<HTML> <!--This file created 09:38  07/05/98 by Claris Home Page version 2.0This file created 09:38  07/05/98 by Claris Home Page version 2.0This file created 18:23  16/05/98 by Claris Home Page version 2.0--> <HEAD>    <BASE TARGET=aide>    <TITLE>Les cylindres</TITLE>    <X-CLARIS-WINDOW TOP=84 BOTTOM=607 LEFT=32 RIGHT=721>    <X-CLARIS-TAGVIEW MODE=minimal> </HEAD> <BODY BACKGROUND="../images/BlancRay.gif"> <P ALIGN=center><CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD WIDTH=161>          <P ALIGN=center><FONT SIZE="+2" COLOR="#000000"><B><IMG SRC="../images/logorep.gif" ALT="logo" WIDTH=100 HEIGHT=71 BORDER=0 ALIGN=middle></B></FONT></P>       </TD>       <TD WIDTH=487>          <BLOCKQUOTE><A NAME=haut></A><FONT SIZE="+3" COLOR="#000000">Les             cylindres droits</FONT></BLOCKQUOTE>       </TD>    </TR> </TABLE></CENTER>  <HR SIZE=3 WIDTH=300>  </P>  <BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><UL>             <LI><A HREF="#def" TARGET=aide><B>D&eacute;finitions.</B></A></LI>                          <LI><A HREF="#prop" TARGET=aide><B>Propri&eacute;t&eacute;s.</B></A></LI>                          <LI><A HREF="#patron" TARGET=aide><B>Patron.</B></A></LI>                          <LI><A HREF="#section" TARGET=aide><B>Sections             planes.</B></A></LI>                          <LI><A HREF="#formule" TARGET=aide><B>Formules.</B></A></LI>          </UL>       </BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <P>  <HR SIZE=3>  <FONT SIZE="+1" COLOR="#000000"><A NAME=def></A></FONT><FONT COLOR="#000000"><B>D&eacute;finitions</B>:</FONT></P>  <P><FONT COLOR="#000000">Le cylindre droit (ou cylindre de r&eacute;volution) est un </FONT><A HREF="revol.html" TARGET=aide>solide de r&eacute;volution</A></P>  <P>Le cylindre droit est engendr&eacute; par la r&eacute;volution d'une ligne polygonale O<SUB>1</SUB>ABO<SUB>2</SUB> ( le profil) telle que les angles en A et B soient droits. L'axe de r&eacute;volution est la droite (O<SUB>1</SUB>O<SUB>2</SUB>).</P>  <BLOCKQUOTE ALIGN=center><I>&nbsp;<IMG SRC="images/revol05.gif" WIDTH=453 HEIGHT=168 ALIGN=bottom></I></BLOCKQUOTE>  <P><B><I>fig 1: </I></B>Repr&eacute;sentation du profil en rouge et de l'axe de r&eacute;volution en vert<B>&nbsp;.</B></P>  <P><B><I>fig 2: </I></B>Vue de dessous. Dessin&eacute;es en pointill&eacute;s, quelques positions du profil sont repr&eacute;sent&eacute;es. La rotation autour de l'axe (O<SUB>1</SUB>O<SUB>2</SUB>) se fait ici, dans le sens des aiguilles d'une montre (indiqu&eacute; par une petite fl&egrave;che rouge).</P>  <P><B><I>fig 3:</I></B> Le cylindre est repr&eacute;sent&eacute; par 14 positions du profil. Les faces ont &eacute;t&eacute; constitu&eacute;es par des petits morceaux de plan (facettes).</P>  <P><B><I>fig 4:</I></B> Toutes les positions du profil ont &eacute;t&eacute; repr&eacute;sent&eacute;es. Comme il y en a une infinit&eacute;, les <FONT COLOR="#AF0000"><B>3 faces</B></FONT> du cylindre sont chacune en un seul morceau.</P>  <BLOCKQUOTE><B>Remarques:</B></BLOCKQUOTE>  <P>Au lieu de prendre la ligne polygonale O<SUB>1</SUB>ABO<SUB>2</SUB> nous pouvons n'utiliser que le segment &#91;AB&#93; (profil g&eacute;n&eacute;rateur). Dans ce cas nous obtenons un cylindre droit sans mat&eacute;rialisation les bases (il s'agit d'un tube droit).</P>  <P>Le profil est appel&eacute; <FONT COLOR="#AF0000"><B>g&eacute;n&eacute;ratrice.</B></FONT></P>  <P><A HREF="#haut" TARGET=aide><B><IMG SRC="../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A></P>  <P><B>  <HR SIZE=3 WIDTH="50%">  </B></P>  <P><B><A NAME=prop></A>Propri&eacute;t&eacute;s:</B></P>  <P>Le cylindre droit poss&egrave;de 3 faces:</P>  <BLOCKQUOTE>- deux faces de base qui sont des disques de centre    O<SUB>1</SUB> et O<SUB>2</SUB> et de m&ecirc;me rayon R qui est le    rayon du cylindre droit.        <P>- une face lat&eacute;rale dont la longueur est le    p&eacute;rim&egrave;tre commun aux disques de base, et la largeur,    la hauteur AB (ou O<SUB>1</SUB>O<SUB>2 </SUB>) du cylindre    droit.</P></BLOCKQUOTE>  <P>Par construction, l'axe autour duquel tourne le profil est <A HREF="symo.html" TARGET=aide>un axe de sym&eacute;trie</A> pour le cylindre droit</P>  <P><A HREF="#haut" TARGET=aide><B><IMG SRC="../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A></P>  <P><B>  <HR SIZE=3 WIDTH="50%">  </B></P>  <P><B><A NAME=patron></A>Patron:</B></P>  <P>Un patron est une figure dessin&eacute;e sur un plan. Elle permet de fa&ccedil;onner un objet qui repr&eacute;sente le solide dans l'espace.</P>  <P>Les deux premi&egrave;res figures ci-dessous essaient de repr&eacute;senter le "d&eacute;pliage" du cylindre droit en utilisant la <A HREF="persp.html" TARGET=aide>perspective cavali&egrave;re</A>. La troisi&egrave;me figure repr&eacute;sente le patron d'un cylindre droit.</P>  <BLOCKQUOTE><I>Exercice: </I>construire le patron du cylindre droit    de rayon 2cm et de hauteur 4cm (dans ce cas AA' mesure 2.pi.2    soient 12,6cm environ). Ne pas oublier une languette le long de    &#91;AB&#93; pour le collage (deux filets de colle rapide sur les    bords &#91;AA'&#93; et &#91;BB'&#93; devraient suffire pour la    fixation des deux disques).</BLOCKQUOTE>  <P ALIGN=center><B><IMG SRC="images/revol06.gif" WIDTH=388 HEIGHT=178 ALIGN=bottom></B></P>  <P><A HREF="#haut" TARGET=aide><B><IMG SRC="../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A></P>  <P><B>  <HR SIZE=3 WIDTH="50%">  </B></P>  <P><B><A NAME=section></A>Sections planes:</B></P>  <P>Une section plane d'un cylindre est obtenue en coupant le cylindre &agrave; l'aide d'un plan. Sur les figures de ce chapitre, le plan utilis&eacute; est repr&eacute;sent&eacute; par un parall&eacute;logramme colori&eacute; en gris afin de donner une impression de relief. Les lignes cach&eacute;es sont repr&eacute;sent&eacute;es en pointill&eacute;s.</P>  <BLOCKQUOTE><I>- </I><B><I>parall&egrave;lement aux bases:</I></B></BLOCKQUOTE>  <P ALIGN=center><B><I>&nbsp;</I></B><CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD>          <P>La section d'un cylindre droit par un plan          parall&egrave;lement aux bases est un disque (cercle si le          cylindre est vide=tube) de m&ecirc;me rayon que les disques          de base et dont le centre se trouve sur l'axe de          sym&eacute;trie (O<SUB>1</SUB>O<SUB>2</SUB>).</P>       </TD>       <TD WIDTH=250>          <P ALIGN=center><IMG SRC="images/revol07.gif" WIDTH=245 HEIGHT=146 ALIGN=bottom></P>       </TD>    </TR> </TABLE></CENTER> </P>  <BLOCKQUOTE><B><I>-passant par l'axe de sym&eacute;trie:</I></B></BLOCKQUOTE>  <P ALIGN=center><CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD>          <P>La section d'un cylindre droit par un plan passant par          l'axe de sym&eacute;trie est un rectangle dont la longueur          est la hauteur du cylindre et dont la largeur est le          diam&egrave;tre du cylindre.</P>       </TD>       <TD WIDTH=250>          <P ALIGN=center><IMG SRC="images/revol08.gif" WIDTH=199 HEIGHT=187 ALIGN=bottom></P>       </TD>    </TR> </TABLE></CENTER> </P>  <BLOCKQUOTE><B><I>-parall&egrave;lement &agrave; l'axe de    sym&eacute;trie:</I></B></BLOCKQUOTE>  <P ALIGN=center><CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD>          <P>La section d'un cylindre droit par un plan          parall&egrave;lement &agrave; l'axe de sym&eacute;trie est          un rectangle dont la longueur est la hauteur du cylindre et          dont la largeur est plus petite que le diam&egrave;tre du          cylindre.</P>                    <P>Le calcul de cette largeur se fait en calculant la          longueur de la corde &#91;AA'&#93; dans le disque de centre          O<SUB>1</SUB>.</P>       </TD>       <TD WIDTH=250>          <P ALIGN=center><IMG SRC="images/revol09.gif" WIDTH=170 HEIGHT=180 ALIGN=bottom></P>       </TD>    </TR> </TABLE></CENTER> Par exemple: (en supposant que le rayon des bases soit connu)</P>  <BLOCKQUOTE>-prolonger (AO<SUB>1</SUB>) pour recouper le disque en un    point I . Le triangle AIA' est rectangle en A' (<A HREF="triang.html#obtenu" TARGET=aide>pourquoi?</A>).    Selon les donn&eacute;es, utiliser <A HREF="angle.html#cos" TARGET=aide>le    cosinus</A> de l'un des angles aigus de AIA' ou <A HREF="triang.html#pyth" TARGET=aide>le    th&eacute;or&egrave;me de Pythagore</A>.        <P>-Si vous connaissez la distance du point O<SUB>1</SUB> &agrave;    la corde &#91;AA'&#93; alors il vaut mieux utiliser la <A HREF="dmed.html#cas" TARGET=aide>m&eacute;diatrice</A>    de &#91;AA'&#93; (cette m&eacute;diatrice passe par le milieu de    la corde et par le centre O<SUB>1 </SUB>du disque).</P></BLOCKQUOTE>  <P><A HREF="#haut" TARGET=aide><B><IMG SRC="../images/debut2.gif" ALT="haut" WIDTH=10 HEIGHT=10 BORDER=1 ALIGN=bottom></B></A></P>  <P><B>  <HR SIZE=3 WIDTH="50%">  </B></P>  <P><B><A NAME=formule></A>Formules:</B></P>  <BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><FONT COLOR="#AF0000"><B><I>aire       lat&eacute;rale=2.pi.R.h</I></B></FONT> (ou       <FONT COLOR="#AF0000"><B><I>R</I></B></FONT> est le rayon des       disques de base et <FONT COLOR="#AF0000"><B><I>h</I></B></FONT>       la hauteur du cylindre).              <P><B><I>aire totale=2.pi.R<SUP>2</SUP>+2.pi.R.h </I></B>(somme       des deux aires de base et de l'aire lat&eacute;rale)</P>              <P>ou, apr&egrave;s factorisation:       <FONT COLOR="#AF0000"><B><I>aire       totale=2.pi.R.(R+h)</I></B></FONT></P>              <P><FONT COLOR="#AF0000"><B><I>volume=pi.R<SUP>2</SUP>.h       </I></B></FONT><FONT COLOR="#000000">(produit de l'aire de la       base par la hauteur du cylindre)</FONT></P></BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <P ALIGN=center>&nbsp;<A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut.gif" ALT="haut" WIDTH=35 HEIGHT=35 BORDER=1 ALIGN=bottom></A></P>  <P ALIGN=center><IMG SRC="../images/separ.gif" WIDTH=300 HEIGHT=10 ALIGN=bottom><FONT SIZE="-2">&copy; Lallet G&eacute;rard 1998-2001</FONT></P>  <P ALIGN=center></P> </BODY> </HTML> 
