<HTML> <HEAD>    <BASE TARGET=principal>    <TITLE>Cylindre droit et c&ocirc;ne droit</TITLE> <script language="JavaScript">function ouvreFenetre(pour)      {      if (pour=="point")      	{      	fpoint=open("applet_translation_point.html","","height=500,resizable=yes,scrollbars=yes,width=550");      	}      else if (pour=="figure")      		{      		ffig=open("applet_translation_figure.html","","height=500,resizable=yes,scrollbars=yes,width=550");      		}      else if (pour=="cercle")      		{      		fcercle=open("applet_translation_cercle.html","","height=500,resizable=yes,scrollbars=yes,width=550");      		}      else if (pour=="angle")      		{fangle=open("applet_translation_angle.html","","height=500,resizable=yes,scrollbars=yes,width=550");      		}      	}</script> </HEAD> <BODY BACKGROUND="../PageRay.gif"> <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD WIDTH=130>          <P><IMG SRC="../logothem.gif" WIDTH=118 HEIGHT=84 ALIGN=bottom></P>       </TD>       <TD VALIGN=top WIDTH=465>          <CENTER><B><A NAME=haut></A><A NAME="debut_de_page"></A>Th&egrave;me          n&#176;06 B</B>                    <P><B>Des solides de r&eacute;volution: le cylindre droit et          le c&ocirc;ne droit</B></P></CENTER>       </TD>    </TR> </TABLE>  <P><TABLE BORDER=0 WIDTH=550>    <TR>       <TD VALIGN=top WIDTH=80 HEIGHT=194>          <CENTER><A HREF="../../themes.html#th06" TARGET=principal><IMG SRC="../pred.gif" WIDTH=53 HEIGHT=36 BORDER=0 ALIGN=middle></A>                    <P><FONT COLOR="#AF0000"><B>Th&egrave;me 06</B></FONT></P>                    <P><FONT COLOR="#AF0000"><B>B</B></FONT></P></CENTER>       </TD>       <TD VALIGN=top WIDTH=180 HEIGHT=194>          <BLOCKQUOTE><A HREF="#intro" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Introduction</FONT></A>                          <P><A HREF="#cylindre" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Le             cylindre droit:</FONT></A></P>                          <UL>                <LI><A HREF="#defcyl" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">D&eacute;finition.</FONT></A></LI>                                <LI><A HREF="#propcyl" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Propri&eacute;t&eacute;s.</FONT></A></LI>                                <LI><A HREF="#patroncyl" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Patron.</FONT></A></LI>                                <LI><A HREF="#sectioncyl" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Sections                planes.</FONT></A></LI>                                <LI><A HREF="#formulecyl" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Formules.</FONT></A></LI>             </UL>          </BLOCKQUOTE>                    <P>&nbsp;</P>                    <P></P>       </TD>       <TD VALIGN=top WIDTH=270 HEIGHT=194>          <P><A HREF="#cone" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Le          c&ocirc;ne de r&eacute;volution:</FONT></A></P>                    <UL>             <LI><A HREF="#defcone" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">D&eacute;finition.</FONT></A></LI>                          <LI><A HREF="#propcone" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Propri&eacute;t&eacute;s.</FONT></A></LI>                          <LI><A HREF="#patroncone" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Patron.</FONT></A></LI>                          <LI><A HREF="#sectioncone" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Sections             planes.</FONT></A>                          <UL>                <LI><A HREF="#section_par_base" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Parall&eacute;lement                &agrave; la base.</FONT></A></LI>                                <LI><A HREF="#section_axe" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Passant                par l'axe de sym&eacute;trie.</FONT></A></LI>                                <LI><A HREF="#section_par_axe" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Parall&egrave;lement                &agrave; l'axe de sym&eacute;trie</FONT></A></LI>             </UL>             </LI>                          <LI><A HREF="#formulecone" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Formules.</FONT></A></LI>          </UL>       </TD>    </TR>    <TR>       <TD WIDTH=80>          <P><IMG SRC="../../images/espace.gif" WIDTH=73 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></P>       </TD>       <TD WIDTH=180>          <BLOCKQUOTE><A HREF="#exo" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">Exercices:</FONT></A><FONT SIZE="-1">             </FONT><A HREF="#ex1" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">01</FONT></A><FONT SIZE="-1">             </FONT><A HREF="#ex2" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">02</FONT></A><FONT SIZE="-1">             </FONT><A HREF="#ex3" TARGET=principal><FONT SIZE="-1">03</FONT></A></BLOCKQUOTE>       </TD>       <TD WIDTH=270>          <P><IMG SRC="../../images/espace.gif" WIDTH=73 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></P>       </TD>    </TR> </TABLE> </P></CENTER>  <P><A NAME=intro></A><B><U>Introduction:</U></B></P>  <BLOCKQUOTE><CENTER><B><TABLE BORDER=0 WIDTH=400>       <TR>          <TD>             <P><FONT SIZE="-1">Ceux qui arrivent ici pour la             premi&egrave;re fois (ou qui ont oubli&eacute; son             contenu...) doivent prendre connaissance des             </FONT><A HREF="../th_infos.html" TARGET=aide><FONT SIZE="-1">informations</FONT></A><FONT SIZE="-1">             donn&eacute;es pour le bon usage de ce qui             suit.</FONT></P>          </TD>       </TR>    </TABLE>     </B></CENTER>        <P>Les cylindres droits et les c&ocirc;nes droits sont des solides    de r&eacute;volution. Je vous invite &agrave; voir dans le    <A HREF="../../rep/revol.html" TARGET=aide>R&eacute;pertoire</A>    la signification du terme "r&eacute;volution" en    g&eacute;om&eacute;trie.</P>        <P>Ce document est compos&eacute;, pour l'essentiel, de deux    &eacute;tudes pr&eacute;sent&eacute;es dans le R&eacute;pertoire    sur les cylindres et les c&ocirc;nes droits. Ces &eacute;tudes    sont pr&eacute;sent&eacute;es ici, ensemble, pour plus de    commodit&eacute;.</P></BLOCKQUOTE>  <P><A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></B></A><B><A NAME=cylindre></A><A NAME=defcyl></A></B></P>  <P><B><U>Le cylindre droit:</U></B></P>  <BLOCKQUOTE><FONT COLOR="#000000"><B>D&eacute;finitions</B>:</FONT>        <P>Le cylindre droit est engendr&eacute; par la r&eacute;volution    d'une ligne polygonale O<SUB>1</SUB>ABO<SUB>2</SUB> ( le profil)    telle que les angles en A et B soient droits. L'axe de    r&eacute;volution est la droite (O<SUB>1</SUB>O<SUB>2</SUB>).</P>        <CENTER><I>&nbsp;<IMG SRC="../../rep/images/revol05.gif" WIDTH=453 HEIGHT=168 ALIGN=bottom></I></CENTER>        <P><B><I>fig 1: </I></B>Repr&eacute;sentation du profil en rouge    et de l'axe de r&eacute;volution en vert<B>&nbsp;.</B></P>        <P><B><I>fig 2: </I></B>Vue de dessous. Dessin&eacute;es en    pointill&eacute;s, quelques positions du profil sont    repr&eacute;sent&eacute;es. La rotation autour de l'axe    (O<SUB>1</SUB>O<SUB>2</SUB>) se fait ici, dans le sens des    aiguilles d'une montre (indiqu&eacute; par une petite    fl&egrave;che rouge).</P>        <P><B><I>fig 3:</I></B> Le cylindre est repr&eacute;sent&eacute;    par 14 positions du profil. Les faces ont &eacute;t&eacute;    constitu&eacute;es par des petits morceaux de plan (facettes).</P>        <P><B><I>fig 4:</I></B> Toutes les positions du profil ont    &eacute;t&eacute; repr&eacute;sent&eacute;es. Comme il y en a une    infinit&eacute;, les <FONT COLOR="#AF0000"><B>3 faces</B></FONT>    du cylindre sont chacune en un seul morceau.</P>        <BLOCKQUOTE><I><U>Remarques:</U></I></BLOCKQUOTE>        <P>Au lieu de prendre la ligne polygonale    O<SUB>1</SUB>ABO<SUB>2</SUB> nous pouvons n'utiliser que le    segment &#91;AB&#93; (profil g&eacute;n&eacute;rateur). Dans ce    cas nous obtenons un cylindre droit sans mat&eacute;rialisation    les bases (il s'agit d'un tube droit).<BR>    Le profil est appel&eacute;    <FONT COLOR="#AF0000"><B>g&eacute;n&eacute;ratrice.</B></FONT></P>        <P><A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A><B><A NAME=propcyl></A></B></P>        <P><B>Propri&eacute;t&eacute;s:</B></P>        <P>Le cylindre droit poss&egrave;de 3 faces:</P>        <BLOCKQUOTE>- deux faces de base qui sont des disques de centre       O<SUB>1</SUB> et O<SUB>2</SUB> et de m&ecirc;me rayon R qui est       le rayon du cylindre droit.              <P>- une face lat&eacute;rale dont la longueur est le       p&eacute;rim&egrave;tre commun aux disques de base, et la       largeur, la hauteur AB (ou O<SUB>1</SUB>O<SUB>2 </SUB>) du       cylindre droit.</P></BLOCKQUOTE>        <P>Par construction, l'axe autour duquel tourne le profil est    <A HREF="../../rep/symo.html" TARGET=aide>un axe de    sym&eacute;trie</A> pour le cylindre droit</P>        <P><A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A><B><A NAME=patroncyl></A></B></P>        <P><B>Patron:</B></P>        <P>Un patron est une figure dessin&eacute;e sur un plan. Elle    permet de fa&ccedil;onner un objet qui repr&eacute;sente le solide    dans l'espace.</P>        <P>Les deux premi&egrave;res figures ci-dessous essaient de    repr&eacute;senter le "d&eacute;pliage" du cylindre droit en    utilisant la <A HREF="../../rep/persp.html" TARGET=aide>perspective    cavali&egrave;re</A>. La troisi&egrave;me figure repr&eacute;sente    le patron d'un cylindre droit.</P>        <BLOCKQUOTE><I>Exercice: </I>construire le patron du cylindre       droit de rayon 2cm et de hauteur 4cm (dans ce cas AA' mesure       2.pi.2 soient 12,6cm environ). Ne pas oublier une languette le       long de &#91;AB&#93; pour le collage (deux filets de colle       rapide sur les bords &#91;AA'&#93; et &#91;BB'&#93; devraient       suffire pour la fixation des deux disques).</BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <CENTER><B><IMG SRC="../../rep/images/revol06.gif" WIDTH=388 HEIGHT=178 ALIGN=bottom></B></CENTER>  <BLOCKQUOTE><A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A><B><A NAME=sectioncyl></A></B>        <P><B>Sections planes:</B></P>        <P>Une section plane d'un cylindre est obtenue en coupant le    cylindre &agrave; l'aide d'un plan. Sur les figures de ce    chapitre, le plan utilis&eacute; est repr&eacute;sent&eacute; par    un parall&eacute;logramme colori&eacute; en gris afin de donner    une impression de relief. Les lignes cach&eacute;es sont    repr&eacute;sent&eacute;es en pointill&eacute;s.</P>        <BLOCKQUOTE><I>- </I><B><I>parall&egrave;lement aux bases:</I></B></BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <CENTER><B><I>&nbsp;</I></B><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD>          <P>La section d'un cylindre droit par un plan          parall&egrave;lement aux bases est un disque (cercle si le          cylindre est vide=tube) de m&ecirc;me rayon que les disques          de base et dont le centre se trouve sur l'axe de          sym&eacute;trie (O<SUB>1</SUB>O<SUB>2</SUB>).</P>       </TD>       <TD WIDTH=250>          <CENTER><IMG SRC="../../rep/images/revol07.gif" WIDTH=245 HEIGHT=146 ALIGN=bottom></CENTER>       </TD>    </TR> </TABLE> </CENTER>  <BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><B><I>-passant par l'axe de       sym&eacute;trie:</I></B></BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD>          <P>La section d'un cylindre droit par un plan passant par          l'axe de sym&eacute;trie est un rectangle dont la longueur          est la hauteur du cylindre et dont la largeur est le          diam&egrave;tre du cylindre.</P>       </TD>       <TD WIDTH=250>          <CENTER><IMG SRC="../../rep/images/revol08.gif" WIDTH=199 HEIGHT=187 ALIGN=bottom></CENTER>       </TD>    </TR> </TABLE> </CENTER>  <BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><B><I>-parall&egrave;lement &agrave; l'axe de       sym&eacute;trie:</I></B></BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD>          <P>La section d'un cylindre droit par un plan          parall&egrave;lement &agrave; l'axe de sym&eacute;trie est          un rectangle dont la longueur est la hauteur du cylindre et          dont la largeur est plus petite que le diam&egrave;tre du          cylindre.</P>                    <P>Le calcul de cette largeur se fait en calculant la          longueur de la corde &#91;AA'&#93; dans le disque de centre          O<SUB>1</SUB>.</P>       </TD>       <TD WIDTH=250>          <CENTER><IMG SRC="../../rep/images/revol09.gif" WIDTH=170 HEIGHT=180 ALIGN=bottom></CENTER>       </TD>    </TR> </TABLE>  Par exemple: (en supposant que le rayon des bases soit connu)</CENTER>  <BLOCKQUOTE>-prolonger (AO<SUB>1</SUB>) pour recouper le disque en un    point I . Le triangle AIA' est rectangle en A' (<A HREF="../../rep/triang.html#obtenu" TARGET=aide>pourquoi?</A>).    Selon les donn&eacute;es, utiliser <A HREF="../../rep/angle.html#cos" TARGET=aide>le    cosinus</A> de l'un des angles aigus de AIA' ou <A HREF="../../rep/triang.html#pyth" TARGET=aide>le    th&eacute;or&egrave;me de Pythagore</A>.        <P>-Si vous connaissez la distance du point O<SUB>1</SUB> &agrave;    la corde &#91;AA'&#93; alors il vaut mieux utiliser la <A HREF="../../rep/dmed.html#cas" TARGET=aide>m&eacute;diatrice</A>    de &#91;AA'&#93; (cette m&eacute;diatrice passe par le milieu de    la corde et par le centre O<SUB>1 </SUB>du disque).</P>        <P><A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A><B><A NAME=formulecyl></A></B></P>        <P><B>Formules:</B></P>        <BLOCKQUOTE><FONT COLOR="#AF0000"><B><I>aire       lat&eacute;rale=2.pi.R.h</I></B></FONT> (ou       <FONT COLOR="#AF0000"><B><I>R</I></B></FONT> est le rayon des       disques de base et <FONT COLOR="#AF0000"><B><I>h</I></B></FONT>       la hauteur du cylindre).              <P><B><I>aire totale=2.pi.R<SUP>2</SUP>+2.pi.R.h </I></B>(somme       des deux aires de base et de l'aire lat&eacute;rale)</P>              <P>ou, apr&egrave;s factorisation:       <FONT COLOR="#AF0000"><B><I>aire       totale=2.pi.R.(R+h)</I></B></FONT></P>              <P><FONT COLOR="#AF0000"><B><I>volume=pi.R<SUP>2</SUP>.h       </I></B></FONT><FONT COLOR="#000000">(produit de l'aire de la       base par la hauteur du cylindre)</FONT></P></BLOCKQUOTE>        <P><A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A><B><A NAME=cone></A><A NAME=defcone></A></B></P></BLOCKQUOTE>  <P><B><U>Les c&ocirc;nes de r&eacute;volution:&nbsp;</U></B></P>  <BLOCKQUOTE><FONT COLOR="#000000"><B>D&eacute;finitions</B>:</FONT>        <P>Le c&ocirc;ne droit est engendr&eacute; par la    r&eacute;volution d'une ligne polygonale SAO ( le profil) telle    que l' angle en SOA est droit, autour de (SO). L'axe de    r&eacute;volution est la droite (SO).</P></BLOCKQUOTE>  <CENTER><IMG SRC="../../rep/images/revol10.gif" WIDTH=339 HEIGHT=150 ALIGN=bottom></CENTER>  <BLOCKQUOTE><B><I>fig 1: </I></B>Repr&eacute;sentation du profil en    noir et de l'axe de r&eacute;volution en vert<B>&nbsp;.</B>        <P><B><I>fig 2: </I></B>Vue de dessous. Dessin&eacute;es en    pointill&eacute;s, quelques positions du profil sont    repr&eacute;sent&eacute;es. La rotation autour de l'axe (SO) se    fait ici, dans le sens des aiguilles d'une montre (indiqu&eacute;    par une petite fl&egrave;che rouge).</P>        <P><B><I>fig 3:</I></B> Le c&ocirc;ne est repr&eacute;sent&eacute;    par 16 positions du profil. Les faces ont &eacute;t&eacute;    constitu&eacute;es par des petits morceaux de plan (facettes).</P>        <P><B><I>fig 4:</I></B> Toutes les positions du profil ont    &eacute;t&eacute; repr&eacute;sent&eacute;es. Comme il y en a une    infinit&eacute;, les <FONT COLOR="#AF0000"><B>2 faces</B></FONT>    du cylindre sont chacune en un seul morceau.</P>        <BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><I>Remarques:</I></BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>        <P>-Au lieu de prendre la ligne polygonale SAO nous pouvons    n'utiliser que le segment &#91;SA&#93; (profil    g&eacute;n&eacute;rateur). Le point A d&eacute;crit un cercle de    centre O et de rayon OA. Dans ce cas nous obtenons un c&ocirc;ne    droit sans mat&eacute;rialisation de la base (il s'agit d'un    cornet droit).<BR>    -La partie &#91;AO&#93; du profil d&eacute;crit un disque de    centre O et de rayon OA.<BR>    -L'axe de rotation est <A HREF="../../rep/space.html#dplanper" TARGET=aide>perpendiculaire    au plan</A> engendr&eacute; par la droite (OA).<BR>    -Le profil est appel&eacute;    <FONT COLOR="#AF0000"><B>g&eacute;n&eacute;ratrice.</B></FONT></P>        <P><A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A><A HREF="#haut" TARGET=aide><B><A NAME=propcone></A></B></A></P>        <P><B>Propri&eacute;t&eacute;s:</B></P>        <P>Le c&ocirc;ne droit poss&egrave;de 2 faces:</P>        <BLOCKQUOTE>-Une face de base: disque (ou cercle) dont le centre O       est sur l'axe de r&eacute;volution (axe autour duquel tourne le       profil ou g&eacute;n&eacute;ratrice) et de rayon R.              <P>-Une face lat&eacute;rale dont la forme       d&eacute;velopp&eacute;e (vue &agrave; plat) est       &eacute;tudi&eacute;e au paragraphe <A HREF="#patroncone" TARGET=principal>Patron</A>.</P></BLOCKQUOTE>        <P>Par construction, l'axe (SO) autour duquel tourne le profil est    <A HREF="../../rep/symo.html" TARGET=aide>un axe de    sym&eacute;trie</A> pour le c&ocirc;ne droit.</P>        <P>L'axe (SO) est perpendiculaire au plan de la base.</P>        <P><A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A><B><A NAME=patroncone></A></B></P>        <P><B>Patron:</B></P>        <P>Un patron est une figure dessin&eacute;e sur un plan. Elle    permet de fa&ccedil;onner un objet qui repr&eacute;sente le solide    dans l'espace.</P>        <P>Les trois premi&egrave;res figures ci-dessous essaient de    repr&eacute;senter le "d&eacute;pliage" du c&ocirc;ne droit en    utilisant la <A HREF="../../rep/persp.html" TARGET=aide>perspective    cavali&egrave;re</A>. La quatri&egrave;me figure repr&eacute;sente    le patron d'un c&ocirc;ne droit.</P></BLOCKQUOTE>  <CENTER><IMG SRC="../../rep/images/revol11.gif" WIDTH=447 HEIGHT=136 ALIGN=bottom></CENTER>  <BLOCKQUOTE><B><I>Exercice: </I></B>construire le patron du    c&ocirc;ne droit dont la g&eacute;n&eacute;ratrice SAO est    compos&eacute;e du segment &#91;SA&#93; de longueur 6cm et du    segment &#91;OA&#93; (rayon de la base) de longueur 2cm. Ne pas    oublier une languette le long de &#91;SA&#93; pour le collage    (deux filets de colle rapide sur l'arc &#91;AA'&#93; devraient    suffire pour la fixation du disque).        <P><B><I>Calculs:</I></B> le patron est constitu&eacute; d'un    disque de rayon r=2cm et d'un secteur de disque de rayon R=SA=6cm.    Ce qu'il faut calculer c'est l'<A HREF="../../rep/angle.html#part2" TARGET=aide>angle    au centre</A> ASA' (<B>Attention:</B> cet angle est    diff&eacute;rent de l'<FONT COLOR="#FF0000"><I>angle au    sommet</I></FONT> du c&ocirc;ne: <A HREF="#section_axe" TARGET=principal>voir    plus loin</A>).</P></BLOCKQUOTE>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD WIDTH=189>          <CENTER><TABLE BORDER=1 WIDTH=140>             <TR>                <TD WIDTH=70>                   <CENTER>Angle                                      <P>au</P>                                      <P>centre(&#176;)</P></CENTER>                </TD>                <TD WIDTH=70>                   <CENTER>Longueur                                      <P>de</P>                                      <P>l'arc(cm)</P></CENTER>                </TD>             </TR>             <TR>                <TD WIDTH=70>                   <CENTER>360</CENTER>                </TD>                <TD WIDTH=70>                   <CENTER>2.pi.R</CENTER>                </TD>             </TR>             <TR>                <TD WIDTH=70>                   <CENTER>a</CENTER>                </TD>                <TD WIDTH=70>                   <CENTER>2.pi.r</CENTER>                </TD>             </TR>          </TABLE>                    <P><IMG SRC="../../rep/images/revol12.gif" WIDTH=141 HEIGHT=148 ALIGN=bottom></P>                    <P>Figure &agrave; l'&eacute;chelle 1/2</P></CENTER>       </TD>       <TD>          <P>Si nous gardions tout le disque de rayon R l'angle au          centre aurait pour mesure          <FONT COLOR="#AF0000"><B>360&#176;</B></FONT> et le          p&eacute;rim&egrave;tre serait          <FONT COLOR="#AF0000"><B>2.pi.R</B></FONT>. Nous ne gardons          que le secteur d'angle au centre de mesure inconnue          <FONT COLOR="#AF0000"><B>a</B></FONT> et dont la longueur de          l'arc est &eacute;gale au p&eacute;rim&egrave;tre du disque          de base <FONT COLOR="#AF0000"><B>2.pi.r          </B></FONT><FONT COLOR="#000000">(comme le bord du disque          doit &ecirc;tre coll&eacute; sur le bord du secteur il faut          qu'ils aient la m&ecirc;me longueur). Il s'agit d'un calcul          de </FONT><A HREF="../../rep/prop.html" TARGET=aide>proportionnalit&eacute;</A><FONT COLOR="#000000">:          la longueur du bord du secteur (appel&eacute;          </FONT><A HREF="../../rep/cercle.html#longarc" TARGET=aide>arc          de cercle</A><FONT COLOR="#000000">) est proportionnelle          &agrave; l'angle au centre qui sous-tend cet arc.</FONT></P>                    <P>Utilisons l'&eacute;galit&eacute; des <A HREF="../../rep/prop.html#croix" TARGET=aide>produits          en croix</A>:</P>                    <CENTER>a.2.pi.R=2.pi.r.360</CENTER>                    <P>En multipliant les deux membres de cette          &eacute;galit&eacute; par l'inverse de 2.pi.R (c'est          &agrave; dire par 1/2.pi.R: voir <A HREF="../../rep/equa.html" TARGET=aide>r&eacute;solution          des &eacute;quations</A>) nous obtenons:</P>                    <CENTER>a=(2.pi.r.360)/(2.pi.R)</CENTER>                    <P>Apr&egrave;s simplification par 2.pi:</P>                    <CENTER>a=r.360/R ou          <FONT COLOR="#AF0000"><B>a=360.r/R</B></FONT></CENTER>                    <P><FONT COLOR="#000000">Avec les donn&eacute;es de notre          exemple, l'angle au centre est 360.2/6 soit          120&#176;.</FONT></P>       </TD>    </TR> </TABLE> </CENTER>  <BLOCKQUOTE><A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A><B><A NAME=sectioncone></A></B>        <P><B>Sections planes:</B></P>        <P>Une section plane d'un c&ocirc;ne est obtenue en coupant le    c&ocirc;ne &agrave; l'aide d'un plan. Sur les figures de ce    chapitre, le plan utilis&eacute; est repr&eacute;sent&eacute; par    un parall&eacute;logramme colori&eacute; en gris afin de donner    une impression de relief. Les lignes cach&eacute;es sont    repr&eacute;sent&eacute;es en    pointill&eacute;s.<A NAME="section_par_base"></A></P>        <BLOCKQUOTE><I>- </I><B><I>parall&egrave;lement &agrave; la       base:</I></B></BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD>          <P>La section d'un c&ocirc;ne droit par un plan,          parall&egrave;lement &agrave; la base du c&ocirc;ne est un          disque (cercle si nous avons un cornet) de rayon plus petit          que celui du disque (cercle) de base.</P>                    <P>Ce rayon d&eacute;pend de la <A HREF="../../rep/space.html#dispoint" TARGET=aide>distance          SO' de S au plan</A> de section.</P>                    <P>Les triangles SOA et SO'A' sont rectangles respectivement          en O et O'. Les droites (OA) et (O'A') sont dans le          m&ecirc;me plan (celui contenant les points S, O et A) et          sont perpendiculaires &agrave; la droite (SO). Les droites          (OA) et (O'A') <A HREF="../../rep/dper.html#prop" TARGET=aide>sont          donc parall&egrave;les</A>.</P>       </TD>       <TD WIDTH=250>          <CENTER><IMG SRC="../../rep/images/revol13.gif" WIDTH=241 HEIGHT=194 ALIGN=bottom></CENTER>       </TD>    </TR> </TABLE>  <A NAME="section_axe"></A></CENTER>  <BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><B><I>-passant par l'axe de sym&eacute;trie       (SO):</I></B></BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD>          <P>La section d'un c&ocirc;ne droit par un plan passant par          l'axe de sym&eacute;trie (SO) du c&ocirc;ne, est un          <A HREF="../../rep/triang.html#iso" TARGET=aide>triangle          isoc&egrave;le</A> de sommet principal le sommet S du          c&ocirc;ne et dont la base principale a pour longueur le          diam&egrave;tre de la base du c&ocirc;ne.<BR>          L'angle principal de ce triangle isoc&egrave;le est          appel&eacute; <FONT COLOR="#FF0000"><I><U>angle au sommet du          c&ocirc;ne</U></I></FONT> (ne pas confondre cet angle avec          l'angle du secteur calcul&eacute; pour construire le patron          d'un c&ocirc;ne droit: voir <A HREF="#patroncone">patron</A>).</P>                    <P>Sur la figure ci-contre:</P>                    <P>Le plan de section coupe la base du c&ocirc;ne selon le          diam&egrave;tre &#91;AA'&#93;. Comme (SO) est l'axe du          c&ocirc;ne alors (SO) passe perpendiculairement par le          milieu du diam&egrave;tre du disque de base          &#91;AA'&#93;.<BR>          Comme (SO) passe perpendiculairement par le milieu de          &#91;AA'&#93; alors (SO) est la m&eacute;diatrice de          &#91;AA'&#93;.(<FONT COLOR="#FF0000">DMED          n&#176;01</FONT>)<BR>          Comme (SO) est la m&eacute;diatrice de &#91;AA'&#93; alors          SA=SA'.(<FONT COLOR="#FF0000">DIS n&#176;10</FONT>)<BR>          Comme SA=SA' alors SAA' est isoc&egrave;le en S.          (<FONT COLOR="#FF0000">TISO n&#176;01</FONT>)</P>       </TD>       <TD WIDTH=250>          <P><IMG SRC="../../rep/images/revol14.gif" WIDTH=230 HEIGHT=236 ALIGN=bottom></P>       </TD>    </TR> </TABLE>  <A NAME="section_par_axe"></A></CENTER>  <BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><B><I>-parall&egrave;lement &agrave; l'axe de       sym&eacute;trie:</I></B> (pour info: n'est pas au programme du       coll&egrave;ge)</BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD>          <P>La section d'un c&ocirc;ne droit par un plan          parall&egrave;le &agrave; l'axe de sym&eacute;trie est une          surface limit&eacute;e par <A HREF="../../rep/cercle.html#corde" TARGET=aide>une          corde</A> du disque de base et un arc d'une courbe          appel&eacute;e <I>hyperbole</I>.</P>                    <P>Sur la figure ci-contre, nous observons que:</P>                    <P>-A, I et A' sont des points de l'hyperbole. Le triangle          AIA' est isoc&egrave;le de sommet principal I.</P>                    <P>-(IH) <A HREF="../../rep/space.html#dplanper" TARGET=aide>perpendiculaire          au plan</A> du disque de base, coupe &#91;AA'&#93; en son          milieu, (OH) est donc m&eacute;diatrice de &#91;AA'&#93;          (c'est un diam&egrave;tre du disque de base, <A HREF="../../rep/dmed.html#cas" TARGET=aide>passant          par le milieu d'une corde</A>)</P>       </TD>       <TD WIDTH=250>          <P><IMG SRC="../../rep/images/revol15.gif" WIDTH=224 HEIGHT=213 ALIGN=bottom></P>       </TD>    </TR> </TABLE> </CENTER>  <BLOCKQUOTE><A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A><B><A NAME=formulecone></A></B>        <P><B>Formules:</B></P>        <P>On sait que l'<A HREF="../../rep/aire.html#disque" TARGET=aide>aire    d'un secteur circulaire</A> est donn&eacute; par la formule    <FONT COLOR="#AF0000"><B>(pi.R<SUP>2</SUP>.a)/360</B></FONT>    o&ugrave; <FONT COLOR="#AF0000"><B>R</B></FONT> est le rayon du    secteur et <FONT COLOR="#AF0000"><B>a</B></FONT> l'angle au centre    (nous remplacerons <I>dans cette formule</I>    <FONT COLOR="#AF0000"><B>R</B></FONT> par    <FONT COLOR="#AF0000"><B>L</B></FONT><FONT COLOR="#000000"> dans    la suite de ce document</FONT>).</P>        <P>Nous avons vu, lors de l'&eacute;tude du patron du c&ocirc;ne,    que l'angle au centre <FONT COLOR="#AF0000"><B>a</B></FONT> du    secteur circulaire (face lat&eacute;rale du c&ocirc;ne) est    donn&eacute; par <FONT COLOR="#AF0000"><B>a=360.(R/L)</B></FONT>    o&ugrave; <FONT COLOR="#AF0000"><B>R</B></FONT> est le rayon du    disque de base et <FONT COLOR="#AF0000"><B>L</B></FONT> le rayon    du secteur circulaire repr&eacute;sentant la face    lat&eacute;rale.</P>        <BLOCKQUOTE><CENTER><IMG SRC="../../rep/images/revol16.gif" WIDTH=527 HEIGHT=253 ALIGN=bottom></CENTER></BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <P>&nbsp;</P>  <BLOCKQUOTE><A NAME=exo></A><A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom><A NAME=ex1></A></B></A></BLOCKQUOTE>  <P><B><U>Exercices:</U></B></P>  <BLOCKQUOTE><B>Exercice 1:</B>        <P><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>       <TR>          <TD WIDTH=535>             <P><FONT SIZE="-1">Le cylindre de r&eacute;volution et le             c&ocirc;ne de r&eacute;volution ont m&ecirc;me hauteur et             m&ecirc;me rayon de base (voir figure             ci-dessous).</FONT></P>                          <CENTER><FONT SIZE="-2"><IMG SRC="th06_B02.gif" WIDTH=172 HEIGHT=90 ALIGN=bottom></FONT></CENTER>                          <BLOCKQUOTE><FONT SIZE="-2"><B>Comparez leurs                volumes.</B></FONT>                                <BLOCKQUOTE><FONT SIZE="-1"><I><U>Conseil: </U>Ecrivez                   les formules des volumes de ces deux solides (pour                   un rayon </I><B>R</B><I> et une hauteur                   </I><B>h</B><I> par exemple) et observez                   les...!</I></FONT></BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>          </TD>          <TD VALIGN=bottom WIDTH=60>             <CENTER><A HREF="th06cor_Bex01.html" TARGET=aide><IMG SRC="../crayon.gif" WIDTH=38 HEIGHT=41 ALIGN=middle></A></CENTER>          </TD>       </TR>    </TABLE>     <A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></B></A><B><A NAME=ex2></A></B></P>        <P><B>Exercice 2:</B></P>        <P><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>       <TR>          <TD WIDTH=535>             <P>&nbsp;<FONT SIZE="-1">Soit un c&ocirc;ne de sommet S             et dont le centre de la base est O. </FONT></P>                          <P><FONT SIZE="-1">Les points A et B sont             diam&eacute;tralement oppos&eacute;s sur le cercle de             base.</FONT></P>                          <P><FONT SIZE="-1">Pour chaque cas, calculez le volume du             c&ocirc;ne:</FONT></P>                          <BLOCKQUOTE><FONT SIZE="-1"><B>a.</B></FONT><FONT SIZE="-2"><B>                SA=10cm</B></FONT><FONT SIZE="-1" COLOR="#000000"><IMG SRC="../espace.gif" WIDTH=33 HEIGHT=18 ALIGN=middle><B>l'angle                SAO=60&#176;</B></FONT>                                <BLOCKQUOTE><FONT SIZE="-1" COLOR="#000000"><I><U>Conseil:</U>                   Utilisez le fait que le triangle SAO est rectangle                   en O (cosinus des angles aigus de ce triangle                   &agrave; revoir ainsi que la fa&ccedil;on de les                   utiliser...</I></FONT><A HREF="../th04/th04_C.html#rec" TARGET=principal><I>Th&egrave;me                   04 C</I></A><FONT SIZE="-1" COLOR="#000000"><I>                   ).</I>&gt;</FONT></BLOCKQUOTE>                                <P><FONT SIZE="-2" COLOR="#000000"><B>b.                AO=5cm</B><IMG SRC="../espace.gif" WIDTH=33 HEIGHT=18 ALIGN=middle><B>l'angle                ASB=44&#176;</B></FONT></P></BLOCKQUOTE>          </TD>          <TD VALIGN=bottom WIDTH=60>             <CENTER><A HREF="th06cor_Bex02.html" TARGET=aide><IMG SRC="../crayon.gif" WIDTH=38 HEIGHT=41 ALIGN=bottom></A></CENTER>          </TD>       </TR>    </TABLE>     <A HREF="#haut" TARGET=principal><B><IMG SRC="../debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></B></A><B><A NAME=ex3></A></B></P>        <P><B>Exercice 3:</B></P>        <P><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>       <TR>          <TD VALIGN=top WIDTH=385>             <P><FONT SIZE="-1">Le c&ocirc;ne de sommet S, de hauteur             10 m&egrave;tres et dont le disque de base de centre O a             pour rayon 2 m&egrave;tres, est coup&eacute; par un plan             perpendiculaire &agrave; la hauteur             &#91;SO&#93;.</FONT></P>                          <P><FONT SIZE="-1">Sur la figure ci-contre ce plan coupe             &#91;SA&#93; en B et &#91;SO&#93; en H tel que SH=7m.             Nous admettrons que les droites (HB) et (OA) sont             parall&egrave;les.</FONT></P>                          <BLOCKQUOTE><FONT SIZE="-1" COLOR="#000000"><B>a.                Calculez HB.                </B></FONT><FONT COLOR="#000000"><IMG SRC="../espace.gif" WIDTH=41 HEIGHT=18 ALIGN=middle></FONT><FONT SIZE="-2">                </FONT><A HREF="th06aid_Bex03.html" TARGET=aide><FONT SIZE="-1"><IMG SRC="../interro.gif" WIDTH=38 HEIGHT=41 ALIGN=middle></FONT></A>                                <P><FONT SIZE="-1"><B>b. Calculez le volume du tronc                de c&ocirc;ne de hauteur &#91;OH&#93;. </B></FONT></P>                                <CENTER><FONT SIZE="-1"><B><IMG SRC="th06_B04.gif" WIDTH=141 HEIGHT=87 ALIGN=bottom></B></FONT></CENTER></BLOCKQUOTE>          </TD>          <TD VALIGN=bottom WIDTH=210>             <CENTER>&nbsp;                          <P><B><IMG SRC="th06_B03.gif" WIDTH=141 HEIGHT=209 ALIGN=bottom></B><A HREF="th06cor_Bex03.html" TARGET=aide><IMG SRC="../crayon.gif" WIDTH=38 HEIGHT=41 ALIGN=middle></A></P></CENTER>          </TD>       </TR>    </TABLE>    </P></BLOCKQUOTE>  <CENTER>&nbsp;<A HREF="#debut_de_page" TARGET=principal><IMG SRC="../debut.gif" WIDTH=35 HEIGHT=35 BORDER=0 ALIGN=bottom></A>  <P><IMG SRC="../separ.gif" WIDTH=300 HEIGHT=10 ALIGN=bottom><FONT SIZE="-2">&copy; Lallet G&eacute;rard 1998-2001</FONT></P></CENTER>  <P></P> </BODY> </HTML> 
