Dans le cadre d'un automate cellulaire à 2 dimensions ayant une topologie de type voisinage de Moore (voir annexe), il s'agit de trouver un ensemble d'états et la fonction de transition de l'automate permettant de simuler le problème décrit ci-après.
Dans un monde structuré par des dimensions spatiales et une dimension temps, chaque point (espace-temps) est caractérisé par un état. Il existe trois familles d'états :
Une zone est une portion d'espace connexe dont les états de tous ses points sont d'un même genre. Nous appellerons très naturellement une membrane toute zone dont les états sont du genre membrane, obstacle toute zone dont les états sont du genre obstacle, et vide toute zone de genre vide.
Le monde que nous étudions est composé de la façon suivante :
Nous faisons l'hypothèse qu'est définie, dans une zone vide, une notion de pression. Au départ, la pression à l'intérieur est supposée égaler la pression à l'extérieur.
A un instant t donné, la pression à l'intérieur la membrane augmente. Celle-ci réagit en augmentant son volume intérieur, jusqu'à ce que les pressions soient à nouveau équilibrées. Lors de cette croissance, la première priorité est de maintenir la forme générale de la membrane ; la seconde priorité, moindre, consiste à conserver la position de son centre de gravité.
Un obstacle ne bouge pas. Si la membrane touche un obstacle en cours de croissance, elle continue sa croissance mais en bougeant son centre de gravité (priorité 1), si possible ; sinon elle se déforme.
Représenter le problème général à l'aide d'un automate cellulaire à 2 dimensions ayant une topologie de type voisinage de Moore. L'intérieur de la zone membrane est supposé avoir une aire d'au moins 1 cellule ; il peut être arbitrairement grand.
Il s'agit dans un premier temps de définir tous les états utiles à la représentation du problème (en particulier comment définir une notion de pression), puis de définir la fonction de transition locale qui satisfera toutes les contraintes exposées dans l'exposé du problème général : maintien de la forme de la membrane, maintien du centre de gravité.
L'outil de simulation d'automates cellulaires préconisé est STEP/SIMP.
Si nous construisons la fonction K : N x Cn -> En telle que K(t, (c1, c2, ..., cn)) = (O(t, c1), O(t, c2), ..., O(t, cn)), i.e. la fonction qui associe à un n-uplet de cellules le n-uplet de leurs états respectifs à l'instant t, alors l'automate cellulaire doit toujours satisfaire la propriété suivante :
quel que soit t, O(t+1, c) = T( K(t, V(c) ) )
Autrement dit, l'état d'une cellule à un instant t+1 ne dépend que de l'état de ses cellules voisines à l'instant t ; la fonction de transition traduit cette dépendance. A l'instant initial t=0, l'état des cellules doit être donné.
Pour le TER, l'espace des cellules est un simple tableau de cellules, du style :
| y | y | y | ||||||||||||
| x | x | x | ||||||||||||
| x | c | x | ||||||||||||
| y | x | x | x | y | y | |||||||||
| y | y | a |
Sur ce schéma est représenté le voisinage de Moore de la cellule 'c' : ce sont toutes les cellules marquées d'un 'x', cellule 'c' comprise (il y a donc 9 cellules voisines) ; cet espace est un hyper-tore du plan si le bord horizontal en haut est supposé connecté au bord horizontal en bas, et que le bord vertical gauche est connecté au bord vertical droit. Dans ce cas, les cellules voisines au sens de Moore de la cellule 'a' sont, en plus d'elle-même, les cellules marquées d'un 'y'.