Елена Зеликовна Скворцова прислала мне написанный ей текст "Тригонометрические многочлены" с просьбой выложить в интернете, которую я и выполняю.

Текст, насколько я понимаю, предназначен для школьников (автор работает в ВЗМШ), и представляет собой попытку исследовать свойства тригонометрических многочленов, оставаясь в рамках школьной программы (в расширенном понимании этого слова - включая многочлены, деление с остатком).

Тригонометрические многочлены можно записывать как суммы sin nx и cos nx (как ряд Фурье с конечным числом ненулевых членов), а также как многочлены от cos x и sin x, это один и тот же класс функций. Во втором представлении видно, что рассматриваются многочлены от двух переменных по модулю кратных x*x+y*y-1 (или, в терминах функций, сужения многочленов на окружность). (Всюду рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами.)

Естественно спросить, какие элементы в этом кольце обратимы, какие неприводимы, однозначно ли разложение на неприводимые. Это можно делать разными способами. Можно перейти к переменным z=x+iy и w=x-iy и переписать многочлен в этих переменных. При этом x*x+y*y-1 превратится в zw=1, и видно, что комплексный вариант интересующего нас кольца есть просто многочлены от z и 1/z, про которые всё понятно. После этого надо разбираться, чему сооответствуют вещественные тригонометрические многочлены. Ответы: обратимы только константы, неприводимы многочлены первой степени (вида a*sin x + b*cos x + c), но разложение на них неоднозначно: скажем, sin x * sin x = (1-cos x)(1+cos x). Более точно, многочлены указанного вида, не обращающиеся в нуль, определяются однозначно, а остальные --- нет; такое разложение можно получить, рассмотрев все нули на окружности, объединив их в пары произвольным образом (!) и для каждой пары проведя прямую и взяв соответствующий многочлен первой степени.

Е.З.Скворцова предлагает другой способ, избегающий рассмотрения комплексных чисел; основная идея его такова. Всякий многочлен от cos x и sin x можно записать как многочлен от cos x/2 и sin x/2, при этом все степени будут чётными. Более того, получившийся многочлен можно сделать однородным, умножая недостающие степени на сумму квадратов синуса и косинуса x/2. А однородный многочлен уже можно разложить на линейные и квадратные множители; сгруппировав произвольно линейные множители в квадратные, можно получить одни квадратные, которые соответствуют тригонометрическим многочленам от x первой степени.

Когда в (математической) школе или на младших курсах объясняют теорему о единственности разложения на множители, всегда возникает некоторое непонимание: зачем это доказывать, как же это может быть иначе, и стараются привести примеры, когда разложение неоднозначно (кажется, Радемахер и Теплиц в "Числах и фигурах" приводят пример чётных чисел, где 10*6=2*30; более честный пример --- числа вида a+b*sqrt(-5), где 2*3=(1+sqrt(-5))(1-sqrt(-5)). В английской википедии приводится пример кольца R[x,y,z,w]/(xy-zw), где есть разложения xy = zw. Но кольцо тригонометрических многочленов, конечно, более естественный и знакомый объект, и описание разложений там тоже интересно (возможность перехода от одной пары прямых к другой соответствует тому, что если a=0,b=0,c=0,d=0 - уравнения сторон четырёхугольника, то ac-(lambda)bd=0 при подходящем lambda будет уравнение описанной окружности).

Возвращаясь к тексту: основная проблема с ним в том, что непонятен адресат. В хорошем математическом классе этот пример можно было бы разобрать, но тогда уж стоит рассматривать его в более широком контексте (и не так длинно). Сама задача могла бы быть хорошей темы для "курсовой работы" способному школьнику, в ходе которой он мог бы постепенно сам это всё переоткрыть. Но в "массовой школе" или даже в рамках ВЗМШ (если речь не идёт об индивидуальных занятиях со способными школьниками) это вряд ли "пойдёт"...