<html><head><title>EXACT AND ASYMPTOTIC INVERSE OF THE TOEPLITZ MATRIX WITH POLYNOMIAL SYMBOL.</title> <META NAME="DC.creator.origin" CONTENT="Laboratoire de Mathmatiques, Orsay"> <META NAME="DC.type" CONTENT="preprint"> <META NAME="DC.Creator.PersonalName" CONTENT="RAMBOUR, Philippe"> <META NAME="DC.Creator.PersonalName" CONTENT="SEGHIER, Abdellatif"> <META NAME="DC.Creator.Email" CONTENT="abdellatif.seghier@math.u-psud.fr"> <META NAME="DC.title" CONTENT="Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz Matrix with polynomial symbol."> <META NAME="DC.subject.keywords" CONTENT="Matrices de Toeplitz ; Noyau de Green ; Symboles singuliers; Thormes limites de Szeg."> <META NAME="DC.subject.topic" CONTENT="mathematics"> <META NAME="DC.subject" SCHEME="msc1991" CONTENT=" 47B39"> <META NAME="DC.language" CONTENT="GB"> <META NAME="DC.date" CONTENT="2002-05-17"> </head><body bgcolor="#FFFFFF"><p><CENTER><H3><FONT COLOR=#0000ff>2002 Pr&eacute;publication d'Orsay num&eacute;ro 2002-17 (16/05/2002)</FONT></CENTER></H3><br><br> <B><FONT COLOR=#ff00ff>EXACT AND ASYMPTOTIC INVERSE OF THE TOEPLITZ MATRIX WITH POLYNOMIAL SYMBOL.</FONT></B><P> <B>RAMBOUR, Philippe</B> - Topologie et Dynamique, Universit Paris-Sud, Bt. 425, 91405 Orsay cedex<br> <B>SEGHIER, Abdellatif</B> - Modlisation Stochastique et Statistique, Universit Paris-Sud, Bt. 425, 91405 Orsay cedex<br> <hr><br> <B>Mots Cl&eacute;s :</B> Matrices de Toeplitz ; Noyau de Green ; Symboles singuliers; Thormes limites de Szeg.<BR><BR> <B>Classification MSC :</B> 47B39<BR><BR> <hr><br> <B>Resum&eacute; :</B> <TABLE CELLPADDING="5" BGCOLOR="#22CCFF"> <TR><TD>A partir de travaux antrieurs et d'une application des polynmes prdicteurs nous obtenons deux types de rsultats. Dans une premire partie nous proposons une mthode pour obtenir un dveloppement exact des coefficients de matrices de Toeplitz ayant un symbole du type $\vert                    P\vert ^2 f$ o\`{u} $f$ est une fonction rgulire positive  et $P$ un polynme ayant ses zros sur le tore. Dans une deuxime partie nous obtenons des formules asymptotiques pour les coefficients de l'inverse des matrices de Toeplitz dont le symbole est le produit de $(1-\cos\theta)^p$ par une fonction strictement positive. Ces dveloppements utilisent des noyaux de Green associs  des oprateurs diffrentiels d'ordre $2p$. Enfin nous proposons quelques applications aux calculs des traces et des dterminants. </TD></TR></TABLE><P> <B>Abstract :</B><TABLE CELLPADDING="5" BGCOLOR="#AFAFAF"> <TR><TD>   From previous work and application of predictive polynomials we obtain two types of results. In a first part exact entries of Toeplitz matrix are computed in the case when the symbol is $\vert P\vert ^2 f$ and where $f$ a non negative regular function and $P$ a polynomial with all its zeros on $\tore$. In a second part we give asymptotic expansion for symbol $(1-\cos\theta)^p f$ when $f$ is always a nonnegative regular function are given. These formulas use Green kernel associated to differential operators of order $2p$. At last we propose some applications to computation of traces and determinants. </TD></TR></TABLE><P> <B>Article : </B><A HREF="fic/ppo_2002_17.dvi">Fichier DVI</A><p>  <B>Contact : </B><A HREF="mailto:abdellatif.seghier@math.u-psud.fr">abdellatif.seghier@math.u-psud.fr</A> <BR><HR> </body> </html> 
