<!doctype html public "-//w3c//dtd html 4.0 transitional//en"> <html> <head>    <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1">    <meta name="GENERATOR" content="Mozilla/4.6 [fr] (Win98; I) [Netscape]">    <meta name="Author" content="Robert FERREOL">    <title>Hyperbolo&iuml;de &agrave; une nappe</title> </head> <body> &nbsp; <table BORDER COLS=7 WIDTH="100%" BGCOLOR="#CCFFFF" > <tr> <td><a href="hyperboloid2.shtml">surface suivante</a></td>  <td><a href="../helicoidregle/helicoidregle.shtml">surface pr&eacute;c&eacute;dente</a></td>  <td><a href="../../courbes2d/courbes2d.shtml">courbes 2D</a></td>  <td><a href="../../courbes3d/courbes3d.shtml">courbes 3D</a></td>  <td><a href="../surfaces.shtml">surfaces</a></td>  <td><a href="../../fractals/fractals.shtml">fractals</a></td>  <td><a href="../../polyedres/polyedres.shtml">poly&egrave;dres</a></td> </tr> </table>  <center> <p><font size=+3>HYPERBOLO&Iuml;DE &Agrave; UNE NAPPE H</font><sub><font size=+2>1</font></sub> <br><font size=+2>One-sheet hyperboloid, einschaliges Hyperboloide</font> <p><img SRC="h10.jpg" height=308 width=390></center>  <table BORDER COLS=1 WIDTH="100%" BGCOLOR="#FFCCFF" > <tr> <td><font size=+2>&Eacute;quation cart&eacute;sienne :&nbsp;<img SRC="imageLK3.JPG" height=56 width=153 align=absmiddle>,<i> a</i> <font face="Symbol">&sup3;</font> <i>b</i>.</font> <br><font size=+2>Quand <i>a</i> = <i>b</i> : hyperbolo&iuml;de &agrave; une nappe de r&eacute;volution.</font> <br><font size=+2>Quand <i>a</i> = <i>b</i> = <i>c</i> : hyperbolo&iuml;de &agrave; une nappe &eacute;quilat&egrave;re.</font> <br><font size=+2>Param&eacute;trisation cart&eacute;sienne :&nbsp;</font> <br><font size=+2>&nbsp;&nbsp; a) dont les lignes de coordonn&eacute;es donnent une famille d'hyperbole et une famille d'ellipses :</font> <center><img SRC="image66H.JPG" height=134 width=175 align=absmiddle><font size=+2> , ou bien<img SRC="imageOBH.JPG" height=104 width=141 align=absmiddle>, ou encore&nbsp;</font><img SRC="imageAKR.JPG" height=182 width=113 align=absmiddle> <br><font size=+2>&nbsp;b) dont les lignes de coordonn&eacute;es donnent l'une des familles de droites et une famille d'hyperboles :</font> <br><img SRC="imageGN6.JPG" height=104 width=199 align=absmiddle></center> <font size=+2>&nbsp;&nbsp; c) dont les lignes de coordonn&eacute;es donnent l'autre famille de droites et une famille d'hyperboles :</font> <center><img SRC="imageE4F.JPG" height=93 width=195 align=absmiddle></center> <font size=+2>&nbsp;&nbsp; d) dont les lignes de coordonn&eacute;es sont les lignes de courbure :</font> <center><img SRC="imageSPQ.JPG" height=268 width=260></center> <font size=+2>avec&nbsp;<img SRC="imageO8V.JPG" height=30 width=182 align=absmiddle>.</font> <br><font size=+2>Ligne de striction :&nbsp;<img SRC="image7RA.JPG" height=182 width=212 align=absmiddle> avec&nbsp;<img SRC="image64A.JPG" height=61 width=134 align=absmiddle>.</font> <br><font size=+2>Param&eacute;trisation cylindrique dans le cas de lhyperbolo&iuml;de de r&eacute;volution :&nbsp;</font><img SRC="imageVJH.JPG" height=156 width=106 align=absmiddle> <br><font size=+2>&Eacute;l&eacute;ment de surface :&nbsp;</font></td> </tr> </table>  <p><font size=+2>L'hyperbolo&iuml;de &agrave; une nappe peut &ecirc;tre d&eacute;fini comme :</font> <br><font size=+2>&nbsp;1) une quadrique r&eacute;gl&eacute;e ayant un centre de sym&eacute;trie.</font> <br><font size=+2>&nbsp;2) la r&eacute;union des droites rencontrant trois droites 2 &agrave; 2 non coplanaires et non parall&egrave;les &agrave; un plan fixe.</font> <br><font size=+2>&nbsp;3) la r&eacute;union des droites (<i>MN</i>), les points <i>M</i> et <i>N</i> se d&eacute;pla&ccedil;ant &agrave; vitesse constante sur deux cercles parall&egrave;les.</font> <center><img SRC="hyperboloiddroites.JPG" height=264 width=224></center> <font size=+2>On r&eacute;alise donc une portion d'hyperbolo&iuml;de de r&eacute;volution en tendant des &eacute;lastiques entre deux tiges circulaires (les &eacute;lastiques &eacute;tant accroch&eacute;s de fa&ccedil;on r&eacute;guli&egrave;re sur les tiges).</font> <p><font size=+2>Ici, l'hyperbolo&iuml;de est la r&eacute;union des droites&nbsp;<img SRC="imageB6U.JPG" height=134 width=210 align=absmiddle> et&nbsp;</font><img SRC="imageC0F.JPG" height=123 width=145 align=absmiddle> <br><font size=+2>et &eacute;galement la r&eacute;union des droites&nbsp;<img SRC="image0HU.JPG" height=134 width=210 align=absmiddle> et&nbsp;<img SRC="image3G8.JPG" height=123 width=143 align=absmiddle>.</font> <br>&nbsp; <p><font size=+2>L'hyperbolo&iuml;de &agrave; une nappe <i>de r&eacute;volution</i> peut &ecirc;tre d&eacute;fini comme la surface de r&eacute;volution engendr&eacute;e par une droite non coplanaire avec l'axe de r&eacute;volution ou comme la surface de r&eacute;volution engendr&eacute;e par la rotation d'une hyperbole autour de son axe non transverse.</font> <br>&nbsp; <table BORDER COLS=2 WIDTH="100%" > <tr> <td> <center><img SRC="hyperboloid courbure.jpg" height=315 width=399></center> </td>  <td><font size=+2>Vue des <a href="../../courbes3d/lignes/courbure.shtml">lignes de courbure</a> de l'hyperbolo&iuml;de &agrave; une nappe ; ce ne sont des cercles et des hyperboles que dans le cas de l'hyperbolo&iuml;de de r&eacute;volution.</font></td> </tr> </table>  <br>&nbsp; <table BORDER COLS=2 WIDTH="100%" > <tr> <td><img SRC="h1 cercles.jpg" height=269 width=429></td>  <td><font size=+2>Vue de l'une des deux familles de cercles incluse dans tout H1, m&ecirc;me non de r&eacute;volution.</font></td> </tr> </table>  <p><font size=+2>A cause de sa propri&eacute;t&eacute; d'&ecirc;tre r&eacute;union de droites, l'hyperbolo&iuml;de &agrave; une nappe, comme le <a href="../paraboloidhyperbolic/paraboloidhyperbolic.shtml">parabolo&iuml;de hyperbolique</a> est tr&egrave;s utilis&eacute; en architecture.</font> <br>&nbsp; <table BORDER WIDTH="100%" > <tr> <td><img SRC="centrale_nucleaire.jpg" BORDER=0 height=318 width=480> <center>Tours de refroidissement de centrale nucl&eacute;aire.</center> </td>  <td><img SRC="chateau d eau.JPG" height=370 width=207> <center>Ch&acirc;teau d'eau (pr&egrave;s de Vannes)</center> </td>  <td><img SRC="kobe.gif" BORDER=0 height=420 width=293> <center>A Kob&eacute; au Japon</center> </td> </tr> </table>  <br>&nbsp; <table BORDER WIDTH="100%" > <tr> <td> <center><img SRC="hyperboloidstructure.jpg" BORDER=0 height=311 width=240></center> </td>  <td> <center><img SRC="hyperboloidfils.JPG" BORDER=0 height=318 width=240></center> </td>  <td> <center><img SRC="tabour.jpg" BORDER=0 height=270 width=300></center> </td> </tr> </table>  <center><img SRC="hyperboloidmachine.jpg" height=329 width=283></center>  <p><br> <table BORDER COLS=7 WIDTH="100%" BGCOLOR="#CCFFFF" > <tr> <td><a href="hyperboloid2.shtml">surface suivante</a></td>  <td><a href="../helicoidregle/helicoidregle.shtml">surface pr&eacute;c&eacute;dente</a></td>  <td><a href="../../courbes2d/courbes2d.shtml">courbes 2D</a></td>  <td><a href="../../courbes3d/courbes3d.shtml">courbes 3D</a></td>  <td><a href="../surfaces.shtml">surfaces</a></td>  <td><a href="../../fractals/fractals.shtml">fractals</a></td>  <td><a href="../../polyedres/polyedres.shtml">poly&egrave;dres</a></td> </tr> </table>  <p>&copy; <a href="mailto:rferreol@noos.fr">Robert FERR&Eacute;OL</a> , <a href="mailto: jacques.mandonnet@wanadoo.fr">Jacques MANDONNET</a> 2001 </body> </html> 
