Abstract.
We prove that if it is decidable whether X^* is recognizable for a recognizable subset X of a free partially commutative monoid, then it is decidable whether a recognizable subset of a free partially commutative monoid possesses the finite power property. We prove that if any trace of a set X is connected, we can decide whether X possesses the Finite Power Property. Finally, it is also shown that if X is a finite set containing at most four traces or at most two connected traces, it is decidable whether X ^* is recognizable.

Résumé.
Nous montrons que s'il est décidable, dans un monoïde libre partiellement commutatif, de savoir si l'étoile d'un ensemble reconnaissable est aussi reconnaissable, alors il est décidable de savoir si un sous ensemble d'un monoïde libre partiellement commutatif possède la propriété de puissance finie. Nous montrons également que pour un ensemble fini X contenant au plus quatre traces ou au plus deux traces connexes, on peut décider si X* est reconnaissable.

@article{MR1995,
  author = {Métivier, Y. and Richomme, G.},
  title = {New results on the Star Problem in Trace Monoids},
  journal = {Information and Computation},
  year = {1995},
  volume = {119},
  number = {2},
  pages = {240-251},
}