiques, un pendule simple par exemple est connu si on a sa position et le    temps ou bien sa position et sa vitesse. Le diagramme de phase d'un systme    reprsente un tat par un point dont les coordonnes sont les valeurs des paramtres    physiques choisis pour le dcrire, l'volution du pendule simple se reprsente    donc par une courbe dans le plan. <br>   On peut montrer que les phnomnes chaotiques n'apparaissent que dans des systmes    ncessitant pour tre dcrits au moins trois paramtres physiques. Le diagramme    de phase est alors difficile  reprsenter, c'est pourquoi on prfre tudier    sa trajectoire dans une <b>section de Poincar</b>, qui est l'image plane obtenue    en traant l'intersection de sa trajectoire de phase avec un plan choisi arbitrairement.    <br> <h2>&nbsp;</h2> <h2><a name="SECTION00063000000000000000">L'attracteur trange</a> </h2> <p> Un systme stable rel va possder une trajectoire de phase qui va tendre    vers une surface appele son attracteur. Quand le systme est chaotique malgr    son indtermination sa trajectoire dans le diagramme de phase va aussi s'approcher    d'une surface, mais cette fois ci d'une surface fractale appele attracteur    trange qui est caractristique du systme tudi. On dfinit alors la dimension    de cette surface, celle-ci pouvant prendre une valeur fractionnaire. <br>   La dimension de l'attracteur trange d'un systme chaotique tant une valeur    lui tant caractristique elle est un outil d'tude, cependant cette tude est    complexe.  <h2><a name="SECTION00064000000000000000">Le thorme KAM</a> </h2> <p> La poursuite des travaux de Poincar par Kolmogorov, Arnold et Moser a dbouch    sur l'nonc du thorme KAM qui dit que dans un systme possdant plus de trois    paramtres physiques caractristiques et tant soumis  un bruit, la frquence    d'apparition des phnomnes chaotiques augmentait avec l'amplitude du bruit.  <h2><a name="SECTION00065000000000000000">Conclusion</a> </h2> <p> Les systmes chaotiques sont curieux car ils obissent  des lois dtermines    et demeurent imprvisibles. Ils sont la preuve de la complexit intrinsque    de certains systmes. Il existe cependant des outils objectifs pour caractriser    ces systmes.  <h1><a name="SECTION00030000000000000000">Explication du code C</a> </h1> <p> Pour des raisons de place mmoire, nous avons dcid d'utiliser le disque    dur pour stocker les valeurs calcules. En effet, nous programmons sous Borland    en mode MsDos : en crant de trop gros tableaux en mmoire RAM, le programme    plante ! De plus, la solution d'utiliser le disque dur ne ralentit que trs    lgerement l'excution du programme.  <p>&nbsp;  <h2><a name="SECTION00031000000000000000">Ce que fait le programme</a> </h2> <p> Il permet, apres avoir choisi les paramtres caractrisant le pendule, d'intgrer    les quations de son mouvement par la mthode de Runge-Kutta <i>(cette mthode    permet un calcul  l'ordre 4 : voir dmonstration en annexe)</i>, et reprsente    sa trajectoire dans le diagramme de phase puis dans celui de Poincar. <br> <p>&nbsp;  <h2><a name="SECTION00032000000000000000">Initialisation</a> </h2> <p> On dfinit tout d'abord,  l'aide de la commande <i>define</i>, des constantes    pour la valeur de <img width="14" height="15" align="BOTTOM" border="0"  src="img7.gif"  alt="$\pi$">, la valeur de l'acclration de la pesanteur <i>g</i>, la priode    propre du pendule <i>T<sub>0</sub></i>, et la longueur du pendule <i>l</i>.    <br>   <i><i>g</i>=9.81 <i>m</i>.<i>s<sup>-2</sup></i>, <i>T<sub>0</sub></i>=0.776946    <i>s</i>, <i>l</i>=0.15<i>m</i>. Les valeurs sont donnes en units S.I.</i>    <br> <p> On dclare aussi en variables globales les variables apparaissant dans beaucoup    de fonction : <img width="37" height="30" align="MIDDLE" border="0"  src="img8.gif"  alt="$\theta_{min}$">, <img width="39" height="30" align="MIDDLE" border="0"  src="img9.gif"  alt="$\theta_{max}$">, <img width="48" height="30" align="MIDDLE" border="0"  src="img10.gif"  alt="$\theta_{max}2$">, <img width="39" height="39" align="MIDDLE" border="0"  src="img11.gif"  alt="${\dot{\theta}}_{max}$">,<img width="48" height="39" align="MIDDLE" border="0"  src="img12.gif"  alt="${\dot{\theta}}_{max}2$">, <img width="34" height="30" align="MIDDLE" border="0"  src="img13.gif"  alt="$\theta_{init}$">, <img width="34" height="39" align="MIDDLE" border="0"  src="img14.gif"  alt="${\dot{\theta}}_{init}$">, les dures de l'exprience <i>t<sub>1</sub></i>    et <i>t<sub>2</sub></i>, le pas de calcul <i>h</i> pour Runge-Kutta, la pulsation    d'exitation <i>w</i>, le coefficient d'amortissement <i>amort</i>, l'amplitude    du couple exitateur <i>A</i>, <i>m</i>, l'amplitude du bruit <i>Amp</i>, le    nombre de points <i>n</i> calculs par priode d'chantillonnage <i>T<sub>0</sub></i>,    et <i>memob</i> permettant de stocker du bruit ; toutes ces variables sont dclares    en <i>double</i>, afin d'obtenir une bonne prcision dans les calculs numriques,    et pour pouvoir utiliser la fonction <i>sinus()</i> de la bibliotheque <i>&lt;Maths.h&gt;</i>.    <br>   On dclare encore des entiers servant  choisir des options : <i>c</i> pour    indiquer si ont veut du bruit ou non, <i>lisse</i> pour indiquer si on veut    un bruit liss ou non, et enfin <i>lb</i> la taille de la fentre de lissage.    <br>   La fonction <i>main()</i> se rsume  l'appelle des diverses fonctions cres,    en fonction des demandes de l'utilisateur.  <p><br>   <!--End of Navigation Panel-->  <h2><a name="SECTION00033000000000000000"> Le bruit <img width="36" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img5.gif"  alt="$\varphi(t)$"></a></h2> <p>Il y a 4 fonctions grant le bruit : </p> <ol>   <ol>     <ol>       <li> la fonction <i>a=bruit(b)</i> : cette fonction retourne un nombre alatoire          <i>a</i> compris entre -<i>b</i> et <i>b</i>, provenant d'une distribution          uniforme. </li>       <li> la fonction <i><img width="158" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img15.gif"  alt="$a=create\_bruit()$"></i> : elle initialise le bruit, puis crer un fichier          ``bruit.dat'' ou elle crit des nombres alatoires. De plus, elle calcule          la variance du bruit contenu dans le fichier. </li>       <li> la fonction <i>lissage_bruit(a)</i> : elle modifie le fichier ``bruit.dat'',          en remplacant chaque lment par la valeur moyenne des <i>a</i> suivants.          Cette fonction calcule aussi la variance du bruit. </li>       <li> la fonction <i>trace_bruit()</i> permet de visualiser le bruit. </li>     </ol>   </ol> </ol> <h2><a name="SECTION00034000000000000000">L'quation du mouvement</a> </h2> <p> L'quation de mouvement est prise en compte par <i><img width="93" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img16.gif"  alt="$y^{\prime}=f(t,y)$"></i> : celle-ci tant du second ordre, on utilise une    fonction vectorielle. La fonction <i>f()</i> traduit l'expression :  <p align="CENTER"><img width="421" height="56"  src="img17.gif"  alt="\begin{displaymath} y^{\prime}=  \left(  \begin{array} {c}  \ddot{\theta} \\   \...  ...lambda \dot{\theta}}{m} \\   \dot{\theta} \end{array}  \right) \end{displaymath}"></p> <p align="CENTER"><img width="197" height="53"  src="img18.gif"  alt="\begin{displaymath} o\`{u} :  y =  \left(  \begin{array} {c}  \dot{\theta} \\   ...  ...  \begin{array} {c}  y_{[0]} \\   y_{[1]} \end{array}  \right) \end{displaymath}"></p> <p>&nbsp;  <h2><a name="SECTION00035000000000000000">Runge-Kutta : fonction <i><i>rungekutta</i>(<i>t</i>,<i>y</i>)</i></a>  </h2> <p> Cette fonction modifie <i>t</i> et <i>y</i> en calculant  chaque pas <i>h</i>    le nouveau couple y(<img width="12" height="20" align="BOTTOM" border="0"  src="img19.gif"  alt="$\dot{\theta}$">,<img width="12" height="16" align="BOTTOM" border="0"  src="img20.gif"  alt="$\theta$">), par la mthode de Runge Kutta. <br>   <br>   On utilise alors la fonction <i>solution()</i>, qui calcule les couples (<img width="29" height="39" align="MIDDLE" border="0"  src="img21.gif"  alt="$\dot{\theta},\theta$">) par la mthode de Runge-Kutta : elle crit les    rsultats dans le fichier : ``angle.dat''. <br>   On peut aussi vrifier la convergence de l'algorithme de Runge-Kutta avec la    fonction <i>verife()</i> : en effet, cette fonction recalcule (<img width="29" height="39" align="MIDDLE" border="0"  src="img21.gif"  alt="$\dot{\theta},\theta$">) avec deux fois plus de points que la fonction <i>solution()</i>    : elle crit aussi les rsultats dans un fichier. Puis elle calcule <b>l'cart    quadratique</b> moyen entre tous les points des deux sries, et retourne cette    valeur. Ainsi, en dessous d'une certaine valeur seuil, on peut dire que l'algorithme    de Runge-Kutta converge. <br>   Une recherche automatique du nombre de points ncessaire pour un cart quadratique    donn est possible.  <p>&nbsp;</p> <h2><a name="SECTION00036000000000000000">Graphique</a> </h2> <p> On utilise 5 fonctions graphiques :  <ol>   <ol>     <ol>       <li><i>poincare(k,a)</i> : elle trace le diagramme de phase dans la section          de Poincar <img width="44" height="39" align="MIDDLE" border="0"  src="img3.gif"  alt="$(\theta,\dot{\theta})$">, en reprsentant un chantillonnage de <i>k</i>          points pris tous les <i>T<sub>0</sub></i>,  raison de <i>a</i> points          calculs pendant la priode d'chantillonnage <i>T<sub>0</sub></i>. <br>         <i>kT<sub>0</sub></i>=<i>t<sub>2</sub></i> le temps d'tude pour Poincar.          <br>       </li>       <li><i>phase()</i> : cette fonction trace le diagramme de phase de l'oscillateur          Pour le diagramme de phase, on reprsente <img width="12" height="16" align="BOTTOM" border="0"  src="img20.gif"  alt="$\theta$"> en fonction de <img width="12" height="16" align="BOTTOM" border="0"  src="img20.gif"  alt="$\theta$"> <img width="33" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img23.gif"  alt="$[2 \pi]$">,  l'aide de la fonction <i>modulo()</i>. Elle le fait sur un          temps d'tude <i>t<sub>1</sub></i> diffrent de <i>t<sub>2</sub></i>.        </li>       <li><i>thetafonct()</i> : cette fonction trace <img width="12" height="16" align="BOTTOM" border="0"  src="img20.gif"  alt="$\theta$"> en fonction du temps <i>t</i>, pendant le temps <i>t<sub>1</sub></i>.        </li>       <li><i>pendule()</i> : cette fonction reprsente le pendule en train ``d'osciller''          en temps rel. </li>       <li><i>double_ecran()</i> : cette fonction trace <img width="12" height="16" align="BOTTOM" border="0"  src="img20.gif"  alt="$\theta$"> en fonction du temps sur <img width="14" height="39" align="MIDDLE" border="0"  src="img25.gif"  alt="$\frac{1}{3}$"> de l'cran, en mme temps que le pendule en train ``d'osciller''          sur le dernier <img width="14" height="39" align="MIDDLE" border="0"  src="img25.gif"  alt="$\frac{1}{3}$"> de l'cran. (volution en temps rel) </li>     </ol>   </ol> </ol> <p>&nbsp;</p> <h2><a name="SECTION00037000000000000000">L'interface utilisateur</a> </h2> <p> Pour crer une interface utilisateur conviviale, on cre d'abord les deux    fonctions <i>lirelf(a)</i> et <i>lired(a)</i> : elles permettent une certaine    rapidit lors de la saisie ; en effet, la fonction <i>saisie()</i> demande     l'utilisateur de modifier certains paramtres, en proposant cependant des valeurs    par dfaut : par une simple pression sur la touche <i>entre</i>, le programme    passe  la question suivante. <br>   Enfin, la fonction <i>affiche()</i> joue le rle de vrification pour l'utilisateur,    en affichant les valeurs des paramtres.  <h1><a name="SECTION00040000000000000000">Etude du comportement chaotique du pendule</a>  </h1> <h2> <a name="SECTION00041000000000000000"></a>Le pendule simple </h2> <h3><a name="SECTION00041100000000000000"> Sans amortissement</a> </h3> <p> Nous vrifions ici les proprits connues sur le pendule simple. C'est un    moyen de vrifier le bon fonctionnement des diverses fonctions du programme.    <br> <p> On represente ici le diagramme de phase et <img width="12" height="16" align="BOTTOM" border="0"  src="img20.gif"  alt="$\theta$"> en fonction du temps, dans le cas d'un pendule simple d'quation    :  <p align="CENTER"></p> Pour le diagramme dans la section de Poincar, on vrifie bien que l'on obtient  un point. <br> <p> Le diagramme de phase est en forme d'ellipse :  <p>  <div align="CENTER"> <img width="400" height="300" align="BOTTOM" border="0"  src="pendulesimple-sans-sinus-phase.jpg"  alt="\includegraphics  "><br>   <i>diagramme de phase</i> </div> <br> <br> <p> L'angle <img width="12" height="16" align="BOTTOM" border="0"  src="img20.gif"  alt="$\theta$"> en fonction du temps est rgulier :  <div align="CENTER"> <img width="400" height="300" align="BOTTOM" border="0"  src="pendulesimplesanssinus-theta.jpg"  alt="\includegraphics  "><br>   <i><img width="12" height="16" align="BOTTOM" border="0"  src="img20.gif"  alt="$\theta$"> en fonction du temps</i> </div> <br> <br> <p> Les rsultats sont conformes  l'tude thorique.  <p>  <h3><a name="SECTION00041200000000000000">Avec amortissement visqueux</a> </h3> <p> Nous avons choisi un coefficient d'amortissement de l'ordre de 0.003 <i>USI</i>    ; pour trouver celui-ci, nous avons observ le pendule avec des valeurs diffrentes.    La figure ci dessous montre que notre choix est raliste :  <div align="CENTER"> <img width="350" height="262" align="BOTTOM" border="0"  src="penduleamorti.jpg"  alt="\includegraphics  "><br>   <i>pendule amorti</i> </div> <p><b>Le pendule simple tant un systme entirement dcrit avec deux parametres    physiques, il n'a pas de comportement chaotique.</b>  <p>  <p><br>   <!--End of Navigation Panel-->  <h2><a name="SECTION00042000000000000000"> Le pendule forc</a> </h2> <p> On applique au pendule un couple <img width="169" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img1.gif"  alt="$\Gamma = A cos(\omega t + \varphi(t))$"> o&#249; <img width="36" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img5.gif"  alt="$\varphi(t)$"> est un bruit.  <h3><a name="SECTION00042100000000000000">Sans amortissement et sans bruit</a>  </h3> <p><b>Commentaire :</b> On observe que :  <ul>   <li> quand on augmente l'amplitude <i>A</i> du couple d'exitation, le domaine      de frquence o&#249; apparait la rsonance s'largit et la rsonance elle-mme      est amplifie.    <li> les trajectoires dans la <b>section de Poincar</b> convergent souvent      vers des figures appelles attracteurs : ceux-ci peuvent avoir des formes      tres diverses. <br> </ul> <div align="CENTER">    <table cellpadding=3 border="1">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>A</td>       <td align="CENTER" nowrap>amort</td>       <td align="CENTER" nowrap>c</td>       <td align="CENTER" nowrap>n</td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>2</sub></i></td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>1</sub></i></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>0.006</td>       <td align="CENTER" nowrap>&nbsp;</td>       <td align="CENTER" nowrap>&nbsp;</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>       <td align="CENTER" nowrap>1600</td>       <td align="CENTER" nowrap>30</td>     </tr>   </table> </div> <div align="CENTER">    <table cellpadding=3 width="510">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap width="250"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="attracteur-diverse1.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>       <td align="CENTER" nowrap width="240"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="attracteur-diverse2.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <th align="CENTER" nowrap width="250"><i>exemple d'attracteur</i></th>       <td align="CENTER" nowrap width="240"><i>un autre type d'attracteur</i></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap width="250"><i>w</i>=2</td>       <td align="CENTER" nowrap width="240"><i>w</i>=5</td>     </tr>   </table> </div> <p>  <h3>&nbsp;</h3> <h3><a name="SECTION00042200000000000000">Avec amortissement et sans bruit</a>  </h3> <p> L'ajout d'un amortissement contribue  stabiliser le pendule. L'angle <img width="33" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img2.gif"  alt="$\theta(t)$"> a une volution au cours du temps qui devient sinusodale    : on obtient un pendule entretenu. On observe que :  <ul>   <li> plus la pulsation d'exitation est grande, plus <img width="33" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img2.gif"  alt="$\theta(t)$"> tend vers une sinusode.    <li> l'amplitude des oscillations du pendule entretenu est maximum  la rsonance      et nulle pour les valeurs extremes de <i>w</i> (<i>w</i>=0.1 - <i>w</i>=100).      <br>     <br>   <li> si l'amplitude <i>A</i> du couple exitateur est trs petite (<i>A</i>=0.001),      l'amplitude des oscillations entrenues est trop petite. A l'inverse, si <i>A</i>      est trop grand (<i>A</i>=0.01), le chaos devient omni prsent. <br>     Nous avons choisi <i>A</i>=0.006 :      <ul>       <li> pour que le chaos soit trs rare sans bruit.        <li> pour que le domaine de rsonance soit assez large en frquence.        <li> pour que l'amplitude du signal entretenu ait une valeur raisonnable.      </ul> </ul> <p>  <div align="CENTER">    <table cellpadding=3 border="1">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>A</td>       <td align="CENTER" nowrap>w</td>       <td align="CENTER" nowrap>amort</td>       <td align="CENTER" nowrap>c</td>       <td align="CENTER" nowrap>n</td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>2</sub></i></td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>1</sub></i></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>0.006</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.8</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.003</td>       <td align="CENTER" nowrap>&nbsp;</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>       <td align="CENTER" nowrap>1600</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>     </tr>   </table>   <p> <br>     <img width="500" height="375" align="BOTTOM" border="0"  src="vers-pendule-entretenu.jpg"  alt="\includegraphics  "></p>   <p> <i><img width="33" height="32" align="MIDDLE" border="0"  src="img2.gif"  alt="$\theta(t)$"> pour le pendule entretenu</i> <br>     <i>1 zone de transition</i> <br>     <i>2 stabilisation du pendule</i> </p> </div> <br> <!--End of Navigation Panel-->  <h3><a name="SECTION00042300000000000000"> Avec amortissement et avec un bruit    blanc</a> </h3> <p> Un bruit blanc est un signal alatoire de moyenne nulle, prenant des valeurs    indpendantes les unes des autres. Quand on integre ce bruit en tant que phase    dans le couple exitateur, on favorise l'apparition du chaos. <br>   Cette modlisation avec un bruit se rapproche encore plus de la ralit physique,    car elle traduit les perturbations engendres par l'environement. <br>   La sensibilit aux conditions initiales rend difficile la convergence de Runge-Kutta,    et nous contraint  diminuer le temps d'tude <i>t<sub>2</sub></i>. On se contentera    malgr tout d'carts quadratiques relativement levs. <br>   <br>   <b>commentaires : </b> <ul>   <li> on peut justifier la difficult qu'a Runge-Kutta  converger par le fait      que l'algorithme utilise <i>f</i>(), la fonction drivation du couple<img width="1" height="47" align="MIDDLE" border="0"  src="img28.gif"  alt="$(\dot{\theta},\theta)$">, et que le bruit n'est pas drivable (bruit blanc).    </li>   <li> la non drivabilit du bruit, pour la mme raison, explique le manque de      netet de certains attracteurs. <i>(fig 2)</i>      <p>Cependant, l'observation des attracteurs dans la section de Poincar permet        quand mme de discerner les cas chaotiques. <i>(fig 1)</i> <br>       <br>     </p>   </li> </ul> <div align="CENTER">   <table cellpadding=3 border="1">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>fig</td>       <td align="CENTER" nowrap>A</td>       <td align="CENTER" nowrap>w</td>       <td align="CENTER" nowrap>amort</td>       <td align="CENTER" nowrap>c</td>       <td align="CENTER" nowrap>amp</td>       <td align="CENTER" nowrap>lisse</td>       <td align="CENTER" nowrap>n</td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>2</sub></i></td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>1</sub></i></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.006</td>       <td align="CENTER" nowrap>14</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.003</td>       <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.003</td>       <td align="CENTER" nowrap>&nbsp;</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>       <td align="CENTER" nowrap>1600</td>       <td align="CENTER" nowrap>40</td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>2</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.006</td>       <td align="CENTER" nowrap>5</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.003</td>       <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.05</td>       <td align="CENTER" nowrap>&nbsp;</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>       <td align="CENTER" nowrap>1600</td>       <td align="CENTER" nowrap>40</td>     </tr>   </table>   <table cellpadding=3>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap width="250" height="188"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="convergence-vers-pendule-entretenu-bruit.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>       <td align="CENTER" nowrap width="6" height="188"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="attracteur-contour-irregulier.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <th align="CENTER" nowrap width="250">          <div align="center"><i>fig 1 : convergence</i></div>       </th>       <td align="CENTER" nowrap width="6">          <div align="center"><i>fig 2 : attracteur</i></div>       </td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <th align="CENTER" nowrap width="250">          <div align="center"><i>du pendule entretenu</i></div>       </th>       <td align="CENTER" nowrap width="6">          <div align="center"><i>avec contour irrgulier</i></div>       </td>     </tr>   </table>   <br>   <br> </div> L'attracteur reprsent figure 2 ne permet pas de prdire avec prcision l'volution  du pendule, mais ce n'est pas un cas chaotique : le manque de prcison est une  consquence de la non drivabilit du bruit. <h3><a name="SECTION00042400000000000000">Avec amortissement et avec un bruit    liss</a> </h3> <p> Le lissage est une opration qui permet de diminuer les variations du bruit,    et donc qui permet de le rendre drivable  l'chelle du pas de calcul utilis    par Runge-Kutta ; <b>attention : le lissage diminue l'amplitude</b>.Le bruit    utilis ayant une distribution uniforme, sa variance est relie  son amplitude    : ainsi, nous utiliserons la variance calcule pour dterminer l'amplitude de    ce bruit. <br>   <br>   Le bruit, suffisament liss, devient drivable. Runge-Kutta qui utilise l'opration    de drivation dans son algorithme converge mieux : les attracteurs ont des contours    plus nets. <br>   <br> <div align="CENTER"> <i>Amlioration de la netet des contours avec le nombre    de lissages</i>    <table cellpadding=3 border="1">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>A</td>       <td align="CENTER" nowrap>amort</td>       <td align="CENTER" nowrap>c</td>       <td align="CENTER" nowrap>amp</td>       <td align="CENTER" nowrap>lisse</td>       <td align="CENTER" nowrap>lb</td>       <td align="CENTER" nowrap>n</td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>2</sub></i></td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>1</sub></i></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>0.006</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.003</td>       <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.4</td>       <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>300</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>       <td align="CENTER" nowrap>1600</td>       <td align="CENTER" nowrap>40</td>     </tr>   </table>   <table cellpadding=3 width="387">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap width="250"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="avec-1-lissage.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>       <td align="CENTER" nowrap width="117"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="avec-3-lissage.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <th align="CENTER" nowrap width="250"><i>(Poincar) 1 lissage</i></th>       <td align="CENTER" nowrap width="117"><i>(Poincar) 3 lissages</i></td>     </tr>   </table>   <p><i>lb est la taille de la fentre de lissage</i></p>   <p> On observe que pour une mme variance (amplitude) du bruit, plus le bruit      est liss, moins il y a de phnomnes chaotiques. <br>   </p> </div> <div align="CENTER"> <i>dans la section de Poincar :</i>    <table cellpadding=3 border="1">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>A</td>       <td align="CENTER" nowrap>w</td>       <td align="CENTER" nowrap>amort</td>       <td align="CENTER" nowrap>c</td>       <td align="CENTER" nowrap>amp</td>       <td align="CENTER" nowrap>lisse</td>       <td align="CENTER" nowrap>lb</td>       <td align="CENTER" nowrap>n</td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>2</sub></i></td>       <td align="CENTER" nowrap><i>t<sub>1</sub></i></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap>0.006</td>       <td align="CENTER" nowrap>5.8</td>       <td align="CENTER" nowrap>0.003</td>       <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>6</td>       <td align="CENTER" nowrap>1</td>       <td align="CENTER" nowrap>300</td>       <td align="CENTER" nowrap>100</td>       <td align="CENTER" nowrap>400</td>       <td align="CENTER" nowrap>400</td>     </tr>   </table>   <br>   <br>   <table cellpadding=3 width="241">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap width="250"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="supression-du-chaos-par-lissage.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>       <td align="CENTER" nowrap width="6"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="chaos-malgre-lissage.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <th align="CENTER" nowrap width="250" height="28"><i>avec 7 lissages : stable</i></th>       <td align="CENTER" nowrap width="6" height="28"><i>avec 2 lissages : chaos</i></td>     </tr>   </table>   <p align="left">Dans ces deux cas, le bruit a une variance constante, de l'ordre      de 10<sup>-2</sup>. <br>     <br>     Nous avons observ que pour un bruit de variance (amplitude) constante, on      peut faire disparatre un phnomene chaotique en lissant le bruit plusieurs      fois, puis le faire rappaaratre en augmentant son amplitude : </p> </div> <ul>   <li> le chaos est plus rare pour un bruit correl (liss).    <li> le chaos est plus frquent avec une augmentation de l'amplitude du bruit,      mme quand il est liss.  </ul> <p> Remarque : les conditions initiales ne semblent pas jouer un rle important    dans l'apparition du chaos.  <h1><a name="SECTION00050000000000000000">Conclusion</a> </h1> <p> L'tude a montr que pour certaines pulsations exitatrices, le pendule avait    un comportement chaotique observable dans sa section de Poincar. On peut observer    des priodes de transition vers le chaos. La prsence d'un bruit favorise l'appariton    des phnomnes chaotiques. Ceux-ci sont d'autant plus frquents que l'amplitude    du bruit est grande <i>(voir throrme de KAM en annexe</i>) et que celui-ci    est non correl. <br>   Le programme permet de visualiser tous les diagrammes prsents ici, mais aussi    les autres graphiques correspondants, ainsi que l'oscilation du pendule en temps    rel. On peut de plus laiss libre cours  l'imagination et au sens physique,    en faisant de nouvelles exprience par la saisie de nouveaux paramtres propres     l'utilisateur.  <p>&nbsp; <h1><a name="SECTION000100000000000000000">Exemple de bruits lisss reprsents    pendant <i>t<sub>1</sub></i>=40 <i>s</i></a> </h1> <p>  <div align="CENTER"> <img width="350" height="262" align="BOTTOM" border="0"  src="bruit-non-lisse.jpg"  alt="\includegraphics  "><br>   <i>bruit non liss</i> </div> <br> <br> <br> <p>  <div align="CENTER">    <table cellpadding=3 width="480">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap width="250"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="bruit-lisse-1-30.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>       <td align="CENTER" nowrap width="210"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="bruit-lisse-1-60.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <th align="CENTER" nowrap width="250"><i>bruit liss avec une fentre de          30</i></th>       <td align="CENTER" nowrap width="210"><i>bruit liss avec une fentre de          60</i></td>     </tr>   </table> </div> <br> <br> <br> <p>  <div align="CENTER">    <table cellpadding=3 width="362" height="268">     <tr valign="TOP">        <td align="CENTER" nowrap width="252"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="bruit-lisse-2-30.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>       <td align="CENTER" nowrap width="90"><img width="250" height="200" align="BOTTOM" border="0"  src="bruit-lisse-3-30.jpg"  alt="\includegraphics  "></td>     </tr>     <tr valign="TOP">        <th align="CENTER" nowrap width="252"><i>bruit liss deux fois avec une          fentre de 30</i></th>       <td align="CENTER" nowrap width="90"><i>bruit liss 3 fois avec une fentre          de 30</i></td>     </tr>   </table> </div> <br> <br> <br> <!--End of Navigation Panel-->  <h1><a name="SECTION000110000000000000000"> Notice d'utilisation du programme</a>  </h1> <p><b>ATTENTION : ce programme ne peut pas tre excut directement depuis la    disquette : il necessite d'tre copi sur le dique dur, car pour des problmes    d'espace mmoire, nous travaillons directement sur le disque dur ; le programme    peut crer des fichiers d'une taille allant jusqu' 16 Mo.</b>  <p> <br>   Au lancement, vous avez acces  deux choix :  <ul>   <li> le premier laisse libre le choix des paramtres    <li> le second permet de choisr parmis 15 cas enregistrs  </ul> <br> Dans tous les cas , le programme affiche ce qu'il fait :  <ul>   <li> il cre le fichier bruit, et en donne sa variance    <li> il le lisse ventuellement le bruit et recalcule la variance    <li> il resout l'quation du mouvement par la mthode de Runge-Kutta    <li> il calule et affiche l'cart quadratique entre la premiere rsolution et      une rsolution plus prcise    <li> il affiche les paramtres du problme    <li> il trace diffrents diagrammes selon les cas  </ul> </BODY> </HTML> 
