<!--pubpopup--> <HTML> <META NAME="Description" CONTENT="Qu'est relement une matrix?"> <META NAME="Keywords" CONTENT="matrix,Matrix,The Matrix,the matrix,film,Film,math,Math,algbre,britney spears,Britney Spears,neo,no,Neo,No,morpheus,what,is,a,matrix,whatisamatrix?">  <script language="javascript"> <!-- function dopopup() { window.open('http://ibelgique.ifrance.com/heberg/pubp.htm?Time=1051277928&Url=/legreg/matrix/matrix.htm&Nom=legreg&POP=1', 'pubpopup', 'toolbar=0,location=0,status=0,menubar=0,scrollbars=1,height=140,width=468'); } setTimeout('dopopup()', 1500);  //--> </script> </html> <!doctype html public "-//w3c//dtd html 4.0 transitional//en"> <html> <head>    <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1">    <META NAME="Author" CONTENT="yHANCIK">    <META NAME="GENERATOR" CONTENT="Artisanat Numrique">    <META NAME="Description" CONTENT="Qu'est relement une matrix?">   <META NAME="Keywords" CONTENT="matrix,Matrix,The Matrix,the matrix,film,Film,math,Math,algbre,britney spears,Britney Spears,neo,no,Neo,No,morpheus,what,is,a,matrix,whatisamatrix?">     <title>A Matrix is...</title> </head> <body text="#FFFFFF" bgcolor="#000000" link="#FFFF00" vlink="#C0C0C0" alink="#C0FFC0" background="MATRIXtxt.jpg"> &nbsp; <center> <p><img SRC="Morpheus.jpg" height=400 width=320> <br><b><font face="Lucida Sans Typewriter"><font color="#388DC7"><font size=+4>what is a matrix ?</font></font></font></b></center>  <div align=right><font face="Arial Black"><font size=+1>Une matrice est un ensemble de nombres dispos&eacute;s en lignes et en colonnes sous forme de tableau rectangulaire. Ces nombres repr&eacute;sentent les &eacute;l&eacute;ments de la matrice.</font></font> <p><font face="Arial Black"><font size=+1>Sa dimension, donn&eacute;e par le nombre de lignes <i>m et le nombre de colonnes</i> <i>n est not&eacute;e m</i>!&times;!<i>n. Par exemple, la matrice</i></font></font> <p><img SRC="Image17.gif" height=122 width=155> <br>&nbsp; <br>&nbsp; <p><font size=+1><font face="Arial Black">est une matrice </font><font face="Arial,Helvetica">2!&times;!3</font><font face="Arial Black">. Une matrice &agrave; <i>m</i> lignes et <i>m</i> colonnes est appel&eacute;e matrice carr&eacute;e dordre <i>m.</i></font></font> <p><font face="Arial Black"><font size=+1><i>En notation math&eacute;matique standard, une matrice est indiqu&eacute;e par une majuscule et ses &eacute;l&eacute;ments par une minuscule doublement index&eacute;e. Ainsi aij est l&eacute;l&eacute;ment de la matrice A qui se trouve &agrave; lintersection de la ie</i> ligne et de la <i>j</i>e colonne. La matrice <i>A</i> s&eacute;crit alors :</font></font> <p><img SRC="Image18.gif" height=169 width=349> <br>&nbsp; <br>&nbsp; <p><font face="Arial Black"><font size=+1>ou encore en abr&eacute;g&eacute; : <i>A</i>!=!(<i>a</i>ij), signifiant que <i>A</i> est la matrice de terme g&eacute;n&eacute;ral <i>a</i>ij. Si <i>A</i>!=!(<i>a</i>ij) est une matrice carr&eacute;e dodre <i>n, alors les &eacute;l&eacute;ments</i> <i>a11, a22, a33,</i> , <i>a</i>nn forment la <i>diagonale principale</i> de la matrice.</font></font> <p><font face="Arial Black"><font size=+1>Soient deux matrices <i>A</i> et <i>B,</i> avec <i>A</i>!=!(<i>a</i>ij) et <i>B</i>!=!(<i>b</i>ij). Ces deux matrices sont &eacute;gales si, et seulement si, elles sont de m&ecirc;me dimension et pour tous <i>i</i> et <i>j, a</i>ij!=!<i>bij.</i></font></font> <br>&nbsp; <br>&nbsp; <br>&nbsp; <br>&nbsp; <p><b><i><font face="Arial Black"><font size=+1>Op&eacute;rations sur les matrices</font></font></i></b> <p><font face="Arial Black"><font size=+1><i>Sous certaines conditions, diff&eacute;rentes op&eacute;rations peuvent &ecirc;tre effectu&eacute;es sur les matrices</i> : addition, soustraction et multiplication. Dans certains cas, il est &eacute;galement possible de d&eacute;finir le d&eacute;terminant et linverse dune matrice.</font></font> <p><i><font face="Arial Black"><font size=+1>Addition</font></font></i> <p><font face="Arial Black"><font size=+1>La somme de deux matrices nest d&eacute;finie que si ces matrices sont de m&ecirc;me dimension. Pour deux matrices <i>A</i>!=!(<i>a</i>ij) et <i>B</i>!=!(<i>b</i>ij) de dimension <i>m</i>!&times;!<i>n, leur somme est alors une matrice C!=!</i>(<i>c</i>ij) de dimension <i>m</i>!&times;!<i>n et d&eacute;l&eacute;ment g&eacute;n&eacute;rique cij</i>!=!<i>aij</i>!+!<i>bij. En dautres termes, il suffit dadditionner les &eacute;l&eacute;ments homologues des deux matrices pour obtenir la matrice somme. Par exemple,</i></font></font> <p><img SRC="Image19.gif" height=152 width=339> <br>&nbsp; <br>&nbsp; <p><font face="Arial Black"><font size=+1>Laddition sur lensemble des matrices de dimension <i>m</i>!&times;!<i>n poss&egrave;de les m&ecirc;mes propri&eacute;t&eacute;s que l</i><font color="#FFFFFF">addition</font> sur les nombres : cest une op&eacute;ration associative, commutative, et poss&eacute;dant un &eacute;l&eacute;ment neutre, la matrice nulle, not&eacute;e 0, dont tous les &eacute;l&eacute;ments sont nuls. Pour toute matrice <i>A, on a donc A</i>!+!0!=!0!+<i>!A</i>!=!<i>A.</i></font></font> <br>&nbsp; <br>&nbsp; <p><i><font face="Arial Black"><font size=+1>Soustraction</font></font></i> <p><font face="Arial Black"><font size=+1>Tout comme laddition, la soustraction de deux matrices nest d&eacute;finie que pour des matrices de m&ecirc;me dimension. Pour deux matrices <i>A</i>!=!(<i>a</i>ij) et <i>B</i>!=!(<i>b</i>ij) de dimension <i>m</i>!&times;!<i>n, avec aij et bij </i><font color="#FFFFFF">nombres</font> r&eacute;els pour tous <i>i</i> et <i>j,</i> leur diff&eacute;rence est alors une matrice <i>C</i>!=!(<i>c</i>ij) de dimension <i>m</i>!&times;!<i>n et d&eacute;l&eacute;ment g&eacute;n&eacute;rique cij</i>!=!<i>aij</i>!-!<i>bij. Il suffit donc de soustraire les &eacute;l&eacute;ments homologues des deux matrices pour obtenir la matrice diff&eacute;rence. La soustraction sur lensemble des matrices de dimension</i> <i>m</i>!&times;!<i>n poss&egrave;de les m&ecirc;mes propri&eacute;t&eacute;s que la </i><font color="#FFFFFF">soustraction</font> sur lensemble des nombres auxquels appartiennent les &eacute;l&eacute;ments matriciels.</font></font> <p><i><font face="Arial Black"><font size=+1>Multiplication</font></font></i> <p><font face="Arial Black"><font size=+1>Le produit <i>AB de deux matrices A et B nest d&eacute;fini que si le nombre de colonnes de la matriceA est &eacute;gal au nombre de lignes de la matrice</i> <i>B. Soient la matrice A</i>!=!(<i>a</i>ij) de dimension <i>m</i>!&times;!<i>n et la matrice B</i>!=!(<i>b</i>jk) de dimension <i>n</i>!&times;!<i>p. Le produitAB de A par B est alors une matrice C</i>!=!(<i>c</i>ik) de dimension <i>m</i>!&times;!<i>p et d&eacute;l&eacute;ment g&eacute;n&eacute;rique c</i>ik tel que :</font></font> <p><img SRC="Image20.gif" height=100 width=262> <br>&nbsp; <br>&nbsp; <p><font face="Arial Black"><font size=+1>En dautres termes, l&eacute;l&eacute;ment de la <i>i</i>e ligne et de la <i>k</i>e colonne du produit de deux matrices correspond &agrave; la somme des produits des &eacute;l&eacute;ments de la <i>i</i>e ligne et de la <i>j</i>e colonne de la premi&egrave;re matrice (facteur de gauche du produit) par les &eacute;l&eacute;ments de la <i>j</i>e ligne et de la <i>k</i>e colonne de la seconde matrice (facteur de droite du produit). Par exemple, si lon d&eacute;sire effectuer le produit des matrices :</font></font> <p><img SRC="Image21.gif" height=125 width=345> <br>&nbsp; <br>&nbsp; <p><font face="Arial Black"><font size=+1>on &eacute;crit :</font></font> <p><img SRC="Image22.gif" height=222 width=349> <br>&nbsp; <br>&nbsp; <p><font face="Arial Black"><font size=+1>La multiplication de deux matrices nest pas commutative comme dans le cas de deux nombres r&eacute;els <i>a</i> et <i>b</i> pour lesquels <i>a.b</i> est &eacute;gal &agrave; <i>b.a.</i> En revanche, elle est associative et distributive par rapport &agrave; laddition (<i>voir</i> <font color="#FFFFFF">Multiplication</font>). Pour toutes matrices A dordre <i>m</i>!&times;!<i>n, B dordre</i> <i>n</i>!&times;!<i>p, et C dordre</i> <i>p</i>!&times;!<i>q, on a donc</i> :</font></font> <p><font face="Arial Black"><font size=+1><i>A(BC</i>)!=!<i>(AB)C</i></font></font> <p><i><font face="Arial Black"><font size=+1>A(B!+!C)!=!AB!+!AC</font></font></i> <p><i><font face="Arial Black"><font size=+1>(B!+!C)A!=!BA!+!CA.</font></font></i> <p><font face="Arial Black"><font size=+1><i>Sur lensemble des matrices carr&eacute;es, la multiplication poss&egrave;de un &eacute;l&eacute;ment neutre appel&eacute; matrice unit&eacute;</i> <i>I, dont tous les &eacute;l&eacute;ments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale qui sont &eacute;gaux &agrave; 1. Pour toute matrice carr&eacute;e A, on peut donc &eacute;crire</i> : <i>IA</i>!=!AI!=!A.</font></font> <p><font face="Arial Black"><font size=+1>D&eacute;terminant et inverse</font></font> <p><font face="Arial Black"><font size=+1>&Agrave; chaque matrice carr&eacute;e <i>A</i> est associ&eacute; un nombre appel&eacute; d&eacute;terminant de <i>A</i> et not&eacute; <i>det</i> <i>A. Par exemple, le d&eacute;terminant dune matrice 2</i>!&times;!2 :</font></font> <p><img SRC="Image23.gif" height=125 width=122> <br>&nbsp; <br>&nbsp; <p><font face="Arial Black"><font size=+1>est <i>det</i> <i>A</i>!=!<i>ad</i>!-!<i>bc. Pour des matrices dordre sup&eacute;rieur, voir</i></font></font> <p><font face="Arial Black"><font size=+1>Une matrice carr&eacute;e <i>A est dite inversible sil existe une unique matrice carr&eacute;e B telle que AB!=!BA</i>!=!<i>I. La matrice</i> <i>B est alors linverse de A et not&eacute;e A</i>-1. On d&eacute;montre quune matrice carr&eacute;e est inversible si et seulement si son d&eacute;terminant est non nul.</font></font> <br>&nbsp; <br>&nbsp; <p><b><font face="Arial Black"><font size=+1>Applications</font></font></b> <p><font face="Arial Black"><font size=+1>Les matrices, et en particulier les d&eacute;terminants, jouent un r&ocirc;le essentiel dans la r&eacute;solution des syst&egrave;mes lin&eacute;aires d&eacute;quations.</font></font> <p><font face="Arial Black"><font size=+1>Mais la th&eacute;orie des matrices a &eacute;galement dimportantes applications en g&eacute;om&eacute;trie : les <font color="#FFFFFF">transformations</font> telles que translation, rotation autour dun point fixe ou sym&eacute;trie orthogonale par rapport &agrave; une droite peuvent &ecirc;tre en effet repr&eacute;sent&eacute;es par des matrices. La matrice dune composition de telles transformations est obtenue en effectuant des op&eacute;rations sur les matrices des transformations combin&eacute;es.</font></font> <br><font face="Arial Black"><font size=+1></font></font>&nbsp;<font face="Arial Black"><font size=+1></font></font> <p><a href="../index.htm"><img SRC="back.jpg" ALT="Retour" BORDER=0 height=129 width=148></a></div>  </body> </html> 
