<HTML> <!--This file created 12:51  28/04/98 by Claris Home Page version 2.0This file created 16:04  04/06/98 by Claris Home Page version 2.0--> <HEAD>    <BASE TARGET=aide>    <TITLE>Les triangles</TITLE> </HEAD> <BODY BACKGROUND="../images/BlancRay.gif"> <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD VALIGN=top WIDTH=120>          <CENTER><FONT SIZE="+2" COLOR="#000000"><B><IMG SRC="../images/logorep.gif" ALT="logo" WIDTH=100 HEIGHT=71 BORDER=0 ALIGN=middle></B></FONT></CENTER>       </TD>       <TD WIDTH=464>          <BLOCKQUOTE><A NAME=haut></A><FONT SIZE="+4" COLOR="#000000">Les             triangles</FONT></BLOCKQUOTE>       </TD>    </TR> </TABLE>  <TABLE BORDER=0 WIDTH=570>    <TR>       <TD>          <BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE><UL>                   <LI><A HREF="#def" TARGET=aide><B>D&eacute;finitions.</B></A></LI>                                      <LI><A HREF="#propriete" TARGET=aide><B>Propri&eacute;t&eacute;s.</B></A></LI>                                      <LI><A HREF="#part" TARGET=aide><B>Triangles                   particuliers.</B></A></LI>                                      <LI><A HREF="#angle" TARGET=aide><B>Calcul des                   angles d'un triangle.</B></A></LI>                                      <LI><A HREF="#cote" TARGET=aide><B>Calcul de                   c&ocirc;t&eacute;s.</B></A></LI>                                      <LI><A HREF="#construction" TARGET=aire><B>Constructions                   de triangles.</B></A></LI>                                      <LI><A HREF="#pyth" TARGET=aide><B>Propri&eacute;t&eacute;                   de Pythagore:</B></A>                                      <UL>                      <LI><A HREF="#theorpyth" TARGET=aide><B>Th&eacute;or&egrave;me.</B></A></LI>                                            <LI><A HREF="#recpyth" TARGET=aide><B>R&eacute;ciproque.</B></A></LI>                   </UL>                   </LI>                                      <LI><A HREF="#obtenu" TARGET=aide><B>Triangle                   obtenu avec un point d'un cercle et un de ses                   diam&egrave;tres.</B></A></LI>                                      <LI><A HREF="#milieu" TARGET=aide><B>Droite des                   milieux.</B></A></LI>                                      <LI><A HREF="#par" TARGET=aide><B>Droite                   parall&egrave;le &agrave; un                   c&ocirc;t&eacute;.</B></A></LI>                </UL>             </BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>       </TD>    </TR> </TABLE> </CENTER>  <P><FONT SIZE="+1" COLOR="#000000"><A NAME=def></A></FONT></P>  <P><FONT COLOR="#000000"><B>I D&eacute;finitions</B>:</FONT></P>  <BLOCKQUOTE><FONT COLOR="#000000">Un triangle est un </FONT><A HREF="poly.html" TARGET=aide><FONT COLOR="#000000">polygone</FONT></A><FONT COLOR="#000000">    &agrave; trois sommets.<BR>    Tout se compte par trois dans un triangle: 3 c&ocirc;t&eacute;s, 3    </FONT><A HREF="angle.html" TARGET=aide>angles</A>, 3 <A HREF="dpart.html#medianes" TARGET=aide>m&eacute;dianes</A>,    3 <A HREF="dmed.html" TARGET=aide>m&eacute;diatrices</A>, 3    <A HREF="dbis.html" TARGET=aide>bissectrices</A>, 3 <A HREF="ortho.html#def" TARGET=aide>hauteurs</A>,    3 fa&ccedil;ons de calculer son <A HREF="aire.html" TARGET=aide>aire</A>    dont la formule est (base x hauteur) / 2.</BLOCKQUOTE>  <P><A NAME=propriete></A></P>  <P><B>II Propri&eacute;t&eacute;s:</B></P>  <BLOCKQUOTE><B>1. </B>La somme des mesures des angles d'un triangle    est &eacute;gale &agrave; 180&#176;.        <P><B>2. </B>La somme des mesures de deux c&ocirc;t&eacute;s est    sup&eacute;rieure (plus grande) &agrave; la mesure du    troisi&egrave;me c&ocirc;t&eacute; (<A HREF="dis.html#inegal" TARGET=aide>in&eacute;galit&eacute;    triangulaire</A>).</P>        <P><B>3. </B>Droites particuli&egrave;res dans un triangle:</P>        <DL>       <DD>les <A HREF="dpart.html#medianes" TARGET=aide>m&eacute;dianes</A>       sont concourantes au <A HREF="centre.html#gravite" TARGET=aide><FONT COLOR="#000000">centre       de gravit&eacute;</FONT></A>.</DD>              <DD>les <A HREF="dmed.html" TARGET=aide>m&eacute;diatrices</A>       sont concourantes au <A HREF="centre.html#circonscrit" TARGET=aide><FONT COLOR="#000000">centre       du cercle circonscrit</FONT></A>.</DD>              <DD>les <A HREF="dbis.html" TARGET=aide>bissectrices</A> sont       concourantes au <A HREF="centre.html#inscrit" TARGET=aide><FONT COLOR="#000000">centre       du cercle inscrit</FONT></A>.</DD>              <DD>les <A HREF="ortho.html" TARGET=aide>hauteurs</A> sont       concourantes au point appel&eacute; <A HREF="ortho.html" TARGET=aide>orthocentre</A>.</DD>              <DT><A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></A><B><A NAME=part></A></B></DT>    </DL> </BLOCKQUOTE>  <P><B>III Triangles particuliers:</B></P>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=700>    <TR>       <TD WIDTH=450 HEIGHT=197>          <P><A NAME=equi></A>Un triangle &eacute;quilat&eacute;ral a          ses trois c&ocirc;t&eacute;s &eacute;gaux, ainsi que ses          trois angles (mesure &eacute;gale &agrave; 180/3 =          60&#176;). Ses m&eacute;dianes, m&eacute;diatrices,          bissectrices et hauteurs sont concourantes au m&ecirc;me          point. Les cercles inscrits et circonscrits sont donc          concentriques (= m&ecirc;me centre).</P>                    <P>&nbsp;</P>       </TD>       <TD WIDTH=200 HEIGHT=197>          <CENTER><IMG SRC="images/triang02.gif" WIDTH=169 HEIGHT=187 ALIGN=bottom></CENTER>       </TD>    </TR>    <TR>       <TD WIDTH=450 HEIGHT=177>          <P><A NAME=iso></A>Un triangle isoc&egrave;le a deux          c&ocirc;t&eacute;s &eacute;gaux ainsi que deux angles. Le          point commun &agrave; ces deux c&ocirc;t&eacute;s est          appel&eacute; <B>sommet principal</B>. La m&eacute;diane,          ainsi que la bissectrice et la hauteur qui passent par ce          sommet sont aussi appel&eacute;es <B>principales</B>. Ces          droites sont confondues avec la m&eacute;diatrice du          c&ocirc;t&eacute; oppos&eacute; au sommet principal. Cette          m&eacute;diatrice est l'axe de sym&eacute;trie du triangle          isoc&egrave;le.</P>       </TD>       <TD WIDTH=200 HEIGHT=177>          <CENTER><IMG SRC="images/triang01.gif" WIDTH=147 HEIGHT=192 ALIGN=bottom></CENTER>       </TD>    </TR>    <TR>       <TD WIDTH=450 HEIGHT=124>          <P><A NAME=rect></A>Un triangle rectangle poss&egrave;de un          <A HREF="angle.html#part1" TARGET=aide>angle droit</A>. Le          c&ocirc;t&eacute; oppos&eacute; &agrave; l'angle droit est          appel&eacute;          <FONT COLOR="#AF0000"><B>hypot&eacute;nuse</B></FONT><FONT COLOR="#000000">,          c'est toujours le c&ocirc;t&eacute; le plus long du triangle          rectangle. </FONT>La somme des mesures des deux autres          angles est 180 - 90 = 90&#176;. Ces deux angles sont          <A HREF="angle.html#part1" TARGET=aide>aigus</A> et          <A HREF="angle.html#part3" TARGET=aide>compl&eacute;mentaires</A>.          Les deux c&ocirc;t&eacute;s de l'angle droit sont aussi deux          <A HREF="ortho.html#rect" TARGET=aide>hauteurs</A> du          triangle. C'est pourquoi l'<A HREF="aire.html#triangle" TARGET=aide>aire</A>          d'un triangle rectangle est tr&egrave;s facile &agrave;          calculer ( = produit des mesures de ces deux          c&ocirc;t&eacute;s, divis&eacute; par 2).</P>                    <P>Le centre du cercle circonscrit est le milieu de          l'hypot&eacute;nuse (ou: son diam&egrave;tre est son          hypot&eacute;nuse). La longueur de la <A HREF="dpart.html#medianes" TARGET=aide>m&eacute;diane</A>          relative (en bleu sur la figure) &agrave;          l'hypot&eacute;nuse est &eacute;gale &agrave; la          moiti&eacute; de la longueur de l'hypot&eacute;nuse.</P>       </TD>       <TD WIDTH=200 HEIGHT=124>          <P><IMG SRC="images/triang03.gif" WIDTH=183 HEIGHT=183 ALIGN=bottom></P>       </TD>    </TR> </TABLE> </CENTER>  <BLOCKQUOTE><A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></A><A NAME=angle></A></BLOCKQUOTE>  <P><B>IV Calcul des angles d'un triangle:</B></P>  <BLOCKQUOTE>Pour calculer un angle d'un triangle, vous pouvez    utiliser:        <UL>       <LI>le <A HREF="angle.html#cos" TARGET=aide>cosinus</A> de       l'angle (apr&egrave;s l'avoir &eacute;ventuellement       calcul&eacute;). N&eacute;cessite l'utilisation d'une       calculatrice.</LI>              <LI>La somme des angles d'un triangle est &eacute;gale &agrave;       180&#176;. Si vous en connaissez deux, vous pouvez calculer le       troisi&egrave;me en soustrayant de 180&#176; la somme des       mesures des deux angles connus.</LI>              <LI>Les angles compl&eacute;mentaires (somme &eacute;gale       &agrave; 90&#176;) ou suppl&eacute;mentaires (somme       &eacute;gale &agrave; 180&#176;): si vous savez que deux angles       sont compl&eacute;mentaires (respectivement:       suppl&eacute;mentaires) et que vous connaissez la mesure x de       l'un, vous pouvez en d&eacute;duire en faisant 90-x       (respectivement:180-x) la mesure de l'autre.</LI>              <LI>Les angles aigus d'un triangle rectangle sont       compl&eacute;mentaires.</LI>              <LI>Les propri&eacute;t&eacute;s de certaines figures       particuli&egrave;res: angles de 60&#176; pour le triangle       &eacute;quilat&eacute;ral, angles de 45&#176; entre un       c&ocirc;t&eacute; du carr&eacute; et l'une de ses diagonales,       deux angles &eacute;gaux dans le triangle isoc&egrave;le (si la       mesure x de l'angle principal est connu, vous calculez la       mesure de chacun des angles &eacute;gaux en faisant (180-x)/ 2       ).</LI>              <LI>une bissectrice: elle partage un angle dont on connait la       mesure x en deux angles de m&ecirc;me mesure x/2.</LI>    </UL>        <P><FONT COLOR="#AF0000"><B>Attention:</B></FONT> la mesure d'un    angle obtenu &agrave; l'aide du <A HREF="angle.html#rap" TARGET=aide>rapporteur</A>    n'est pas d&eacute;montr&eacute;e. Vous pouvez cependant utiliser    cette m&eacute;thode pour v&eacute;rifier vos calculs.</P>        <P><A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></A><A NAME=cote></A></P></BLOCKQUOTE>  <P><B>V Calcul de c&ocirc;t&eacute;s d'un triangle:</B></P>  <BLOCKQUOTE>Pour calculer la longueur d'un c&ocirc;t&eacute; d'un    triangle, vous pouvez utiliser:        <UL>       <LI>l'&eacute;galit&eacute;: le c&ocirc;t&eacute; dont vous       cherchez la longueur est &eacute;gal &agrave; un segment       d&eacute;j&agrave; connu (ou pour lequel vous pouvez       d&eacute;montrer l'&eacute;galit&eacute;).</LI>              <LI>un triangle rectangle qui a pour c&ocirc;t&eacute; le       c&ocirc;t&eacute; &eacute;tudi&eacute;. Ce qui permet       l'utilisation du <A HREF="angle.html#cos" TARGET=aide>cosinus</A>       (si vous connaissez la mesure d'un des angles aigus du triangle       rectangle) ou du th&eacute;or&egrave;me de Pythagore (<A HREF="#pyth" TARGET=aide>voir       plus loin dans cette page</A>).</LI>              <LI>le th&eacute;or&egrave;me sur les droites parall&egrave;les       coupant deux droites s&eacute;cantes (<A HREF="#par" TARGET=aide>voir       plus loin dans cette page</A>). Ce qui d&eacute;termine des       <A HREF="quot.html" TARGET=aide>quotients &eacute;gaux</A>       (a/b=c/d). Si vous connaissez a, b et c vous pouvez calculer d.       Plus g&eacute;n&eacute;ralement: si vous connaissez trois       termes de ces quotients, vous pouvez calculer le       quatri&egrave;me.</LI>              <LI>le segment des milieux ( <A HREF="#mil" TARGET=aide>voir       plus loin da</A><A HREF="#milieu" TARGET=aide>n</A><A HREF="#mil" TARGET=aide>s       cette page</A>). Si vous connaissez la longueur de ce segment,       vous pouvez en d&eacute;duire la longueur du c&ocirc;t&eacute;       qui lui est parall&egrave;le (en multipliant sa mesure par       2).</LI>    </UL>        <P><A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></A><A NAME=construction></A></P></BLOCKQUOTE>  <P><B>VI Constructions de triangles:</B></P>  <BLOCKQUOTE><B>1. <I>Triangles quelconques:</I></B>        <BLOCKQUOTE><B>a. </B>Nous connaissons les mesures des trois       c&ocirc;t&eacute;s: il faut que la propri&eacute;t&eacute;       <B>2.</B> de <A HREF="#propriete" TARGET=aide>la section sur       les propri&eacute;t&eacute;s</A> soit v&eacute;rifi&eacute;e.       Exemple: construire ABC tel que AB=6cm, BC=3cm et AC=5cm       (v&eacute;rifier que la somme des mesures de 2       c&ocirc;t&eacute;s est sup&eacute;rieure &agrave; la mesure du       troisi&egrave;me)</BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=700 HEIGHT=290>    <TR>       <TD WIDTH=450 HEIGHT=290>          <P>Nous pouvons commencer par tracer n'importe quel          c&ocirc;t&eacute;, puisqu'ils sont connus tous les trois.          Commen&ccedil;ons par &#91;AC&#93;: avec la r&egrave;gle et          un double d&eacute;cim&egrave;tre.</P>                    <P>Pour trouver le troisi&egrave;me sommet B nous utilisons          le compas. Tracez deux arcs de cercle: d'abord en pointant A          avec un rayon de 6cm (AB=6cm) puis en pointant C avec un          rayon de 3cm (CB=BC=3cm).</P>                    <P>A l'intersection des deux arc se trouve le point B.</P>                    <P>Il y a deux solutions (repr&eacute;sent&eacute;es,          ci-contre, en noir puis en bleu). Vous n'en choisissez          qu'une, bien s&ucirc;r!</P>       </TD>       <TD WIDTH=210 HEIGHT=290>          <CENTER><IMG SRC="images/triang04.gif" WIDTH=204 HEIGHT=289 ALIGN=bottom></CENTER>       </TD>    </TR> </TABLE> </CENTER>  <BLOCKQUOTE><A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></A>        <BLOCKQUOTE><B>b.</B> Nous connaissons les mesures de deux       c&ocirc;t&eacute;s et d'un angle: savoir utiliser un <A HREF="angle.html#rap" TARGET=aide>rapporteur</A>       est ici (comme dans le point suivant) bien utile. Exemple:       construire ABC tel que AB=6,5cm, AC=7cm et l'angle en A mesure       40&#176;.</BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=700 HEIGHT=215>    <TR>       <TD WIDTH=370 HEIGHT=212>          <OL>             <LI>Tracez le segment &#91;AB&#93; (de longueur             6,5cm).</LI>                          <LI>Placez le centre du rapporteur en A et tournez le             rapporteur de fa&ccedil;on que son diam&egrave;tre soit             align&eacute; avec (AB).</LI>                          <LI>Tracez un petit trait en face de la graduation 40,             enlevez le rapporteur et tracez une droite passant par A             et le petit trait.</LI>                          <LI>Portez sur cette droite 7cm &agrave; partir de A.             Vous obtenez le sommet C.</LI>                          <LI>Tracez la droite (BC) (ou le segment &#91;BC&#93;             ).</LI>          </OL>                    <P>Note: il existe une seconde solution de l'autre          c&ocirc;t&eacute; de (AB).</P>       </TD>       <TD WIDTH=302 HEIGHT=212>          <P><IMG SRC="images/triang05.gif" WIDTH=287 HEIGHT=238 ALIGN=bottom></P>       </TD>    </TR> </TABLE> </CENTER>  <BLOCKQUOTE><A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></A>        <BLOCKQUOTE><B>c.</B> Nous connaissons les mesures d'un       c&ocirc;t&eacute; et de deux angles. Exemple: construire ABC       tel que AB=7cm, l'angle en A mesure 40&#176; et l'angle en B       mesure 70&#176;.</BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=700 HEIGHT=210>    <TR>       <TD WIDTH=370 HEIGHT=209>          <OL>             <LI>Tracez &#91;AB&#93; (de longueur 7cm).</LI>                          <LI>Utilisez le rapporteur comme au b) ci-dessus.</LI>                          <LI>Comme au b) ci-dessus.</LI>                          <LI>Placez le centre du rapporteur en B. Tournez le             rapporteur jusqu'&agrave; ce que la graduation 70 soit             sur &#91;AB&#93; (le segment est parfois trop court; dans             ce cas prolongez le avant de placer le rapporteur).             Tracez un petit trait en face de la graduation 0.</LI>                          <LI>Enlever le rapporteur et tracez la droite qui passe             par B et le petit trait. Cette droite coupe la droite             trac&eacute;e au 3 en un point qui est le sommet C.</LI>          </OL>                    <P>Note: une seconde solution existe....</P>       </TD>       <TD WIDTH=311 HEIGHT=209>          <P><IMG SRC="images/triang06.gif" WIDTH=307 HEIGHT=259 ALIGN=bottom></P>       </TD>    </TR> </TABLE> </CENTER>  <BLOCKQUOTE><A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom><A NAME=constpart></A></A>        <P><B>2. <I>Triangles particuliers (quelques exemples):</I> </B>Si    nous savons que (le triangle &agrave; construire est ici    appel&eacute; ABC):</P>        <BLOCKQUOTE><B>a)<I>Les trois c&ocirc;t&eacute;s sont       &eacute;gaux:</I></B> le triangle est       &eacute;quilat&eacute;ral. Vous tracez le premier       c&ocirc;t&eacute; (&#91;AB&#93; par exemple) &agrave; la bonne       longueur puis avec le compas dont la distance entre les pointes       est &eacute;gale &agrave; AB, pointe s&egrave;che en A, tracez       un arc d'un c&ocirc;t&eacute; de &#91;AB&#93;; pointe       s&egrave;che en B, tracez un arc du m&ecirc;me       c&ocirc;t&eacute;. Les deux arcs se coupent au troisi&egrave;me       sommet du triangle &agrave; construire.              <P><B>b)<I>Les trois angles sont &eacute;gaux:</I></B> il nous       faut tracer un triangle &eacute;quilat&eacute;ral mais il nous       faut aussi la mesure d'un c&ocirc;t&eacute;: si vous la       connaissez, vous agissez comme en a) sans vous occuper des       angles (de toute fa&ccedil;on ils auront la m&ecirc;me mesure:       60&#176;). Sinon il vous faut d'abord la calculer...</P>              <P><B>c) <I>Le triangle a deux c&ocirc;t&eacute;s &eacute;gaux       de longueur connue</I></B> et nous connaissons la mesure de       l'angle principal (en A). Tracez le premier c&ocirc;t&eacute;       &#91;AB&#93; par exemple, A &eacute;tant le sommet principal.       Portez avec le rapporteur centr&eacute; en A la mesure de       l'angle et tracez le support du deuxi&egrave;me       c&ocirc;t&eacute; (demi droite d'origine A). Portez sur cette       demi droite, &agrave; partir de A la mesure du       c&ocirc;t&eacute; &#91;AC&#93;.</P>              <P><B>d) <I>Le triangle est rectangle en A</I></B>, que le       c&ocirc;t&eacute; &#91;AC&#93; mesure 6cm et que       l'hypot&eacute;nuse mesure 9cm. Dans ce cas l'hypot&eacute;nuse       est &#91;BC&#93;. Deux m&eacute;thodes:</P></BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=650>    <TR>       <TD COLSPAN=2 width=99>          <P>-<A HREF="dper.html#trace" TARGET=aide>Tracez l'angle          droit</A> d'abord (1)( avec l'&eacute;querre ou non, tout          d&eacute;pend de la pr&eacute;cision que vous recherchez).          Portez &agrave; partir de A, sur l'un des c&ocirc;t&eacute;s          de l'angle droit, le point C tel que AC=6cm (2). Avec le          compas muni d'un rayon de 9cm, pointe s&egrave;che en C,          tracez un arc de cercle qui coupe l'autre c&ocirc;t&eacute;          de l'angle droit au point B (3).</P>                    <P><I>Remarque:</I> la figure ci-contre est <A HREF="prop.html#echelle" TARGET=aide>&agrave;          l'&eacute;chelle</A> 1/2</P>       </TD>       <TD WIDTH=200>          <CENTER><IMG SRC="images/triang10.gif" WIDTH=123 HEIGHT=180 ALIGN=bottom></CENTER>       </TD>    </TR>    <TR>       <TD>          <P>-Tracez l'hypot&eacute;nuse &#91;BC&#93; d'abord. En          d&eacute;terminer son <A HREF="milieu.html#construction du milieu" TARGET=aide>milieu</A>          (1). Tracer le cercle de diam&egrave;tre l'hypot&eacute;nuse          (2). Avec la pointe s&egrave;che plac&eacute;e en C et un          rayon de 6cm coupez le cercle en un point A (3)(il en existe          deux <A HREF="symo.html" TARGET=aide>sym&eacute;trique</A>          par rapport &agrave; (BC), en choisir un). Tracer          &#91;AC&#93; et &#91;AB&#93;. Le triangle obtenu ABC est          rectangle en A et a les dimensions impos&eacute;es.</P>       </TD>       <TD COLSPAN=2 width=300>          <CENTER><IMG SRC="images/triang11.gif" WIDTH=280 HEIGHT=200 ALIGN=bottom></CENTER>       </TD>    </TR> </TABLE> </CENTER>  <BLOCKQUOTE><A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></A><A NAME=pyth></A></BLOCKQUOTE>  <P><B>VII Propri&eacute;t&eacute; de Pythagore:<I><A NAME=theorpyth></A></I></B></P>  <BLOCKQUOTE><B><I>Le th&eacute;or&egrave;me:</I></B></BLOCKQUOTE>  <CENTER><B>Si </B><FONT COLOR="#00AF00"><B>ABC est rectangle en A </B></FONT><FONT COLOR="#000000"><B>alors </B></FONT><FONT COLOR="#AF0000"><B> BC&#178;=AB&#178;+AC&#178;</B></FONT></CENTER>  <BLOCKQUOTE>&nbsp;La propri&eacute;t&eacute; de Pythagore ne se    rencontre que dans les triangles rectangles et seulement dans ces    triangles. Si vous travaillez dans un triangle quelconque, vous ne    pouvez pas l'utiliser directement: il vous faut d&eacute;composer    ce triangle en triangles rectangles (en tra&ccedil;ant une hauteur    par exemple).        <P>Cette propri&eacute;t&eacute; est tr&egrave;s utile pour    calculer la longueur d'un segment. Il faut que ce segment soit    l'un des c&ocirc;t&eacute;s d'un triangle rectangle (j'insiste..)    et que vous connaissiez les longueurs des deux autres    c&ocirc;t&eacute;s.</P>        <P><I><U>Exemple:</U></I></P>        <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=650>       <TR>          <TD WIDTH=295 HEIGHT=139>             <P><FONT SIZE="-1">Soit le segment &#91;AB&#93; de             longueur 10cm et le point H de ce segment situ&eacute;             &agrave; 3cm de A.</FONT></P>                          <P><FONT SIZE="-1">Tracer la droite (d) perpendiculaire             en H &agrave; &#91;AB&#93; et placer sur (d) le point C             tel que HA=5cm.</FONT></P>                          <P><FONT SIZE="-1">Calculer la longueur des             c&ocirc;t&eacute;s de ABC.</FONT></P>                          <P>&nbsp;</P>          </TD>          <TD WIDTH=325 HEIGHT=139>             <P><IMG SRC="images/triang07.gif" WIDTH=318 HEIGHT=227 ALIGN=bottom></P>          </TD>       </TR>    </TABLE>    </CENTER>        <P>ABC est quelconque jusqu'&agrave; preuve du contraire.. Nous    connaissons d&eacute;j&agrave; la longueur du c&ocirc;t&eacute;    &#91;AB&#93; qui est 10cm.</P>        <P>Comme (d) est perpendiculaire &agrave; &#91;AB&#93; en H alors    AHC (respectivement CHB) est rectangle en H.</P>        <P>Comme AHC (respectivement CHB) est rectangle en H alors    AC&#178;=HA&#178;+HC&#178; (respectivement :    CB&#178;=HC&#178;+HB&#178;).</P>        <P>Donc: AC&#178;=3&#178;+5&#178; ; AC&#178;=9+25 ;    <B>AC&#178;=34</B> ; AC= 5,8cm environ (&agrave; 0,1cm pr&egrave;s    par d&eacute;faut) (utilisation de la calculatrice avec la touche    racine carr&eacute;e: entrez 34 et appuyez sur la touche racine    carr&eacute;e). De m&ecirc;me pour CB&#178; mais il faut calculer    d'abord la longueur de &#91;HB&#93;... (c'est facile!). Nous    trouvons: <B>CB&#178;=74 </B>et CB=8,6cm &agrave; 0,1cm    pr&egrave;s par d&eacute;faut.<A NAME=rem1></A><BR>    <I><U>Remarque:</U></I> ABC est-il rectangle finalement?<BR>    Quelle est son c&ocirc;t&eacute; le plus long?&nbsp;&#91;AB&#93;    puisque AB=10cm, AC~5,8cm et CB~8,6cm<BR>    Supposons que ABC est rectangle. Dans ce cas son hypot&eacute;nuse    ne peut &ecirc;tre que &#91;AB&#93; et donc, selon le    th&eacute;or&egrave;me de Pythagore: AB&#178; doit &ecirc;tre    &eacute;gal &agrave; AC&#178;+CB&#178; .<BR>    Or AB&#178;= 100 et AC&#178;+CB&#178;= 34+74 et donc AB&#178;    n'est pas &eacute;gal &agrave; AC&#178;+CB&#178; et <I>ABC n'est    pas rectangle</I> en C (ni en A ou en B puisque dans ces deux cas,    le c&ocirc;t&eacute; oppos&eacute; n'est pas le plus long et ne    peut donc pr&eacute;tendre au titre d'hypot&eacute;nuse !).</P>        <P><A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></A><B><I><A NAME=recpyth></A></I></B></P>        <P><B><I>La r&eacute;ciproque:</I></B></P></BLOCKQUOTE>  <CENTER><B>Si </B><FONT COLOR="#00AF00"><B>dans un triangle ABC l'&eacute;galit&eacute; AB<SUP>2</SUP>+AC<SUP>2</SUP>=BC<SUP>2 </SUP>est v&eacute;rifi&eacute;e</B></FONT>  <P><B>Alors </B><FONT COLOR="#AF0000"><B>le triangle ABC est rectangle en A.</B></FONT></P></CENTER>  <BLOCKQUOTE><I><U>Exemple:</U></I> Le triangle EDF tel que EF=30cm,    FD=40cm et ED=50cm est-il rectangle?<BR>    Le plus grand c&ocirc;t&eacute; est &#91;ED&#93;.&nbsp;Si EDF est    rectangle, son hypot&eacute;nuse ne peut &ecirc;tre que    &#91;ED&#93;.<BR>    Nous avons:        <BLOCKQUOTE>ED&#178;=50&#178;=2500<BR>       EF&#178;+FD&#178;=30&#178;+40&#178;=900+1600=2500</BLOCKQUOTE>        <P>Comme, dans EDF, ED&#178;=EF&#178;+FD&#178; alors EDF est    rectangle en F (qui est le sommet oppos&eacute; &agrave;    l'hypot&eacute;nuse &#91;ED&#93;.</P>        <P>Pour reprendre la <A HREF="#rem1" TARGET=aide>remarque de    l'exemple pr&eacute;c&eacute;dent</A>: ABC est-il un triangle    rectangle?</P>        <BLOCKQUOTE><BLOCKQUOTE>Nous avions calcul&eacute;          AC<SUP>2</SUP>=34 et BC<SUP>2</SUP>=74 et nous avions AB=10,          d'o&ugrave; AB<SUP>2</SUP>=100. Dans un triangle rectangle          le c&ocirc;t&eacute; le plus long est toujours          l'hypot&eacute;nuse. V&eacute;rifions si &#91;AB&#93; est          une hypot&eacute;nuse:<BR>          Premier membre de l'&eacute;galit&eacute;: AC<SUP>2</SUP>+          BC<SUP>2</SUP>=34+74=108<BR>          Deuxi&egrave;me membre de l'&eacute;galit&eacute;:          AB<SUP>2</SUP>=100</BLOCKQUOTE>              <P>Cette fois AB<SUP>2</SUP> est diff&eacute;rent de       AC<SUP>2</SUP>+ BC<SUP>2</SUP> .&nbsp;les hypoth&egrave;ses du       th&eacute;or&egrave;me r&eacute;ciproque ci dessus       n'&eacute;tant pas v&eacute;rifi&eacute;es, nous ne pouvons pas       l'utiliser.&nbsp;Nous devons donc utiliser le       th&eacute;or&egrave;me de Pythagore, en supposant que le       triangle est rectangle ( ce qui est apparemment absurde) et       raisonner comme montr&eacute; dans la remarque en question.</P></BLOCKQUOTE>        <P>Pour simplifier les choses, il est cependant admis que nous    r&eacute;digions de la fa&ccedil;on suivante: comme AB<SUP>2    </SUP>n'est pas &eacute;gal &agrave; AC<SUP>2</SUP>+    BC<SUP>2</SUP> alors ABC n'est pas rectangle en C.</P>        <P><A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></A><A NAME=obtenu></A></P></BLOCKQUOTE>  <P><B>VIII Triangle obtenu avec un point d'un cercle et l'un de ses diam&egrave;tres:</B></P>  <BLOCKQUOTE><B><I>Le th&eacute;or&egrave;me:    </I></B><I>(important)</I>        <BLOCKQUOTE><B><I>Si </I></B><FONT COLOR="#00AF00"><B><I>un       triangle est obtenu en joignant un point d'un cercle aux       extr&eacute;mit&eacute;s d'un diam&egrave;tre</I></B></FONT>              <P><FONT COLOR="#000000"><B><I>Alors       </I></B></FONT><FONT COLOR="#AF0000"><B><I>ce triangle est       rectangle en ce point. </I></B></FONT></P></BLOCKQUOTE></BLOCKQUOTE>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=600>    <TR>       <TD>          <P><BR>          </P>                    <P><FONT COLOR="#000000"><B><I>Donn&eacute;es:</I></B></FONT></P>                    <BLOCKQUOTE><FONT COLOR="#000000">Un cercle, un point M sur             le cercle, un diam&egrave;tre &#91;AB&#93; de ce             cercle.</FONT></BLOCKQUOTE>                    <P><FONT COLOR="#000000"><B><I>Figure:</I></B></FONT><BR>          Sur la figure ci-contre nous avons plac&eacute; plusieurs          points M (indic&eacute;s de 1 &agrave; 4 pour les          diff&eacute;rencier) et indiqu&eacute; l'angle droit          obtenu.</P>       </TD>       <TD>          <BLOCKQUOTE><IMG SRC="images/triang12.gif" WIDTH=187 HEIGHT=184 ALIGN=bottom></BLOCKQUOTE>       </TD>    </TR> </TABLE> </CENTER>  <BLOCKQUOTE><I><U>Remarque:</U> </I> cette propri&eacute;t&eacute;    peut s'&eacute;noncer aussi:        <BLOCKQUOTE><B>Si </B><FONT COLOR="#00AF00"><B>le cercle       circonscrit d'un triangle a pour diam&egrave;tre un       c&ocirc;t&eacute; de ce triangle</B></FONT>              <P><B>Alors </B><FONT COLOR="#AF0000"><B>ce triangle est       rectangle et le c&ocirc;t&eacute; diam&egrave;tre est son       hypot&eacute;nuse</B></FONT><B>.</B></P></BLOCKQUOTE>        <P><A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></A><A NAME=milieu></A></P></BLOCKQUOTE>  <P><B>IX Droite et segment des milieux:</B></P>  <BLOCKQUOTE><U>Th&eacute;or&egrave;me:</U>&nbsp; <B>Si    </B><FONT COLOR="#003300"><B>une droite passe par les milieux de 2    c&ocirc;t&eacute;s d'un triangle</B></FONT><B> alors    </B><FONT COLOR="#CC0000"><B>elle est parall&egrave;le au    troisi&egrave;me c&ocirc;t&eacute;</B></FONT><B>.</B>        <P>Et on d&eacute;montre que : La longueur du segment qui joint    les milieux de deux c&ocirc;t&eacute;s d'un triangle a pour    longueur la moiti&eacute; de la longueur du troisi&egrave;me    c&ocirc;t&eacute;.</P>        <P><U>R&eacute;ciproque:</U> <B>Si    </B><FONT COLOR="#006600"><B>une droite passe par le milieu d'un    c&ocirc;t&eacute; d'un triangle, parall&egrave;lement &agrave; un    deuxi&egrave;me c&ocirc;t&eacute;</B></FONT><B> alors    </B><FONT COLOR="#CC0000"><B>cette droite passe par le milieu du    troisi&egrave;me c&ocirc;t&eacute;</B>..</FONT></P>        <P><FONT COLOR="#000000">Ces deux propri&eacute;t&eacute;s sont    tr&egrave;s utilis&eacute;es...</FONT></P>        <P><A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut2.gif" WIDTH=10 HEIGHT=10 ALIGN=bottom></A><A NAME=par></A></P></BLOCKQUOTE>  <P><B>X Droite parall&egrave;le &agrave; un c&ocirc;t&eacute;: (Propri&eacute;t&eacute; de Thal&egrave;s)</B></P>  <CENTER><TABLE BORDER=0 WIDTH=650 HEIGHT=180>    <TR>       <TD WIDTH=290 HEIGHT=180>          <P>Les donn&eacute;es sont:</P>                    <UL>             <LI>le triangle ABC.</LI>                          <LI>(xx') parall&eacute;le au c&ocirc;t&eacute;             (BC).</LI>                          <LI>(xx') coupe &#91;AB&#93; en M et &#91;AC&#93; en             N.</LI>          </UL>                    <P>Ces donn&eacute;es d&eacute;terminent deux triangles: AMN          et ABC dont les longueurs des c&ocirc;t&eacute;s sont          prortionnelles. Nous avons les &eacute;galit&eacute;s de          rapports ci-contre.</P>       </TD>       <TD WIDTH=340 HEIGHT=180>          <P><IMG SRC="images/triang08.gif" WIDTH=334 HEIGHT=218 ALIGN=bottom></P>       </TD>    </TR> </TABLE> </CENTER>  <BLOCKQUOTE>La propri&eacute;t&eacute; peut se pr&eacute;senter avec    les donn&eacute;es suivantes:        <UL>       <LI>Les droites (d1) et (d2) s&eacute;cantes en A.</LI>              <LI>Les droites parall&egrave;les (xx') et (yy') qui coupent       (d1) en M et B, et (d2) en N et C.</LI>    </UL>        <P>Si vous inversez tous les quotients, les &eacute;galit&eacute;s    demeurent.</P>        <P>En pratique, vous n'utiliserez qu'une &eacute;galit&eacute;    &agrave; la fois, ce qui est possible de trois    mani&egrave;res:</P></BLOCKQUOTE>  <CENTER><IMG SRC="images/triang09.gif" WIDTH=302 HEIGHT=32 ALIGN=bottom></CENTER>  <BLOCKQUOTE>En utisant les propri&eacute;t&eacute;s des <A HREF="quot.html" TARGET=aide>quotients    &eacute;gaux</A> vous pouvez calculer une distance en en    connaissant trois autres: calcul de AM en connaissant AB, AN et AC    avec la premi&egrave;re &eacute;galit&eacute;, par exemple.</BLOCKQUOTE>  <CENTER>&nbsp;<A HREF="#haut" TARGET=aide><IMG SRC="../images/debut.gif" ALT="haut" WIDTH=35 HEIGHT=35 BORDER=1 ALIGN=bottom></A>  <P><IMG SRC="../images/separ.gif" WIDTH=300 HEIGHT=10 ALIGN=bottom><FONT SIZE="-2">&copy; Lallet G&eacute;rard 1998-2002</FONT></P></CENTER>  <P></P> </BODY> </HTML> 
