<HTML><HEAD><script language="javascript" src="http://18.95.1.66/stats/leonidemit.js"></script> <noscript> <img src="http://18.95.1.66/cgi-bin/geostat.cgi?&js=n&site=leonidemit"> </noscript> <TITLE>Transition to chaos in a Rayleigh Benard convection system - Transition vers le chaos dans un systme de convection de Rayleigh-Bnard </TITLE><META http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=ISO-8859-1"><meta name="keywords" content="rayleigh,benard,convection,chaos,instabilities,instabilite,critique,transition,non linear,non lineaire">    <meta http-equiv="Pragma" content="no-cache">    <META HTTP-EQUIV="Expires" CONTENT="-1">    <img src = "http://comcampus.mit.edu/cgi-bin/leostat">    <img name='awmMenuPathImg' id='awmMenuPathImg' src='./awmmenupath.gif' width=1 height=1>     <script>awmAltUrl='';</script>    <script src='menubar.js' language='JavaScript1.2' type='text/javascript'></script>    <script>awmBuildMenu();</script></HEAD><BODY ><!--HEVEA command line is: hevea earbhevea.tex --> <!--HTMLHEAD--> <!--ENDHTML--> <!--CUT DEF section 1 --> <H1 ALIGN=center>Transition to chaos in a Rayleigh Benard convection system</H1><H1 ALIGN=center>Transition vers le chaos dans un systme<br>  de convection de Rayleigh-Bnard</H1><H1 ALIGN=center><BR>  tude exprimentale dirige par Nicolas Garnier<BR></H1><H3 ALIGN=center><a href="mailto:saad@poly.polytechnique.fr">Authors: Lonide   Saad</a><BR>  &nbsp;&nbsp; &amp; <a href="mailto:elloumi@poly.polytechnique.fr">Riadh Elloumi</a><BR></H3><H3 ALIGN=center>march 2001</H3><BLOCKQUOTE>  <p><b>Abstract</b>: This article deals with an experimental approach of chaotic     convection characterized by Rayleigh Benard instabilities. Rayleigh Benard     instabilities are convection instabilities which appear when a vertical temperature     gradient is applied in a fluid under a gravity field. At low gradients there     is only a diffusive regime as the temperature diffusion process is faster     than the convection. When the temperature gradient reaches a threshold characterized     by its &quot;Rayleigh critical number&quot;, a convection pattern is occuring     in the fluid. The Rayleigh Benard transition is a very typical subject of     study which has been widely studied during the last twenty years. This current     project will show you a way of setting up an experiment where one can observe     and measure a fluid convection characterized by a Rayleigh Benard transition.     We will then present you our results, some theoretical easy demonstration     of the primary instability and many other results (phase portraits, Fourier     spectra, etc.)</p>  <p><B>R&eacute;sum&eacute;: </B> Le prsent document cherche  aborder de faon     exprimentale la transition vers le chaos dans un systme de convection de     Rayleigh-Bnard. Il prsentera de faon concise les rsultats que nous avons     obtenus au cours de nos huit sances de manipulations. Mme si ce domaine     d'tude est devenu traditionel au cours des vingt dernires annes, il nous     paraissait trs intressant de pouvoir se sensibiliser aux systmes non-linaires     que nous n'avions jamais rellement observs. La convection de Rayleigh Bnard     (R.B.) paraissait un choix trs intressant car les phnomnes de convection     sont trs prsents dans l'atmosphre et nous dsirions regarder de plus prs     ces phnomnes. Nous avons donc t sduits par cette manipulation ne serait-ce     que parce qu'elle permettait d'tudier des phnomnes d'chelle plantaire     au sein mme d'une simple cellule de taille millimtrique. Aprs avoir brivement     rappel le principe de la convection de R.B., nous dcrirons notre l'exprience     que nous avons mise en place et les observations que nous avons faites. .     Nous pourrons alors interprter nos rsultats en liaison avec articles cits     dans les<i></i> rfrences bibliographiques</p>  <p>Dans la suite de ce document, <font face=symbol>D</font> <i>T</i> dsignera     le gradient de temprature et sera exprim en degrs sauf pour les graphes     o il sera exprim en 10<sup>^1</sup> <i>K</i></p>  <BLOCKQUOTE><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2></DIV>    <DIV ALIGN=center>       <table width="100%" border="0">        <tr>          <td>            <table width="100%" border="0">              <tr>                <td>                  <div align="center"><img src="artiste99.jpg" width="390" height="200"></div>                </td>                <td>                  <div align="center"><a href="moviegrande152.jpg"><img src="moviegrande152.jpg" width="298" height="200" border="0"></a></div>                </td>              </tr>            </table>          </td>        </tr>        <tr>          <td>            <div align="center"><a href="110_phase.jpg"><img src="110_phase.jpg" width="335" height="281" border="0"></a></div>          </td>        </tr>      </table>    </DIV> <BR><BR><DIV ALIGN=center>Figure 1: Visualisation sur une ligne - Portrait de phase pour <FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I>=11 - Reprsentation de la petite cellule pour <FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I> = 15.2</DIV><BR><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2></DIV></BLOCKQUOTE>  <p>&nbsp;</p><p><BR>Nous tenons  remercier les personnes qui nous ont aids de prs ou de loin dans cette tude:</p><UL><LI> Nicolas Garnier qui a toujours t de trs bon conseil et nous a guid non seulement par ses connaissances thoriques du chaos, mais aussi par son sens de l'observation et son exprience,<LI> Eric Blond et Thien-Loc Nguyen pour leurs conseils informatiques dans le traitement des donnes,<LI> et enfin tous les professeurs que nous avons ctoys au cours de ces deux annes  l'X, qui nous ont passionns pour leur travail et nous ont soutenus au cours des projets que nous avons raliss sous leur direction.</UL></BLOCKQUOTE><!--TOC section Rappels sur le phnomne de convection--><H2>1&nbsp;&nbsp; Rappels sur le phnomne de convection</H2><!--SEC END -->Le phnomne de convection a t principalement tudi par les expriences de Bnard et l'analyse thorique de Rayleigh au dbut du XXme sicle. A prsent, c'est un phnomne trs bien connu qui a le mrite d'expliquer de faon simple le phnomne d'instabilit primaire et de prsenter certains avantages lis  la vrification exprimentale. La convection de R.B apparat dans une couche de fluide soumise  un gradient de temprature vertical positif assez important. En effet, la stratification horizontale de densit qui est alors induite est potentiellement instable car un fluide lourd surmonte alors un fluide lger: le fluide chaud et lger a tendance  monter, mu par la pousse d'Archimde. Ce mouvement est amplifi par le fait que le fluide rencontre en montant des zones de plus en plus denses.<BLOCKQUOTE><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2>    <img src="rouleaux.jpg" width="501" height="212"> </DIV> <BR><BR><DIV ALIGN=center>Figure 2: <FONT SIZE=2>Gomtrie et mcanisme de la convection de Rayleigh Bnard - extrait de Manneville</FONT></DIV><BR><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2></DIV></BLOCKQUOTE>Cependant le phnomne de convection peut tre ralenti par deux phnomnes: <UL><LI> la diffusion thermique qui a tendance  homogniser les gradients de tempratures et font qu'une petite variation de temprature aura tendance  tre efface par la diffusion thermique,<LI> les frottements visqueux qui ont tendance  faire ralentir la monte du fluide.</UL><!--TOC section Expriences--><H2>2&nbsp;&nbsp; Expriences</H2><!--SEC END --><!--TOC subsection Dispositif exprimental--><H3>2.1&nbsp;&nbsp; Dispositif exprimental</H3><!--SEC END --><!--TOC subsubsection Description de la cellule--><H4>2.1.1&nbsp;&nbsp; Description de la cellule</H4><!--SEC END --> <table width="100%" border="0">  <tr>    <td>Le fluide utilis est de l'Argon sous une pression de 60 bars et  temprature       ambiante, contenu entre deux plaques distantes de 2mm. On dispose de deux       gomtries diffrentes de cellule: 4 x 2 mm et 10 x 2 mm. Il est prfrable       de choisir un gaz  un liquide car le gaz est transparent et notre montage       va se servir de ce phnomne pour les mesures. En effet, nous cherchons        dterminer le champ de vitesse dans le fluide (qui est li au champ de       temprature), afin de mesurer les ventuelles instabilits. Avec un liquide       nous aurions d placer une sonde  l'intrieur de la cellule d'une taille       difficile  fabriquer par sa petitesse et qui aurait certainement perturb       l'coulement. L'utilisation d'un gaz est beaucoup plus pratique donc de       ce point de vue. De plus, les gaz sont souvent moins ``visqueux'' (pour       la viscosit cinmatique), mme si cela n'est pas vrai pour l'air par rapport        l'eau. En revanche la tension superficielle est ngligeable et permet       donc de ne pas tenir compte de son effet qui apparat dans le phnomne       dit de Bnard-Marangoni.       <blockquote>        <div align=center></div>      </blockquote>      En outre, le gaz est sous une pression judicieusement choisie, assez loigne       du point critique afin que le gaz ait des proprits physiques relativement       constantes dans la zone de pression et de temprature considres. Cette       pression est aussi choisie assez leve, car une plus grande pression induit       des variations d'indices (et donc de densits) plus nettes ce qui permettra       d'avoir une plus grande qualit lors des observations. Il y a deux capteurs       de temprature, l'un plac sur le couvercle de l'enceinte, l'autre plac       sur la partie chauffante; les tempratures sont lues directement sur un       multimtre. La plaque infrieure est chauffe par une rsistance asservie       d'un systme de rgulation de temprature. Une sonde de pression se trouve       aussi dans l'enceinte et nous permet de contrler la pression afin de dtecter       une ventuelle fuite ou pour valuer ses variations: globalement, au cours       de toutes les manipulations, la pression variait peu, entre 45 et 50 bars.</td>    <td>      <p><img src="FICHIER2.jpg" width="229" height="341"></p>      <div align="center"> </div>      <div align=center>Figure 3: <font size=2>Description de la cellule - extrait         de l'article de V. Croquett</font></div>      <p>&nbsp;</p>    </td>  </tr></table><BLOCKQUOTE>  <DIV ALIGN=center> </DIV>  <BR>  <DIV ALIGN=center> </DIV></BLOCKQUOTE><H4>2.1.2&nbsp;&nbsp; Visualisation par ombroscopie</H4><BLOCKQUOTE>  <DIV ALIGN=center>    <table width="100%" border="0">      <tr>        <td>          <p><img src="ombroscopie.jpg" width="378" height="458"></p>          <p align="center">Figure 4: <font size=2>Montage pour la visualisation             par ombroscopie</font></p>        </td>        <td>Mettant  profit la transparence du gaz et les variations de l'indice           optique avec la temprature, nous avons mis en place un systme d'ombroscopie.           Lorsqu'on claire la surface du fluide en lumire parallle, les faisceaux           lumineux sont dvis par les gradients d'indice optique, ie par les           gradients de temprature. En particulier, les courants ascendants (chauds)           ou descendants (froids) sont caractriss par des intensits lumineuses           diffrentes, ce qui met en vidence les rouleaux de convection.           <blockquote>            <div align=center></div>          </blockquote>          Le montage optique est reprsent ci dessus. Un faisceau de lumire           parallle traverse la cellule de convection et est ensuite reu par           une camra CCD. Le faisceau de lumire parallle est obtenu en plaant           une source de lumire ponctuelle au foyer d'une lentille L1. Nous avons           mis en place un systme afocal constitu des deux lentilles L1 et L2           afin de pouvoir observer afin de pouvoir observer  l'aide de la camra           qui fait la mise au point  l'infini. En jouant sur la position de L2           et de la camra on peut modifier l'agrandissement et la nettet. L'enregistrement           et l'analyse du signal se font par l'intermdiaire d'un ordinateur muni           d'une carte d'acquisition et l'ordinateur permet par la suite le traitement           des donnes.</td>      </tr>    </table>      </DIV> <BR><BR>  <DIV ALIGN=center></DIV>  <BR>  <DIV ALIGN=center> </DIV></BLOCKQUOTE><H2>3&nbsp;&nbsp; Observations</H2><H3>3.1&nbsp;&nbsp; Acquisitions</H3>Plusieurs possibilits d'observations s'offraient  nous: Acquisition de l'intensit lumineuse reue sur un point, moyenne sur un carr, acquisition graphique sur une ligne, prise de clichs photographiques de la cellule. Le principe est simple: on acquiert le signal en fonction du temps  12.5 images par secondes. On obtient lorsqu'on fait une moyenne sur un carr un signal simple, et lorsqu'on acquiert sur une ligne une image qui met les unes  la suite des autres, les lignes acquises en fonction du temps. Nous avons acquis le plus de donnes que nous pouvions et ce dans les deux cellules, afin de rendre compte du phnomne plus facilement. Nous avons pour cela fait varier le gradient de temprature entre 0 et 15 degrs. Nous n'avons pas os augmenter davantage le gradient car nous ne connaissions pas les caractristiques techniques de la rsistance chauffante et nous ne voulions pas la griller. Les sries de mesures qui ont t faites sont les suivantes: <UL><LI> Acquisition sur un carr de taille 10 pixels entre 8.0 et 9.5 degrs pour la petite cellule,<LI> Acquisition sur un carr de taille 10 pixels entre 8.1 et 10 degrs pour la petite cellule,<LI> Acquisition sur un carr de taille 10 pixels entre 8.8 et 14 degrs pour la petite cellule,<LI> Acquisition sur un carr de taille 10 pixels entre 12 et 15 degrs pour la petite cellule,<LI> Acquisition sur un carr de taille 10 pixels entre 10 et 15 degrs pour la grande cellule,<LI> Acquisition sur un carr de taille 10 pixels entre 12.7 et 10 degrs en descendant pour la grande cellule,<LI> Acquisition sur une ligne entre 8 et 13 degrs pour la grande cellule,<LI> Prise de clichs pour diverses tempratures, principalement pour mettre en vidence le seuil d'apparition de la convection primaire.</UL><H3>3.2&nbsp;&nbsp; Rsultats: instabilit primaire stationnaire</H3>Les clichs de la petite cellule pris pour un gradient de temprature compris entre 0 et 5 degrs montrent l'apparition de deux rouleaux de convection au sein de la cellule pour un gradient gal  environ 4.5 degrs. La prcision de cette valuation est trs grossire (environ 0.3 degrs) car les rouleaux apparaissent progressivement et ne sont pas trs marqus au seuil d'apparition ce qui ne permet pas de trancher catgoriquement. Ces rouleaux voluent de faon stationnaire dans le fluide pour un gradient infrieur  8 degrs. Nous verrons ci-dessous que cette instabilit primaire stationnaire laisse place pour des gradients de tempratures suprieurs  des oscillations des rouleaux. L'interprtation qualitative de ces rouleaux se comprend bien par le phnomne de convection de R.B. dont nous avions voqu les principes au dbut de ce rapport. Plus quantitativement, nous pouvons aussi chercher ce seuil d'apparition comme tant le passage d'un rgime diffusif  un rgime convectif. Nous allons trouver ce seuil de deux mthodes diffrentes. <BLOCKQUOTE><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2>    <p><img src="image3.7.jpg" width="343" height="228"><img src="image5.4.jpg" width="346" height="228"></p>  </DIV>  <div align="left"> </div>  <DIV ALIGN=center>Figure 5: <FONT SIZE=2>Visualisation de la cellule pour </FONT><FONT SIZE=2><FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I> = 3.7</FONT><FONT SIZE=2> et pour </FONT><FONT SIZE=2><FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I>= 5.4</FONT></DIV><BR><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2></DIV></BLOCKQUOTE><!--TOC subsubsection Calcul du seuil d'apparition de la convection: approche qualitative--><H4>3.2.1&nbsp;&nbsp; Calcul du seuil d'apparition de la convection: approche qualitative</H4><!--SEC END -->On suppose que dans le bas de la cellule apparat une instabilit de rayon <I>R</I> et caractrise par une variation de temprature <FONT FACE=symbol>d</FONT> <I>T</I> positive. La variation induite de densit est alors donne par <FONT FACE=symbol>d</FONT> <FONT FACE=symbol>r</FONT> = <FONT FACE=symbol>r</FONT> <FONT FACE=symbol>a</FONT> <FONT FACE=symbol>d</FONT> <I>T</I> o <FONT FACE=symbol>a</FONT> = -1/<FONT FACE=symbol>r</FONT> <FONT FACE=symbol></FONT> <FONT FACE=symbol>r</FONT>/<FONT FACE=symbol></FONT> <I>T</I>. L'instabilit est soumise  la pousse diffrentielle d'Archimde de valeur 4/3 <FONT FACE=symbol>p</FONT> <I>R</I><SUP><FONT SIZE=2>3</FONT></SUP> <FONT FACE=symbol>d</FONT> <FONT FACE=symbol>r</FONT> <I>g</I> et dirige vers le haut ainsi qu'aux frottements visqueux qui s'opposent  la monte de l'instabilit et de valeur 6 <FONT FACE=symbol>p</FONT> <FONT FACE=symbol>h</FONT> <I>R</I> <I>v</I>. Lorsque l'instabilit ne subit aucune acclration, ie lorsque le rgime permanent est tabli, ces deux forces s'quilibrent et permettent de trouver la valeur de la vitesse de l'instabilit: <DIV ALIGN=center><TABLE CELLSPACING=0 CELLPADDING=0><TR VALIGN=middle><TD nowrap><I>v</I>=</TD><TD nowrap><TABLE CELLSPACING=0 CELLPADDING=0><TR><TD nowrap ALIGN=center>2</TD></TR><TR><TD BGCOLOR=black><TABLE BORDER=0 WIDTH="100%" CELLSPACING=0 CELLPADING=1><TR><TD></TD></TR></TABLE></TD></TR><TR><TD nowrap ALIGN=center>9</TD></TR></TABLE></TD><TD nowrap> </TD><TD nowrap><TABLE CELLSPACING=0 CELLPADDING=0><TR><TD nowrap ALIGN=center><FONT FACE=symbol>r</FONT> <FONT FACE=symbol>a</FONT> <FONT FACE=symbol>d</FONT> <I>T</I> <I>g</I> <I>R</I><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP></TD></TR><TR><TD BGCOLOR=black><TABLE BORDER=0 WIDTH="100%" CELLSPACING=0 CELLPADING=1><TR><TD></TD></TR></TABLE></TD></TR><TR><TD nowrap ALIGN=center><FONT FACE=symbol>p</FONT> <FONT FACE=symbol>h</FONT></TD></TR></TABLE></TD></TR></TABLE></DIV>.Le phnomne qui empche l'instabilit de monter encore plus est la diffusion thermique qui tend  homogniser les gradients de tempratures. Si l'instabilit monte ``assez vite'' pour que la diffusion thermique n'ait pas eu le temps d'agir, alors la convection apparatra. Notons <FONT FACE=symbol>t</FONT> le temps caractristique de la diffusion thermique, gal  <I>AR</I><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP>/<FONT FACE=symbol>k</FONT> o <I>A</I> est une constante sans dimension et <FONT FACE=symbol>k</FONT> est le coefficient de diffusion thermique. Si <I>v</I> <FONT FACE=symbol>t</FONT> est suprieur  la distance correspondante  une variation <FONT FACE=symbol>d</FONT> <I>T</I> dans la cellule alors la convection aura lieu. Cette distance est gale  <FONT FACE=symbol>d</FONT> <I>T</I>/<I>T</I><SUB><FONT SIZE=2><I>c</I></FONT></SUB> - <I>T</I><SUB><FONT SIZE=2><I>f</I></FONT></SUB> <I>a</I>, <I>a</I> tant la distance entre les deux plaques horizontales dlimitant la cellule et <I>T</I><SUB><FONT SIZE=2><I>c</I></FONT></SUB> - <I>T</I><SUB><FONT SIZE=2><I>f</I></FONT></SUB> tant la diffrence de temprature entre la plaque chaude et la plaque froide. Cette condition s'crit: <DIV ALIGN=center><TABLE CELLSPACING=0 CELLPADDING=0><TR VALIGN=middle><TD nowrap><TABLE CELLSPACING=0 CELLPADDING=0><TR><TD nowrap ALIGN=center>2</TD></TR><TR><TD BGCOLOR=black><TABLE BORDER=0 WIDTH="100%" CELLSPACING=0 CELLPADING=1><TR><TD></TD></TR></TABLE></TD></TR><TR><TD nowrap ALIGN=center>9</TD></TR></TABLE></TD><TD nowrap> </TD><TD nowrap><TABLE CELLSPACING=0 CELLPADDING=0><TR><TD nowrap ALIGN=center>(<I>T</I><SUB><FONT SIZE=2><I>c</I></FONT></SUB>-<I>T</I><SUB><FONT SIZE=2><I>f</I></FONT></SUB>)<FONT FACE=symbol>r</FONT> <I>g</I> <I>R</I><SUP><FONT SIZE=2>4</FONT></SUP></TD></TR><TR><TD BGCOLOR=black><TABLE BORDER=0 WIDTH="100%" CELLSPACING=0 CELLPADING=1><TR><TD></TD></TR></TABLE></TD></TR><TR><TD nowrap ALIGN=center><FONT FACE=symbol>p</FONT> <I>a</I> <FONT FACE=symbol>h</FONT> <FONT FACE=symbol>k</FONT></TD></TR></TABLE></TD><TD nowrap> &gt; 1</TD></TR></TABLE></DIV>condition d'autant plus facile que <I>R</I> est grand. En prenant  la limite <I>R</I>=<I>a</I>/2 on trouve que la condition s'crit:<DIV ALIGN=center><TABLE CELLSPACING=0 CELLPADDING=0><TR VALIGN=middle><TD nowrap><TABLE CELLSPACING=0 CELLPADDING=0><TR><TD nowrap ALIGN=center>(<I>T</I><SUB><FONT SIZE=2><I>c</I></FONT></SUB>-<I>T</I><SUB><FONT SIZE=2><I>f</I></FONT></SUB>)<FONT FACE=symbol>r</FONT> <I>g</I> <I>a</I><SUP><FONT SIZE=2>3</FONT></SUP></TD></TR><TR><TD BGCOLOR=black><TABLE BORDER=0 WIDTH="100%" CELLSPACING=0 CELLPADING=1><TR><TD></TD></TR></TABLE></TD></TR><TR><TD nowrap ALIGN=center><FONT FACE=symbol>h</FONT> <FONT FACE=symbol>k</FONT></TD></TR></TABLE></TD><TD nowrap> = <I>R</I><SUB><FONT SIZE=2><I>a</I></FONT></SUB> &gt; </TD><TD nowrap><TABLE CELLSPACING=0 CELLPADDING=0><TR><TD nowrap ALIGN=center>72 <FONT FACE=symbol>p</FONT></TD></TR><TR><TD BGCOLOR=black><TABLE BORDER=0 WIDTH="100%" CELLSPACING=0 CELLPADING=1><TR><TD></TD></TR></TABLE></TD></TR><TR><TD nowrap ALIGN=center><I>A</I></TD></TR></TABLE></TD></TR></TABLE></DIV><p>qui nous permet d'introduire le nombre de Rayleigh <I>R</I><SUB><FONT SIZE=2><I>a</I></FONT></SUB>.   Ainsi si ce nombre est plus grand qu'une valeur critique, la convection apparatra.   La valeur thorique du nombre de Rayleigh critique est gale  6250 (sachant   que dans notre systme <I>A</I>=0.04. Pour notre exprience, et en regardant   les tables de donnes physiques de l'Argon, nous obtenons un nombre de Rayleigh   critique gal  6000 environ pour un gradient de temprature de 5 degrs ce   qui est tout  fait en accord avec la valeur thorique. Notons que l'Argon possde   un nombre de Prandtl assez faible (0.80 environ dans notre cas) ce qui induit   un caractre assez particulier pour la convection. </p><p>caract&eacute;ristiques physiques de l'argon (en unit&eacute;s SI) </p><p>Pour P=50bars T=290K T=320K T=350K<br>  masse volumique 85,6 76,45 69,2<br>  Cp (*10^-3) 0,14 0,134 0,137<br>  viscosit&eacute; (*10^5) 2,337 2,505 2,653<br>  conductivit&eacute; thermique (*10^3) 4,59 4,876 5,175<br>  <br>  Pour P=40bars T=290K T=320K T=350K<br>  masse volumique 68 61 55<br>  Cp 0,137 0,131 0,134<br>  viscosit&eacute; (*10^5) 2,306 2,479 2,634<br>  conductivit&eacute; thermique (*10^3) 4,48 4,78 5,089</p><table width="100%" border="1">  <tr>    <td><img src="Movie096.jpg" width="454" height="128"></td>    <td><img src="Movie126.jpg" width="454" height="128"></td>  </tr>  <tr>    <td><img src="Movie110.jpg" width="454" height="128"></td>    <td><img src="Movie150.jpg" width="454" height="128"></td>  </tr></table><p align="center">Figure 6: <FONT SIZE=2>Acquisition sur une ligne pour des valeurs   de </FONT><FONT SIZE=2><FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I>= 9.6; 11.0; 12.6;   15</FONT></p><BLOCKQUOTE><BR>  <DIV ALIGN=center></DIV></BLOCKQUOTE><!--TOC subsubsection Calcul du seuil d'apparition de la convection: approche quantitative--><H4>3.2.2&nbsp;&nbsp; Calcul du seuil d'apparition de la convection: approche quantitative</H4><!--SEC END -->On se place dans le cas d'un systme bidimensionnel. On considre que la vitesse verticale et le champ de temprature <FONT FACE=symbol>q</FONT>  une hauteur <I>z</I><SUB><FONT SIZE=2>0</FONT></SUB> sont de la forme:<DIV ALIGN=center><I>v</I><SUB><FONT SIZE=2><I>z</I></FONT></SUB>(<I>x</I>,<I>t</I>)=<I>v</I><SUB><FONT SIZE=2><I>z</I>0</FONT></SUB>(<I>t</I>) <I>cos</I>(<I>kx</I>)</DIV><DIV ALIGN=center><FONT FACE=symbol>q</FONT>(<I>x</I>,<I>t</I>)=<FONT FACE=symbol>q</FONT><SUB><FONT SIZE=2>0</FONT></SUB> (<I>t</I>) <I>cos</I>(<I>kx</I>)</DIV>O on a choisi <I>k</I>=<FONT FACE=symbol>p</FONT> / <I>a</I>  comme vecteur d'onde, ce qui revient  considrer que les rouleaux sont circulaires et d'un diamtre de l'ordre de <I>a</I>. L'quation de Navier Stokes s'crit:<DIV ALIGN=center><TABLE CELLSPACING=0 CELLPADDING=0><TR VALIGN=middle><TD nowrap><FONT FACE=symbol>r</FONT> </TD><TD nowrap><TABLE CELLSPACING=0 CELLPADDING=0><TR><TD nowrap ALIGN=center><I>D</I><B><I>v</I></B></TD></TR><TR><TD BGCOLOR=black><TABLE BORDER=0 WIDTH="100%" CELLSPACING=0 CELLPADING=1><TR><TD></TD></TR></TABLE></TD></TR><TR><TD nowrap ALIGN=center><I>Dt</I></TD></TR></TABLE></TD><TD nowrap> = - <B><I>grad</I></B>(<I>P</I>) + <FONT FACE=symbol>r</FONT> <B><I>g</I></B> +  <FONT FACE=symbol>D</FONT> <B><I>v</I></B></TD></TR></TABLE></DIV>qui une fois projete sur l'axe vertical et sachant que les drives par rapport  <I>z</I> sont ngligeables devant celles par rapport  <I>x</I>, on obtient une quation qu'on linarise (vu qu'on ne cherche que la perturbation) en:<DIV ALIGN=center><FONT FACE=symbol></FONT><SUB><FONT SIZE=2><I>t</I></FONT></SUB> <I>v</I><SUB><FONT SIZE=2><I>z</I></FONT></SUB> = <FONT FACE=symbol>a</FONT> <I>g</I> <FONT FACE=symbol>q</FONT> + <FONT FACE=symbol>n</FONT> <FONT FACE=symbol></FONT><SUB><FONT SIZE=2><I>x</I></FONT></SUB><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP><I>v</I><SUB><FONT SIZE=2><I>z</I></FONT></SUB></DIV>L'quation de diffusion de la chaleur s'crit quant  elle:<DIV ALIGN=center><FONT FACE=symbol>k</FONT> <FONT FACE=symbol>D</FONT> <FONT FACE=symbol>q</FONT> = <FONT FACE=symbol></FONT><SUB><FONT SIZE=2><I>t</I></FONT></SUB> <FONT FACE=symbol>q</FONT></DIV><I>D</I> tant le coefficient de diffusion thermique. Une fois linarise  l'ordre 1, on obtient:<DIV ALIGN=center><FONT FACE=symbol>k</FONT> <FONT FACE=symbol></FONT><SUB><FONT SIZE=2><I>x</I></FONT></SUB><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP> <FONT FACE=symbol>q</FONT> = <FONT FACE=symbol></FONT><SUB><FONT SIZE=2><I>t</I></FONT></SUB> <FONT FACE=symbol>q</FONT> - <FONT FACE=symbol>b</FONT> <I>v</I><SUB><FONT SIZE=2><I>z</I></FONT></SUB></DIV>o <FONT FACE=symbol>b</FONT>=<FONT FACE=symbol></FONT> <FONT FACE=symbol>q</FONT>/<FONT FACE=symbol></FONT> <I>z</I>=-<FONT FACE=symbol>D</FONT> <FONT FACE=symbol>q</FONT>/<I>a</I> dsigne le gradient de temprature suppos constant dans la cellule. Cherchant alors les champs de vitesse et de temprature sous la forme:<DIV ALIGN=center><I>v</I><SUB><FONT SIZE=2><I>z</I></FONT></SUB>= <I>V</I> <I>e</I><SUP><FONT SIZE=2><I>st</I></FONT></SUP> <I>cos</I>(<I>kx</I>)</DIV><DIV ALIGN=center><FONT FACE=symbol>q</FONT>=<FONT FACE=symbol>Q</FONT> <I>e</I><SUP><FONT SIZE=2><I>st</I></FONT></SUP> <I>cos</I>(<I>kx</I>)</DIV>on obtient alors les quations couples suivantes:<DIV ALIGN=center><FONT FACE=symbol></FONT><SUB><FONT SIZE=2><I>t</I></FONT></SUB> <FONT FACE=symbol>q</FONT> = <FONT FACE=symbol>k</FONT> <FONT FACE=symbol></FONT><SUB><FONT SIZE=2><I>x</I></FONT></SUB><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP> <FONT FACE=symbol>q</FONT> + <FONT FACE=symbol>b</FONT> <I>v</I><SUB><FONT SIZE=2><I>z</I></FONT></SUB></DIV><DIV ALIGN=center><FONT FACE=symbol></FONT><SUB><FONT SIZE=2><I>t</I></FONT></SUB> <I>v</I><SUB><FONT SIZE=2><I>z</I></FONT></SUB> = <FONT FACE=symbol>n</FONT> <FONT FACE=symbol></FONT><SUB><FONT SIZE=2><I>x</I></FONT></SUB><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP><I>v</I><SUB><FONT SIZE=2><I>z</I></FONT></SUB> + <FONT FACE=symbol>a</FONT> <I>g</I> <FONT FACE=symbol>q</FONT> </DIV>soit:<DIV ALIGN=center><FONT FACE=symbol>Q</FONT> (<I>s</I> + <FONT FACE=symbol>k</FONT> <I>k</I><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP>) + <I>V</I> (<FONT FACE=symbol>b</FONT>) = 0</DIV><DIV ALIGN=center><FONT FACE=symbol>Q</FONT> (<FONT FACE=symbol>a</FONT> <I>g</I>) + <I>V</I> (<I>s</I> - <FONT FACE=symbol>n</FONT> <I>k</I><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP>)=0</DIV>Ce systme n'admet de solution non triviale que si son dterminant est nul. On aboutit alors  une quation du second degr pour <I>s</I> que l'on sait rsoudre: plusieurs cas sont possibles selon le signe du discriminant. Vu que l'on cherche des solutions instables, il faut que ce dernier soit positif afin qu'il y ait des solutions relles. L'quation du second degr et son discrimant s'crivent:<DIV ALIGN=center><I>s</I><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP> + (<FONT FACE=symbol>n</FONT> <I>k</I><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP> + <FONT FACE=symbol>k</FONT> <I>k</I><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP>) <I>s</I> + <FONT FACE=symbol>k</FONT> <FONT FACE=symbol>n</FONT> <I>k</I><SUP><FONT SIZE=2>4</FONT></SUP> - <FONT FACE=symbol>a</FONT> <I>g</I> <FONT FACE=symbol>b</FONT> = 0</DIV><DIV ALIGN=center><FONT FACE=symbol>D</FONT> = (<FONT FACE=symbol>n</FONT> <I>k</I><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP> - <FONT FACE=symbol>k</FONT> <I>k</I><SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP>)<SUP><FONT SIZE=2>2</FONT></SUP> + 4<FONT FACE=symbol>a</FONT> <I>g</I> <FONT FACE=symbol>b</FONT></DIV><FONT FACE=symbol>D</FONT> ne peut tre ngatif que si <FONT FACE=symbol>b</FONT> est ngatif (couche chauffe par le haut). Dans le cas o <FONT FACE=symbol>b</FONT> est positif, il suffit de regarder la somme et le produit des racines pour dceler l'instabilit. En fait, lorsque <FONT FACE=symbol>b</FONT> est faible, on montre facilement que les deux racines restent encore ngative et donc que le mouvement est amorti. Comme la somme des racines est ngative, il y a aura toujours au moins une des deux solutions qui sera ngative. A la limite, lorsque <FONT FACE=symbol>b</FONT> devient suffisamment grand, on arrive au seuil o une des deux racines est nulle. Cela se produit lorsque le produit est nul, soit:<DIV ALIGN=center><FONT FACE=symbol>a</FONT> <I>g</I> <FONT FACE=symbol>b</FONT> = <FONT FACE=symbol>n</FONT> <FONT FACE=symbol>k</FONT> <I>k</I><SUP><FONT SIZE=2>4</FONT></SUP></DIV>et pour <I>k</I> de l'ordre de <FONT FACE=symbol>p</FONT> / <I>h</I>, on obtient une valeur critique pour <FONT FACE=symbol>b</FONT> et le nombre de Rayleigh apparat de nouveau, montrant que pour <I>Ra</I> de l'ordre de <FONT FACE=symbol>p</FONT><SUP><FONT SIZE=2>4</FONT></SUP>, il y a instabilit.On pourra se reporter  l'ouvrage de Manneville pour de plus amples informations.<!--TOC subsection Rsultats: instabilit secondaire oscillatoire--><H3>3.3&nbsp;&nbsp; Rsultats: instabilit secondaire oscillatoire</H3>Lorsque l'on continue de faire augmenter le gradient de temprature, on voit apparatre un nouveau phnomne, celui de l'oscillation des rouleaux. En effet, ces derniers n'apparaissent plus stationnaire mais oscillants suivant la direction orthogonale au plan qui spare les deux rouleaux. Les oscillations commencent pour un gradient gal  9 degrs et le rsultat obtenu a pu l'tre avec une assez grande prcision de 0.1 degr. En effet, ce nouveau phnomne peut facilement tre suivi par l'intermdiaire d'une transforme de Fourier de la luminosit d'un pixel mesur par exemple. <BLOCKQUOTE>  <DIV ALIGN=center> <br>    <table width="100%" border="1">      <tr>        <td>          <p align="center"><img src="instasecondaire.jpg" width="348" height="301"></p>          <div align=center></div>          <div align=center>Figure 7: <font size=2>Apparition de l'instabilit             secondaire au seuil </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>=9</font></div>          </td>        <td>          <p align="center"><img src="dedoublement.jpg" width="295" height="301"></p>          <div align=center> </div>          <div align=center>Figure 8: <font size=2>D&eacute;doublement de frquence             aux alentours de </font><font size=2><font face=symbol>D</font> <i>T</i>=10.5</font></div>          </td>      </tr>    </table>      </DIV> <BR>  <DIV ALIGN=center></DIV></BLOCKQUOTE>Nous avons ensuite fait varier <FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I> entre 9 et 15 degrs de faon trs progressive en observant la petite cellule majoritairement et nous avons effectu de nombreuses mesures. A partir d'un second seuil gal  10.1 degrs, nous obtenons un ddoublement de priode dans la petite cellule: on observe en plus de la frquence <FONT FACE=symbol>w</FONT><SUB><FONT SIZE=2>0</FONT></SUB> d'oscillation une seconde frquence <FONT FACE=symbol>w</FONT><SUB><FONT SIZE=2>1</FONT></SUB> qui est la moiti de <FONT FACE=symbol>w</FONT><SUB><FONT SIZE=2>0</FONT></SUB>. De plus, le signal est de plus en plus modul par un signal basse frquence. Cette frquence <FONT FACE=symbol>w</FONT><SUB><FONT SIZE=2>1</FONT></SUB> disparat ensuite pour certaines valeurs de <FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I> et rapparat  d'autres valeurs. Pour des valeurs un peu plus leves de <FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I>, on peut avoir la disparition de la frquence moiti et prsence de frquences incommensurables avec la frquence principale ce qui est caractristique d'une transition vers le chaos. Il n'a cependant pas t rellement possible dans notre gamme de tempratures d'observer les frquences <FONT FACE=symbol>w</FONT><SUB><FONT SIZE=2>0</FONT></SUB>/4, <FONT FACE=symbol>w</FONT><SUB><FONT SIZE=2>0</FONT></SUB>/16, etc. ni le phnomne d'intermittences en raison de la difficult de ces observations lies aux frquences souvent trop basses pour faire voluer rapidement le systme entre ses divers rgimes. En revanche, nous observons trs clairement un enrichissement du spectre au fur et  mesure de l'augmentation du nombre de Rayleigh (on regardera les spectres obtenus). Le confinement de la cellule induit aussi des modes propres assez marqus et dont la cellule ne peut s'affranchir, ce qui explique que la frquence <FONT FACE=symbol>w</FONT><SUB><FONT SIZE=2>0</FONT></SUB> par exemple soit trs marque quelle que soit la temprature.<BLOCKQUOTE>  <DIV ALIGN=center> </DIV> <DIV ALIGN=center></DIV></BLOCKQUOTE>Notre frquence, de l'ordre du Herz est nettement plus rapide que celle que l'on obtient dans l'atmosphre et qui est de l'ordre du jour, ce qui permet de simuler l'atmoshre de faon nettement plus rapide.<BLOCKQUOTE><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2>    <table width="100%" border="0">      <tr>         <td>           <div align=center><a href="091.jpg"><img src="091.jpg" width="327" height="277" border="0"></a>             <br>          </div>          <div align=center>Figure 9: <font size=2>Spectre du signal pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>= 9.1</font><font size=2> : une seule frquence prsente </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub><font size=2>             gal  2Hz environ</font></div>        </td>        <td>           <div align=center><a href="096-2.jpg"><img src="096-2.jpg" width="329" height="279" border="0"></a>             <br>          </div>          <div align=center>Figure 10: <font size=2>Spectre du signal pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>= 9.6</font><font size=2> : modulation du signal par une basse             frquence</font></div>        </td>      </tr>      <tr>         <td>           <blockquote>             <div align=center></div>          </blockquote>          <blockquote>             <div align=center> <a href="101-2.jpg"><img src="101-2.jpg" width="303" height="257" border="0"></a>               <br>            </div>            <div align=center>Figure 11: <font size=2>Spectre du signal pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>               <i>T</i>= 10.1</font><font size=2> : prsence d'une frquence </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>1</font></sub><font size=2>               proche de </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub><font size=2>               / 2</font><font size=2> mais non commensurable  </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub></div>          </blockquote>        </td>        <td>           <div align=center><a href="102.jpg"><img src="102.jpg" width="303" height="257" border="0"></a>             <br>          </div>          <div align=center>Figure 12: <font size=2>Spectre du signal pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>= 10.2</font><font size=2> : prsence d'une frquence </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>1</font></sub><font size=2>             proche de </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub><font size=2>             / 2</font><font size=2> mais non commensurable  </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub><font size=2>.             Un pic  </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub><font size=2>             /2 </font><font size=2> est aussi prsent</font></div>        </td>      </tr>      <tr>         <td>           <div align=center><a href="103-2.jpg"><img src="103-2.jpg" width="349" height="296" border="0"></a>             <br>          </div>          <div align=center>Figure 13: <font size=2>Spectre du signal pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>= 10.3</font><font size=2> : calage de la frquence </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>1</font></sub><font size=2>             sur </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub><font size=2>             /2</font></div>        </td>        <td>           <div align=center><a href="107.jpg"><img src="107.jpg" width="318" height="269" border="0"></a>             <br>          </div>          <div align=center>Figure 14: <font size=2>Spectre du signal pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>= 10.7</font><font size=2> : disparition du signal </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub><font size=2>             / 2</font></div>        </td>      </tr>      <tr>         <td>           <div align=center><a href="110.jpg"><img src="110.jpg" width="316" height="268" border="0"></a>             <br>          </div>          <div align=center>Figure 15: <font size=2>Spectre du signal pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>= 11.0</font></div>        </td>        <td>           <div align=center><a href="139-2.jpg"><img src="139-2.jpg" width="320" height="271" border="0"></a>             <br>          </div>          <div align=center>Figure 16: <font size=2>Spectre du signal pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>= 13.9</font></div>        </td>      </tr>    </table>  </DIV> <BR>  <DIV ALIGN=center></DIV></BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE>  <DIV ALIGN=center> </DIV> <BR>  <DIV ALIGN=center></DIV></BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><BR>  <DIV ALIGN=center> </DIV></BLOCKQUOTE><H3>3.4&nbsp;&nbsp; Rsultats: divers</H3><!--SEC END -->Nous avons vrifi sur les phnomnes simples qu'il n'y avait pas d'hystrsis pour les seuils d'apparition de l'instabilit primaire et secondaire. En revanche il a t difficile par manque de temps d'tudier le phnomne d'hystrsis pour les transitions suivantes (qui rappelons-le n'ont pas t trs marques).<BLOCKQUOTE><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2>    <img src="movie7.8.jpg" width="350" height="233"><img src="movie10.6.jpg" width="353" height="233"></DIV>  <div align="center"><img src="12.5.jpg" width="332" height="233"><BR>    <BR>  </div>  <DIV ALIGN=center>Figure 17: <FONT SIZE=2>Aspects de la grande cellule pour </FONT><FONT SIZE=2><FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I>=7.8; 10.6 &nbsp; <I>et</I> &nbsp; 12.5</FONT></DIV>  <p>&nbsp;</p>  <p><BR>  </p>  <DIV ALIGN=center> </DIV></BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE>  <DIV ALIGN=center>     <table width="100%" border="0">      <tr>        <td>          <blockquote>            <div align=center></div>          </blockquote>          Il est en revanche trs utile de tracer les frquences des pics observs           dans le spectre en fonction de <font face=symbol>D</font> <i>T</i> et           nous avons ralis un <a href="prog.c">programme simple</a> charg de           dtecter les pics sur un graphe. Appliquant ce programme  nos tables           de donnes, nous avons pu tracer le graphe des frquences et des amplitudes           des oscillations en fonction de <font face=symbol>D</font> <i>T</i>.           Pour ce qui est de l'amplitude des oscillations, il et t prfrable           d'tudier plutt l'intgrale sous le pic (tel qu'on le fait en RMN),           mais la lourdeur des programmes que nous avions  notre disposition           n'a pas pu nous permettre de le faire. En outre, nous avons calcul           cette intgrale (avec la fonction integrate de Kaleidagraph) a confirm           qu'il n'tait pas rellement utile de calculer cette intgrale et que           l'on pouvait se contenter de l'amplitude seule du pic. </td>        <td>          <div align=center><a href="omega0.jpg"><img src="omega0.jpg" width="350" height="296" border="0"></a>             <br>          </div>          <div align=center>Figure 18: <font size=2>Valeur de la frquence principale             de l'oscillation fonction de </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i></font></div>        </td>      </tr>    </table>    <BR>  </DIV>  <DIV ALIGN=center></DIV></BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2>    <a href="omega.jpg"><img src="omega.jpg" width="348" height="295" border="0"></a>   </DIV> <BR><BR><DIV ALIGN=center>Figure 19: <FONT SIZE=2>Frquences des oscillations en fonction de </FONT><FONT SIZE=2><FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I></FONT><FONT SIZE=2> (petite cellule)</FONT></DIV><BR><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2></DIV></BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2>    <a href="omega_autre.jpg"><img src="omega_autre.jpg" width="356" height="302" border="0"></a>   </DIV> <BR><BR><DIV ALIGN=center>Figure 20: <FONT SIZE=2>Frquences des oscillations en fonction de </FONT><FONT SIZE=2><FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I></FONT><FONT SIZE=2> (grande cellule)</FONT></DIV><BR><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2></DIV></BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2>    <table width="100%" border="0">      <tr>        <td>          <div align="center"><a href="rapide.jpg"><img src="rapide.jpg" width="277" height="235" border="0"></a>             <br>            Figure 21: <font size=2>Frquences des oscillations pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i></font><font size=2> compris entre 13 et 15 (grande cellule)             lorsqu'on arrive rapidement aux valeurs leves du gradient</font>           </div>        </td>        <td>          <div align=center><a href="amplitude.jpg"><img src="amplitude.jpg" width="307" height="260" border="0"></a>             <br>          </div>          <div align=center>Figure 29: <font size=2>Amplitude des oscillations             en fonction de </font><font size=2><font face=symbol>D</font> <i>T</i></font><font size=2>.             On remarque que l'apparition de certaines frquences fait fortement             diminuer l'amplitude de l'oscillation principale (pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>=10.5</font><font size=2> environ)</font></div>        </td>      </tr>    </table>  </DIV> <BR><BR>  <DIV ALIGN=center></DIV>  <BR><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2></DIV></BLOCKQUOTE>Un autre graphe que nous avons pens intressant de tracer est celui reprsentant l'intensit d'un pixel fonction de sa drive. Ce graphe se prsente un peu comme un portrait de phase de l'oscillateur (analogie mcanique ou lectronique). Lorsque l'instabilit primaire stationnaire se dclenche, une seule frquence est prsente dans le milieu et le portrait de phase a le profil d'une ellipse. En revanche, lorsque l'instabilit grandit, de nouvelles frquences sont prsentes dans le milieu et le portrait de phase devient plus complexe.<BLOCKQUOTE><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2>    <table width="100%" border="0">      <tr>        <td>          <div align="center"><a href="91_phase.jpg"><img src="91_phase.jpg" width="307" height="260" border="0"></a><br>            Figure 22: <font size=2>Portrait de phase pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>= 9.1</font><font size=2> : une seule frquence prsente </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub><font size=2>             gal  2Hz environ</font></div>        </td>        <td>          <div align=center><a href="98_phase.jpg"><img src="98_phase.jpg" width="309" height="262" border="0"></a>           </div>          <br>          <br>          <div align=center>Figure 23: <font size=2>Portrait de phase pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>= 9.8</font><font size=2> : modulation du signal par une basse             frquence</font></div>        </td>      </tr>      <tr>        <td>          <blockquote>            <div align=center><a href="101_phase.jpg"><img src="101_phase.jpg" width="319" height="270" border="0"></a>               <br>            </div>          </blockquote>          <blockquote>             <div align=center>Figure 24: <font size=2>Portrait de phase pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>               <i>T</i>= 10.1</font><font size=2> : prsence d'une frquence </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>1</font></sub><font size=2>               proche de </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub><font size=2>               / 2</font><font size=2> mais non commensurable  </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub></div>          </blockquote></td>        <td>          <div align=center><a href="103_phase.jpg"><img src="103_phase.jpg" width="304" height="257" border="0"></a>             <br>          </div>          <div align=center>Figure 25: <font size=2>Portrait de phase pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>= 10.3</font><font size=2> : calage de la frquence </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>1</font></sub><font size=2>             sur </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub><font size=2>             /2</font></div>        </td>      </tr>      <tr>        <td>          <div align=center><a href="107_phase.jpg"><img src="107_phase.jpg" width="354" height="300" border="0"></a>           </div>          <div align=center>Figure 26: <font size=2>Portrait de phase pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>= 10.7</font><font size=2> : disparition du signal </font><font size=2><font face=symbol>w</font></font><sub><font size=2>0</font></sub><font size=2>             / 2</font></div>        </td>        <td>          <div align=center><a href="110_phase.jpg"><img src="110_phase.jpg" width="288" height="244" border="0"></a>             <br>          </div>          <div align=center>Figure 27: <font size=2>Portrait de phase pour </font><font size=2><font face=symbol>D</font>             <i>T</i>= 11.0</font></div>        </td>      </tr>    </table>  </DIV> <DIV ALIGN=center> <BR>  </DIV></BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE>  <DIV ALIGN=center></DIV></BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE>  <DIV ALIGN=center> </DIV> <DIV ALIGN=center></DIV></BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE>  <DIV ALIGN=center> </DIV> <DIV ALIGN=center></DIV></BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE>  <DIV ALIGN=center> </DIV> <BR>  <DIV ALIGN=center></DIV></BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE>  <DIV ALIGN=center> <a href="139_phase.jpg"><img src="139_phase.jpg" width="306" height="259" border="0"></a>     <BR>  </DIV> <DIV ALIGN=center>Figure 28: <FONT SIZE=2>Portrait de phase pour </FONT><FONT SIZE=2><FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I>= 13.9</FONT></DIV><BR>  <DIV ALIGN=center></DIV></BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE>  <DIV ALIGN=center> </DIV> <BR><DIV ALIGN=center><HR WIDTH="80%" SIZE=2></DIV></BLOCKQUOTE><!--TOC section Conclusion--><H2>4&nbsp;&nbsp; Conclusion</H2><!--SEC END -->Cette tude nous a permis d'aborder le chaos de faon exprimentale et nous a aussi familiaris  des phnomnes que nous ne connaissions auparavant qu'au travers d'quations ou de lectures d'articles. Le temps nous aura aussi manqu dans cette manipulation et mme si nous avons de nombreux rsultats, tous non pas pu tre interprts compltement peut tre aussi en raison de quelques difficults matrielles. Cela permet une ouverture pour les prochains lves qui manipuleront. Il reste aussi la connaissance de la rsistance chauffante qui aurait pu nous permettre de monter  des valeurs plus leves de <FONT FACE=symbol>D</FONT> <I>T</I> et nous aurait aussi permis de voir de faon plus dtaille les transitions vers le chaos.<!--TOC section Rfrences bibliographiques--><H2>5&nbsp;&nbsp; Rfrences bibliographiques</H2><!--SEC END -->En plus des trs nombreux sites internet qui traitent de la convection de Rayleigh Bnard, il est utile de mentionner les ouvrages avec lesquels nous avons travaills:<UL><LI> <I>Chaos et Dterminisme</I> sous la direction de A. Dalmedico, J.L. Chabert, K. Chemla, ed. Point<LI> <I>L'ordre dans le Chaos</I>, P. Berger, Y. Pomeau, C. Vidal, ed. Herman<LI> <I>Structures dynamiques, chaos et Turbulences</I>, P. Manneville, Ed. Ala-Saclay<LI> V. Croquette, Convective pattern dynamics at low Prandtl number: Part I, <I>Contemporary Physics</I>, 30, 1989, p 133-152<LI> V. Croquette, Convective pattern dynamics at low Prandtl number: Part II, <I>Contemporary Physics</I>, 30, 1989, p 153-171<LI> J.M Flesselles, V. Croquette, B. Janiaud, la Ronde des oscillateurs, <I>Pour la science</I>, dossier hors srie <I>Le Chaos</I>, janvier 1995</UL><!--BEGIN NOTES document--><HR WIDTH="50%" SIZE=1><DL>   <DT><!--END NOTES--> <!--HTMLFOOT--> <!--ENDHTML--> <!--FOOTER--> </DL><HR SIZE=2><BLOCKQUOTE><EM>This document was translated from L<sup>A</sup>T<sub>E</sub>X by</EM><A HREF="http://pauillac.inria.fr/~maranget/hevea/index.html"><EM>H</EM><EM><FONT SIZE=2><sup>E</sup></FONT></EM><EM>V</EM><EM><FONT SIZE=2><sup>E</sup></FONT></EM><EM>A</EM></A><EM>.</EM></BLOCKQUOTE></BODY><SCRIPT LANGUAGE="JavaScript" SRC="http://boiteaoutils.webdonline.com/fr/services/compteur/compteur.asp?id=180720"></SCRIPT></HTML> 
