<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">  <!--Converted with LaTeX2HTML 2K.1beta (1.47) original version by:  Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds * revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan * with significant contributions from:   Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others --> <HTML> <HEAD> <TITLE>Sym&#233;trie, ``Int&#233;grabilit&#233;'' et Chaos.</TITLE> <META NAME="description" CONTENT="Sym&#233;trie, ``Int&#233;grabilit&#233;'' et Chaos."> <META NAME="keywords" CONTENT="2002rapport"> <META NAME="resource-type" CONTENT="document"> <META NAME="distribution" CONTENT="global">  <META HTTP-EQUIV="Content-Type" CONTENT="text/html; charset=iso-8859-1"> <META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v2K.1beta"> <META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css">  <LINK REL="STYLESHEET" HREF="../2002rapport.css">  <LINK REL="next" HREF="node36.html"> <LINK REL="previous" HREF="node34.html"> <LINK REL="up" HREF="node32.html"> <LINK REL="next" HREF="node36.html"> </HEAD>  <BODY > <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html675"   HREF="node36.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next"  SRC="file:/usr/share/latex2html/icons/next.png"></A> <A NAME="tex2html671"   HREF="node32.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up"  SRC="file:/usr/share/latex2html/icons/up.png"></A> <A NAME="tex2html665"   HREF="node34.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous"  SRC="file:/usr/share/latex2html/icons/prev.png"></A> <A NAME="tex2html673"   HREF="table-mat.html"> <IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents"  SRC="file:/usr/share/latex2html/icons/contents.png"></A> <BR> <B> suivant:</B> <A NAME="tex2html676"   HREF="node36.html">Interpr&#233;tation en dimension des</A> <B> monter:</B>  <A NAME="tex2html672"   HREF="node32.html">Dualit&#233;s en th&#233;orie des</A> <B> pr&eacute;c&eacute;dent:</B>  <A NAME="tex2html666"   HREF="node34.html">Nouvelles sym&#233;tries des supergravit&#233;s</A> &nbsp  <B> <A NAME="tex2html674"   HREF="table-mat.html">Table des mati&#232;res</A></B> <BR> <BR> <!--End of Navigation Panel-->  <H3><A NAME="SECTION00252300000000000000"> Sym&#233;trie, ``Int&#233;grabilit&#233;'' et Chaos.</A> </H3>  <P> Les &#233;quations (super)-gravitationnelles r&#233;duites &#224; deux dimensions    par compactification &#224; la Kaluza sur des tores admettent des paires de    Lax. Les techniques de r&#233;solution des syst&#232;mes dits totalement int&#233;grables    s'appliquent en partie avec des complications et des raffinements en particulier    &#224; l'infini. Dans [<A  HREF="publications.html#2619">2619</A>] B. Julia a montr&#233; avec D. Bernard    que le groupe de Kac-Moody affine d'habillage diff&#233;rait par le choix du    param&#232;tre spectral et donc par la charge centrale du groupe de Geroch,    ceci est d&#251; &#224; l'action du groupe des diff&#233;omorphismes du cercle    sur le param&#232;tre spectral &#233;tudi&#233; par H. Nicolai et B. Julia il    y a 5 ans.  <P> On savait depuis longtemps que des solutions homog&#232;nes, donc d&#233;pendant    uniquement du temps, des &#233;quations d'Einstein avaient des comportements    chaotiques; une analyse due &#224; Belinski, Khalatnikov et Lifshitz (et raffin&#233;e    plus tard...) au voisinage d'une singularit&#233; a montr&#233; en particulier    un comportement de billard avec succession de comportements Kasn&#233;riens.    Il y a 5 ans M. Henneaux, (professeur invit&#233; en 1998) avait montr&#233;    que le chaos BKL disparaissait pour la gravitation pure &#224; partir de la    dimension 11! Dans [<A  HREF="publications.html#2822">2822</A>] B. Julia et al. ont montr&#233; que la    source du chaos &#233;tait l'hyperbolicit&#233; du billard de Coxeter-Weyl correspondant    pr&#233;cis&#233;ment au groupe de dualit&#233; hyperbolique postul&#233; par    B. Julia en 1982 (Actes du congr&#232;s SIAM de Chicago). Dans ce travail B.    Julia introduisit la notion de surextension des groupes de U-dualit&#233; connus    en dimension 3 pour les (super)gravit&#233;s. Par exemple <IMG  WIDTH="35" HEIGHT="37" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="../images/img108.png"  ALT="$E_{10}$"> est la surextension de <IMG  WIDTH="28" HEIGHT="37" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="../images/img109.png"  ALT="$E_8$">. Il remarque que la surextension de <IMG  WIDTH="76" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="../images/img110.png"  ALT="$SO(8,8)$"> U-dualit&#233; de type I est le deuxi&#232;me diagramme de Dynkin    hyperbolique de rang maximal et conjecture que les deux seuls autres: BE10 et    CE10 devraient appara&#238;tre &#233;galement bien qu'ayant des racines de longueurs    in&#233;gales. La condition de rang maximal 10 est en fait la cause de la disparition    du chaos de Henneaux, BE10 vient d'&#234;tre trouv&#233; exp&#233;rimentalement    par Damour et Henneaux pour la supergravit&#233; h&#233;t&#233;rotique et compris    par B. Julia (article avec A. Hanany et A. Keurentjes). Une meilleure compr&#233;hension    de cette coincidence de la dimension critique <IMG  WIDTH="25" HEIGHT="20" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="../images/img111.png"  ALT="$10$"> des supercordes et des tores hyperboliques (maximaux noncompacts)    serait tr&#232;s utile. Afin d'&#233;viter les malentendus il faut dire que    seuls les groupes de Coxeter viennent d'&#234;tre compris, les groupes de Kac-Moody    hyperboliques restent encore inaccessibles. En r&#233;sum&#233; on peut dire    que la sym&#233;trie (U-dualit&#233; 3d ou groupe d'habillage 2d) contr&#244;le    le chaos par le groupe de Coxeter de sa surextension! Le cas des groupes de    U-dualit&#233; non d&#233;ploy&#233;s qui se pr&#233;sente pour les autres supergravit&#233;s    non maximales se traite d'une mani&#232;re analogue en utilisant la th&#233;orie    des formes r&#233;elles des groupes de Lie.  <P> Ajoutons ici les r&#233;sultats de B. Julia et al [<A  HREF="publications.html#2705">2705</A>] et [<A  HREF="publications.html#2571">2571</A>]. Comme nous venons de le voir, les (sur)extensions    de <IMG  WIDTH="30" HEIGHT="37" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="../images/img112.png"  ALT="$D_8$"> et de <IMG  WIDTH="28" HEIGHT="37" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="../images/img109.png"  ALT="$E_8$"> gouvernent sans doute le comportement non perturbatif des supergravit&#233;s    de type I et II en dimension 10. Le premier groupe est le centralisateur d'une    involution du deuxi&#232;me, ils ont m&#234;me rang et des propri&#233;t&#233;s    voisines. La puissance non perturbative des U-dualit&#233;s qui pourraient,    d'apr&#232;s B. Julia (M. Green ...), permettre de resommer les divergences    quantiques, est-elle visible au niveau perturbatif? La r&#233;ponse est que    la supergravit&#233; de type I est plus divergente que son extension de type    II [<A  HREF="publications.html#2705">2705</A>], il n'y a pas eu de surprise en utilisant    les m&#233;thodes de r&#233;gularisation habituelles.  <P> Dans l'article [<A  HREF="publications.html#2571">2571</A>], C. Hull et B. Julia &#233;tendent au    cas d'un vecteur de Killing de genre temps la construction des espaces de modules    pour les th&#233;ories de supercordes et theorie M. Il n'y a pas de grande modification    par rapport au cas de genre espace. Par contre dans le cas de genre lumi&#232;re    la discussion est sensiblement plus compliqu&#233;e: B. Julia a des r&#233;sultats    non publi&#233;s avec C. Hull et aussi avec C. R&#233;al (enseignant de math&#233;matiques    ext&#233;rieur).  <P> <HR> <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html675"   HREF="node36.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next"  SRC="file:/usr/share/latex2html/icons/next.png"></A> <A NAME="tex2html671"   HREF="node32.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up"  SRC="file:/usr/share/latex2html/icons/up.png"></A> <A NAME="tex2html665"   HREF="node34.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous"  SRC="file:/usr/share/latex2html/icons/prev.png"></A> <A NAME="tex2html673"   HREF="table-mat.html"> <IMG WIDTH="65" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="contents"  SRC="file:/usr/share/latex2html/icons/contents.png"></A> <BR> <B> suivant:</B> <A NAME="tex2html676"   HREF="node36.html">Interpr&#233;tation en dimension des</A> <B> monter:</B>  <A NAME="tex2html672"   HREF="node32.html">Dualit&#233;s en th&#233;orie des</A> <B> pr&eacute;c&eacute;dent:</B>  <A NAME="tex2html666"   HREF="node34.html">Nouvelles sym&#233;tries des supergravit&#233;s</A> &nbsp  <B> <A NAME="tex2html674"   HREF="table-mat.html">Table des mati&#232;res</A></B>  <!--End of Navigation Panel--> <ADDRESS> Jean-Loup Gervais 2002-04-09 </ADDRESS> </BODY> </HTML> 
