<!doctype html public "-//w3c//dtd html 4.0 transitional//en"> <html> <head>    <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1">    <meta name="GENERATOR" content="Mozilla/4.6 [fr] (Win98; I) [Netscape]">    <title>Courbe du dragon</title> </head> <body> &nbsp; <table BORDER COLS=7 WIDTH="100%" BGCOLOR="#CCFFFF" > <tr> <td><a href="../escalierdudiable/escalierdudiable.shtml">fractal suivant</a></td>  <td><a href="../cantor/cantor.shtml">fractal pr&eacute;c&eacute;dent</a></td>  <td><a href="../../courbes2d/courbes2d.shtml">courbes 2D</a></td>  <td><a href="../../courbes3d/courbes3d.shtml">courbes 3D</a></td>  <td><a href="../../surfaces/surfaces.shtml">surfaces</a></td>  <td><a href="../fractals.shtml">fractals</a></td>  <td><a href="../../polyedres/polyedres.shtml">poly&egrave;dres</a></td> </tr> </table>  <center> <p><font size=+3>COURBE DU DRAGON</font> <br><font size=+2>Dragon curve, Drachenkurve</font> <br><img SRC="dragon0.gif" height=410 width=560></center>  <table BORDER COLS=1 WIDTH="100%" BGCOLOR="#FFCC00" > <tr> <td><font size=+2>Courbe &eacute;tudi&eacute;e par Heighway en 1960.</font></td> </tr> </table>  <p><font size=+2>&Eacute;tant donn&eacute; un triangle isoc&egrave;le rectangle en <i>C ABC</i>, la courbe du dragon est l'attracteur dans le plan des deux similitudes directes transformant, l'une (<i>A</i>,<i>B</i>) en (<i>A</i>,<i>C</i>), l'autre (<i>A</i>,<i>B</i>) en (<i>C</i>,<i>B</i>) ; ces deux similitudes &eacute;tant de rapport&nbsp;<img SRC="imageUGC.JPG" height=57 width=38 align=absmiddle>, la dimension fractale du dragon, qui est compact et connexe, est&nbsp;<img SRC="imageN4R.JPG" height=57 width=87 align=absmiddle> ;</font> <p><font size=+2>En partant de [<i>AB</i>], voici la suite des compacts convergeant vers cette courbe, constituant les courbes du dragon approch&eacute;es ; ces courbes poss&eacute;dent la propri&eacute;t&eacute; remarquable d'&ecirc;tre continues et de ne jamais se traverser elles-m&ecirc;mes, contrairement &agrave; celles de la <a href="../c/c.shtml">courbe du C</a> :</font> <br>&nbsp; <br>&nbsp; <table COLS=3 WIDTH="100%" > <tr> <td> <center><img SRC="dragonmoi1.gif" height=148 width=252></center> </td>  <td> <center><img SRC="dragonmoi2.gif" height=159 width=275></center> </td>  <td> <center><img SRC="dragonmoi3.gif" height=185 width=296></center> </td> </tr>  <tr> <td> <center><img SRC="dragonmoi4.gif" height=208 width=306></center> </td>  <td> <center><img SRC="dragonmoi5.gif" height=200 width=305></center> </td>  <td> <center><img SRC="dragonmoi6.gif" height=218 width=313></center> </td> </tr>  <tr> <td> <center><img SRC="dragonmoi7.gif" height=206 width=298></center> </td>  <td> <center><img SRC="dragonmoi8.gif" height=202 width=309></center> </td>  <td> <center><img SRC="dragonmoi9.gif" height=203 width=298></center> </td> </tr>  <tr> <td> <center><img SRC="dragonmoi10.gif" height=207 width=306></center> </td>  <td> <center><img SRC="dragonmoi11.gif" height=205 width=303></center> </td>  <td> <center><img SRC="dragonmoi12.gif" ALT="tape 9" height=201 width=293></center> </td> </tr> </table>  <center> <p><img SRC="dragondouble.gif" height=204 width=302> <br>Vue illustrant&nbsp; les deux similitudes internes</center>  <p><font size=+2>Si l'on prend, dans le plan complexe, <i>A </i>= 0 et <i>B </i>= 1, les deux similitudes sont&nbsp;<img SRC="imageA8M.JPG" height=22 width=69 align=absmiddle> et&nbsp;<img SRC="imageIFN.JPG" height=26 width=101 align=absmiddle> o&ugrave;&nbsp;<img SRC="imageBP2.JPG" height=67 width=158 align=absmiddle> ; et si l'on unit le dragon <i>D</i> avec son sym&eacute;trique 1 - <i>D</i> par rapport au milieu de [<i>AB</i>] on obtient le dragon sym&eacute;tris&eacute; <i>D</i>' :</font> <center><img SRC="dragonsymetrique.gif" height=246 width=342></center> <font size=+2>On peut montrer que 2<i>rD</i>' n'est autre que l'<a href="../goffinet/goffinet.shtml">ensemble unit&eacute;</a> <i>U</i></font><i><sub><font size=+1>r </font></sub></i><font size=+2>des complexes qui s'&eacute;crivent comme sommes (finies ou infinies) de puissances &agrave; exposants entiers naturels du nombre <i>r</i> ; <i>U</i></font><i><sub><font size=+1>r </font></sub></i><font size=+2>est &eacute;galement l'attracteur des deux similitudes&nbsp;<img SRC="imageA8M.JPG" height=22 width=69 align=absmiddle> et&nbsp;<img SRC="image2EV.JPG" height=26 width=99 align=absmiddle>.</font> <p><font size=+2>La courbe du dragon poss&egrave;de la propri&eacute;t&eacute; remarquable de pouvoir paver le plan :</font> <center> <p><img SRC="pavagededragons.gif" height=394 width=495></center>  <p><font size=+2>Elle poss&egrave;de aussi une d&eacute;finition physique tr&egrave;s simple ; si l'on plie une feuille de papier <i>n</i> fois sur elle-m&ecirc;me, toujours dans le m&ecirc;me sens, et que l'on d&eacute;plie la feuille en rempla&ccedil;ant les plis par des angles droits, le profil de la feuille donne la courbe du dragon &agrave; l'&eacute;tape <i>n</i>.</font> <center><img SRC="pliage.gif" height=376 width=599></center>  <p><font size=+2>On peut en d&eacute;duire une construction g&eacute;om&eacute;trique simple de la courbe approch&eacute;e du dragon d'ordre <i>n</i> : la ligne orient&eacute;e <i>D</i></font><i><sub>n</sub></i><font size=+2> s'obtient &agrave; partir de <i>D</i></font><sub><i>n</i>-1</sub><font size=+2> en prolongeant cette derni&egrave;re &agrave; partir de son extr&eacute;mit&eacute; par une rotation autour de cette extr&eacute;mit&eacute; de +90&deg; de la figure <i>D</i></font><sub><i>n</i>-1</sub><font size=+2>.</font> <center><img SRC="dragonmacheras.gif" height=288 width=388></center>  <p><font size=+2>La suite <i>S</i></font><i><sub>n</sub></i><font size=+2>des sens gauche (<i>G</i>) ou droite (<i>D</i>) des plis &agrave; l'&eacute;tape <i>n</i> :</font> <p><i><font size=+2>S</font></i><sub>1</sub><font size=+2> = <i>D</i></font> <br><i><font size=+2>S</font></i><sub>2</sub><font size=+2> = <i>DDG</i></font> <br><i><font size=+2>S</font></i><sub>3</sub><font size=+2> = <i>DDGDDGG</i></font> <p><font size=+2>poss&egrave;de de nombreuses d&eacute;finitions remarquables :</font> <p><font size=+2>DEF 1 :&nbsp;<img SRC="imageV5E.JPG" height=37 width=134 align=absmiddle> o&ugrave; la notation&nbsp;<img SRC="imageL6L.JPG" height=32 width=20 align=absmiddle> signifie que le mot est &eacute;crit &agrave; l'envers et en intervertissant les lettres <i>D</i> et <i>G</i>.</font> <p><font size=+2>DEF 2 :&nbsp;<img SRC="imageORL.JPG" height=34 width=26 align=absmiddle> s'obtient &agrave; partir de&nbsp;<img SRC="imageMI6.JPG" height=34 width=39 align=absmiddle> en intercalant alternativement des <i>D</i> et des <i>G</i>, en commen&ccedil;ant par un <i>D</i> ; par exemple :</font> <br><img SRC="image46A.JPG" height=32 width=125> <br><img SRC="image9SU.JPG" height=41 width=199 align=absmiddle> <p><font size=+2>DEF 3 : prendre le <a href="../lsysteme/lsysteme.shtml">syst&egrave;me de Lindenmayer</a> sur l'alphabet ABCD avec la transformation</font> <center><img SRC="image0MR.JPG" height=126 width=87 align=absmiddle></center> <font size=+2>en partant de <i>A, </i>puis remplacer <i>A</i> et <i>B</i> par <i>D</i> et <i>B</i> et <i>C</i> par <i>G</i>.</font> <p><font size=+2>Les&nbsp;<img SRC="imageORL.JPG" height=34 width=26 align=absmiddle> sont les pr&eacute;fixes d'une suite infinie S = (<i>u</i></font><i><sub>n</sub></i><font size=+2>) , appel&eacute;e <i>suite du dragon</i>.</font> <p><font size=+2>DEF 4 :&nbsp;<img SRC="imageS24.JPG" height=41 width=158 align=absmiddle> o&ugrave; <i>f</i>(<i>D</i>) = <i>G</i> et <i>f</i>(<i>G</i>) = <i>D.</i></font> <p><font size=+2>DEF 5 : <i>u</i></font><i><sub>n</sub></i><font size=+2> = <i>D</i> si le 1 le plus &agrave; droite de la d&eacute;composition en base 2 de <i>n</i> est pr&eacute;c&eacute;d&eacute; d'un 0, <i>u</i></font><i><sub>n</sub></i><font size=+2> =&nbsp; <i>G</i> sinon.</font> <br><font size=+2>Par exemple :&nbsp;<img SRC="imageI85.JPG" height=35 width=132 align=absmiddle>.</font> <br><a NAME="bis"></a> <center> <p><font size=+2>VARIANTE : La Courbe du Dragon Bis</font></center>  <p><font size=+2>La premi&egrave;re similitude est la similitude <i>indirecte</i> transformant (<i>A</i>,<i>B</i>) en (<i>C</i>,<i>A</i>), la deuxi&egrave;me la similitude <i>indirecte</i> transformant (<i>A</i>,<i>B</i>) en (<i>C</i>,<i>B</i>).</font> <p><font size=+2>L'attracteur n'est alors autre que le triangle plein <i>ABC, </i>r&eacute;uni avec son sym&eacute;trique par rapport &agrave; (<i>AC</i>).</font> <br>&nbsp; <table COLS=3 WIDTH="100%" > <tr> <td><img SRC="dragonmoi1.gif" height=148 width=252></td>  <td><img SRC="dragonmoi2.gif" height=159 width=275></td>  <td><img SRC="dragonbis1.gif" height=229 width=312></td> </tr>  <tr> <td><img SRC="dragonbis2.gif" height=233 width=303></td>  <td><img SRC="dragonbis3.gif" height=255 width=320></td>  <td><img SRC="dragonbis4.gif" height=260 width=314></td> </tr> </table>  <center> <p><img SRC="dragonbisfinal.gif" height=288 width=388> <br>l'attracteur avec ses deux similitudes internes : ce n'est plus un dragon !</center>  <p><font size=+2>Il y a toujours une d&eacute;finition par pliage, mais cette fois, on plie la feuille alternativement dans un sens et dans l'autre.</font> <p><font size=+2>La suite <i>S</i></font><sub><i>n</i> </sub><font size=+2>des sens gauche (<i>G</i>) ou droite (<i>D</i>) des plis &agrave; l'&eacute;tape <i>n</i> :</font> <p><i><font size=+2>S</font></i><sub>1</sub><font size=+2> = <i>D</i></font> <br><i><font size=+2>S</font></i><sub>2</sub><font size=+2> = <i>DDG</i></font> <br><i><font size=+2>S</font></i><sub>3</sub><font size=+2> = GDDDGGD</font> <p><font size=+2>poss&egrave;de alors pour d&eacute;finitions :</font> <p><font size=+2>DEF 1 :&nbsp;<img SRC="imageA52.JPG" height=34 width=130 align=absmiddle> o&ugrave; la notation <i>S</i>' signifie que le mot est &eacute;crit &agrave; l'envers et la notation <i>S</i>" signifie qu'on intervertit les <i>D</i> et les <i>G</i>.</font> <p><font size=+2>DEF 2 :&nbsp;<img SRC="imageORL.JPG" height=34 width=26 align=absmiddle> s'obtient &agrave; partir de&nbsp;<img SRC="imageMI6.JPG" height=34 width=39 align=absmiddle> en intercalant alternativement des <i>D</i> et des <i>G</i>, en commen&ccedil;ant alternativement par un <i>D</i> ou un <i>G</i> ; par exemple :</font> <br><img SRC="image46A.JPG" height=32 width=125> <br><img SRC="imageLUN.JPG" height=41 width=197> <br>&nbsp; <p><font size=+1>Pour des informations sur la fronti&egrave;re de la courbe du dragon, voir <a href="http://www.poignance.com/math/fractals/dragon/bound.html">www.poignance.com/math/fractals/dragon/bound.html.</a></font> <center> <p><img SRC="dragonF.jpg" height=284 width=600><img SRC="dragonFP.jpg" height=242 width=320><img SRC="dragonG.jpg" height=372 width=468> <p><img SRC="dragontimbre.jpg" height=195 width=300></center>  <p><br> <table BORDER COLS=7 WIDTH="100%" BGCOLOR="#CCFFFF" > <tr> <td><a href="../escalierdudiable/escalierdudiable.shtml">fractal suivant</a></td>  <td><a href="../cantor/cantor.shtml">fractal pr&eacute;c&eacute;dent</a></td>  <td><a href="../../courbes2d/courbes2d.shtml">courbes 2D</a></td>  <td><a href="../../courbes3d/courbes3d.shtml">courbes 3D</a></td>  <td><a href="../../surfaces/surfaces.shtml">surfaces</a></td>  <td><a href="../fractals.shtml">fractals</a></td>  <td><a href="../../polyedres/polyedres.shtml">poly&egrave;dres</a></td> </tr> </table>  <p>&copy; <a href="mailto:rferreol@club-internet.fr">Robert FERR&Eacute;OL</a>, <a href="mailto:Jacques.Mandonnet@wanadoo.fr">Jacques MANDONNET</a> 2001 </body> </html> 
