<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 3.2 Final//EN">  <!--Converted with LaTeX2HTML 99.1 release (March 30, 1999) original version by:  Nikos Drakos, CBLU, University of Leeds * revised and updated by:  Marcus Hennecke, Ross Moore, Herb Swan * with significant contributions from:   Jens Lippmann, Marek Rouchal, Martin Wilck and others --> <HTML> <HEAD> <TITLE>Qu'est ce que le chaos pour un physicien ou un math&#233;maticien ?</TITLE> <META NAME="description" CONTENT="Qu'est ce que le chaos pour un physicien ou un math&#233;maticien ?"> <META NAME="keywords" CONTENT="chaos"> <META NAME="resource-type" CONTENT="document"> <META NAME="distribution" CONTENT="global"> <META HTTP-EQUIV="Content-Type" CONTENT="text/html; charset=iso-8859-1"> <META NAME="Generator" CONTENT="LaTeX2HTML v99.1 release"> <META HTTP-EQUIV="Content-Style-Type" CONTENT="text/css">  <LINK REL="STYLESHEET" HREF="chaos.css"> <LINK REL="next" HREF="node2.html"> <LINK REL="previous" HREF="chaos.html"> <LINK REL="up" HREF="chaos.html"> <LINK REL="next" HREF="node2.html"> <BASE HREF="http://www.phys.univ-tours.fr/pedagogie/Chaos/"> </HEAD>  <BODY BACKGROUND="bg1.gif"> <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html17"  HREF="node2.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next_motif.gif"></A>  <A NAME="tex2html15"  HREF="chaos.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up_motif.gif"></A>  <A NAME="tex2html9"  HREF="chaos.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="previous_motif.gif"></A>    <BR> <B> suivant:</B> <A NAME="tex2html18"  HREF="node2.html">Chaos en m&#233;canique quantique</A> <B> monter:</B> <A NAME="tex2html16"  HREF="chaos.html">Quelques mots sur le</A> <B> pr&eacute;c&eacute;dent:</B> <A NAME="tex2html10"  HREF="chaos.html">Quelques mots sur le</A> <BR> <BR> <!--End of Navigation Panel-->  <H1><A NAME="SECTION00010000000000000000"> Qu'est ce que le chaos pour  un physicien ou un math&#233;maticien ?</A> </H1>  <P> On dit qu'un syst&#232;me est chaotique lorsque son &#233;volution dans le temps est tellement sensible aux conditions initiales que l'on ne peut  pr&#233;dire exactement dans quel &#233;tat il  va se trouver  si l'on attend trop longtemps. L'atmosph&#232;re terrestre en est un exemple quotidien.  C'est parce que  sa dynamique est chaotique que les m&#233;t&#233;orologues ont tant de mal &#224; faire des pr&#233;visions convenables au del&#224; d'une petite semaine. M&#234;me si l'on connaissait parfaitement les &#233;quations qui gouvernent l'atmosph&#232;re -- ce qui est loin d'&#234;tre le cas puisque de nombreux effets tr&#232;s complexes  rentrent ici en jeu (influence de la r&#233;verb&#233;ration  des nuages, des courants oc&#233;aniens, voire de l'activit&#233; solaire, etc.) -- l'impr&#233;cision in&#233;vitable  des mesures pour d&#233;terminer,  par exemple, la vitesse des vents ou la temp&#233;rature en chaque point du globe (d'ailleurs les stations m&#233;t&#233;orologiques charg&#233;es de faire  automatiquement ces mesures ne sont pas si nombreuses) font qu'il existera toujours une grande incertitude sur l'&#233;volution ult&#233;rieure de la m&#233;t&#233;o. Bien s&#251;r,  on peut n&#233;anmoins faire des statistiques et avoir une connaissance moyenne sur l'&#233;tat de  l'atmosph&#232;re &#224; long terme. On sait aussi que de grandes tendances se  d&#233;gagent : il est a peu pr&#232;s certain qu'il ne neigera pas sur Tours en  juillet 2064. En revanche, pr&#233;dire le temps dans le d&#233;tail ne serait-ce que quelques semaines &#224; l'avance n&#233;cessiterait en principe la connaissance de la vitesse de l'air en chaque point s&#233;par&#233;  de quelques centim&#232;tres ! C'est le fameux &lt;&lt; effet papillon &gt;&gt; : le  battement d'une aile de papillon sur le campus de Grandmont est susceptible  de provoquer au bout de quelques mois une temp&#234;te tropicale sur Singapour.  <P> Il n'est pas indispensable d'avoir un syst&#232;me aussi complexe que  l'atmosph&#232;re pour avoir du chaos. Il existe des exemples beaucoup plus  simples, dont les &#233;quations d'&#233;volution sont parfaitement connues (par exemple en &#233;crivant la relation fondamentale  de la dynamique), et qui restent n&#233;anmoins tr&#232;s sensibles  aux conditions initiales. Historiquement, le premier cas de  comportement chaotique a &#233;t&#233; mis en &#233;vidence par  H<SMALL>ENRI </SMALL>P<SMALL>OINCAR&#201;</SMALL>  il y a un si&#232;cle. On savait alors   r&#233;soudre les &#233;quations du mouvement de deux corps c&#233;lestes s'attirant par la gravitation ce qui permettait de comprendre avec une bonne approximation  la forme elliptique des orbites des plan&#232;tes autour du Soleil, les trajectoires hyperboliques de certaines com&#232;tes, etc. Pour avoir de meilleures  pr&#233;dictions, il fallait cependant inclure l'influence gravitationnelle des plan&#232;tes entre elles c'est &#224; dire &#233;tudier la dynamique non plus  de deux corps consid&#233;r&#233;s comme isol&#233;s du reste du syst&#232;me solaire mais d'un plus grand nombre de corps <I>&#224; la fois</I>.  Poincar&#233; a d&#233;montr&#233; l'impossibilit&#233; de pr&#233;dire &#224; long terme la position de trois corps en interaction gravitationnelle comme le syst&#232;me Soleil, Terre, Lune. Une petite incertitude sur la mesure de la vitesse et de la position  de ces derniers &#224; un instant donn&#233; peut se r&#233;percuter de fa&#231;on  dramatique sur la pr&#233;diction de  leur &#233;volution  dans quelques millions d'ann&#233;es. M&#234;me si l'influence des autres plan&#232;tes &#233;tait n&#233;gligeable  on est incapable de pr&#233;dire  quand,  par exemple, la Lune sera &#233;ject&#233;e  du syst&#232;me solaire mais d'un autre cot&#233; on est &#224; peu pr&#232;s certain qu'elle le sera.   <P> De fa&#231;on  g&#233;n&#233;rale, pour d&#233;terminer les  trajectoires des particules d'un syst&#232;me, il ne suffit  pas de conna&#238;tre leurs &#233;quations du mouvement  mais encore faut-il conna&#238;tre les conditions initiales (position et vitesse  de chaque particule). Physiquement il existe toujours une petite incertitude sur ces derni&#232;res due &#224; l'impr&#233;cision des mesures. Dans des syst&#232;mes non chaotiques (on les appelle syst&#232;mes r&#233;guliers) une petite erreur n'a que peu d'influence sur le mouvement alors qu'au contraire  dans les syst&#232;mes chaotiques, par d&#233;finition, une petite cause peut avoir de grands effets. Typiquement dans un syst&#232;me r&#233;gulier deux trajectoires s&#233;par&#233;es initialement  d'une petite distance&nbsp;<IMG  WIDTH="30" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img1.gif"  ALT="$\delta x_0$"> seront s&#233;par&#233;es au bout d'une  dur&#233;e&nbsp;<IMG  WIDTH="11" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img2.gif"  ALT="$t$"> de&nbsp; <!-- MATH  $\delta x\simeq k\,t\,\delta x_0$  --> <IMG  WIDTH="94" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img3.gif"  ALT="$\delta x\simeq k\,t\,\delta x_0$">  o&#249; <IMG  WIDTH="14" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img4.gif"  ALT="$k$"> est une constante de proportionnalit&#233; d&#233;pendant du syst&#232;me. Les trajectoires se s&#233;parent de mani&#232;re proportionnelle au temps. En revanche  dans un syst&#232;me chaotique on  aura&nbsp; <!-- MATH  $\delta x\simeq \delta x_0\,{ \mbox{\large e}^{\raisebox{.3ex}{$\scriptscriptstyle t/T$}}}$  --> <IMG  WIDTH="103" HEIGHT="39" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img5.gif"  ALT="$\delta x\simeq \delta x_0\,{ \mbox{\large e}^{\raisebox{.3ex}{$\scriptscriptstyle t/T$}}}$">. La constante&nbsp;<IMG  WIDTH="17" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img6.gif"  ALT="$T$"> &#233;tant positive  la s&#233;paration des trajectoires sera beaucoup plus rapide que  dans le cas pr&#233;c&#233;dent. M&#234;me si <IMG  WIDTH="30" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0"  SRC="img1.gif"  ALT="$\delta x_0$"> est petit&nbsp;<IMG  WIDTH="23" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img7.gif"  ALT="$\delta x$">  cro&#238;t de fa&#231;on exponentielle et les pr&#233;dictions deviennent vite impossibles au bout de quelques&nbsp;<IMG  WIDTH="17" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0"  SRC="img6.gif"  ALT="$T$">.   <P>  <P></P> <DIV ALIGN="LEFT"><A NAME="121"></A> <TABLE> <CAPTION ALIGN="BOTTOM"><STRONG>Figure 1:</STRONG> </CAPTION> <TR><TD><IMG  WIDTH="748" HEIGHT="208" BORDER="0"  SRC="img8.gif"  ALT="\begin{figure} \begin{flushleft} %\epsffile {cq_deug_bis.eps}%\setlength {\... ...\updefault}\'evolution r\'eguli\\lq ere}}} \end{picture}\end{flushleft}\end{figure}"></TD></TR> </TABLE> </DIV><P></P>  <P> Pour ces raisons on ne peut pas &#233;crire de fa&#231;on explicite  la solution g&#233;n&#233;rale des &#233;quations du mouvement comme on le fait pour une particule libre, un oscillateur harmonique (masse attach&#233;e &#224; un ressort) ou encore pour deux corps en attraction gravitationnelle. Il n'existe pas pour trois corps l'analogue des lois de Kepler. Ces derni&#232;res ne sont qu'approch&#233;es au lieu d'&#234;tre exactes.  C'est pourquoi au niveau des premi&#232;res ann&#233;es universitaires, les  &#233;tudiants de m&#233;canique ne rencontrent pratiquement que des syst&#232;mes r&#233;guliers.  <P> Pourtant ces derniers sont largement exceptionnels et si l'on prend un  syst&#232;me &lt;&lt; au hasard &gt;&gt;, il a toutes les chances d'&#234;tre chaotique. Depuis P<SMALL>OINCAR&#201;</SMALL>, la recherche sur ces syst&#232;mes  s'est tr&#232;s fortement d&#233;velopp&#233;e surtout depuis l'av&#232;nement  de l'informatique qui est souvent le seul recours pour  calculer des trajectoires complexes. Quasiment l'ensemble des domaines scientifiques (biologie, chimie, &#233;conomie, informatique, math&#233;matiques, physique)   a &#233;t&#233; impliqu&#233; dans l'&#233;tude du chaos. Il a fallu comprendre les conditions dans lesquelles il appara&#238;t ou au contraire dans lesquelles  il peut  &#234;tre n&#233;glig&#233;, quels syst&#232;mes sont v&#233;ritablement concern&#233;s  et quelles sont les cons&#233;quences de la pr&#233;sence du chaos. On a pu &#233;galement  trouver des points communs entre syst&#232;mes n'ayant a priori rien avoir les uns avec les  autres. On a aussi appris a mieux ma&#238;triser les  approximations, &#224; d&#233;velopper des approches probabilistes, bref &#224; ordonner ce qui pouvait au d&#233;part ressembler &#224; du d&#233;sordre inextricable.  <P> <HR> <!--Navigation Panel--> <A NAME="tex2html17"  HREF="node2.html"> <IMG WIDTH="37" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="next" SRC="next_motif.gif"></A>  <A NAME="tex2html15"  HREF="chaos.html"> <IMG WIDTH="26" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="up" SRC="up_motif.gif"></A>  <A NAME="tex2html9"  HREF="chaos.html"> <IMG WIDTH="63" HEIGHT="24" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" ALT="previous" SRC="previous_motif.gif"></A>    <BR> <B> suivant:</B> <A NAME="tex2html18"  HREF="node2.html">Chaos en m&#233;canique quantique</A> <B> monter:</B> <A NAME="tex2html16"  HREF="chaos.html">Quelques mots sur le</A> <B> pr&eacute;c&eacute;dent:</B> <A NAME="tex2html10"  HREF="chaos.html">Quelques mots sur le</A> <!--End of Navigation Panel--> <ADDRESS> <I>A. Mouchet</I> <BR><I>2001-01-25</I> </ADDRESS> </BODY> </HTML> 
