ࡱ>    c "_jbjbSS }11oGH8 ]uuut{{{{||p~{W8ČizVVVVVVV,IZ=\2 WuLi W#FČY@8#F#F#FPuČVfvyV#F#F I NVuV~c{{GV$ Cours dinformatique Introduction la thorie des langages J. Chauch, M. Lafourcade Octobre 1998 Table des matires  TOC \o "1-3" Introduction  PAGEREF _Toc434316450 \h 5 Vocabulaires, mots, langages  PAGEREF _Toc434316451 \h 7 1. Dfinitions de base  PAGEREF _Toc434316452 \h 8 1.1. Vocabulaire  PAGEREF _Toc434316453 \h 8 1.2. Mot  PAGEREF _Toc434316454 \h 8 1.3. Langage  PAGEREF _Toc434316455 \h 8 1.4. Codage  PAGEREF _Toc434316456 \h 9 1.5. Algorithme  PAGEREF _Toc434316457 \h 11 2. Oprations sur les mots  PAGEREF _Toc434316458 \h 14 2.1. Prfixe  PAGEREF _Toc434316459 \h 14 2.2. Suffixe  PAGEREF _Toc434316460 \h 14 2.3. Infixe  PAGEREF _Toc434316461 \h 14 2.4. Image miroir  PAGEREF _Toc434316462 \h 14 3. Oprations sur les langages  PAGEREF _Toc434316463 \h 15 3.1. Oprations ensemblistes  PAGEREF _Toc434316464 \h 15 3.2. Concatnation  PAGEREF _Toc434316465 \h 16 3.3. Opration puissance  PAGEREF _Toc434316466 \h 17 3.4. Opration * (toile de Kleene)  PAGEREF _Toc434316467 \h 18 4. Expressions rgulires  PAGEREF _Toc434316468 \h 18 4.1. Dfinition en intention et dfinition en extension  PAGEREF _Toc434316469 \h 18 4.2. Dfinition rcursive  PAGEREF _Toc434316470 \h 19 4.3. Exemples  PAGEREF _Toc434316471 \h 19 4.4. Lois algbriques sur les expressions rgulires  PAGEREF _Toc434316472 \h 20 4.5. Quelques proprits intressantes  PAGEREF _Toc434316473 \h 22 4.6. Dfinition arborescente  PAGEREF _Toc434316474 \h 23 Conclusion  PAGEREF _Toc434316475 \h 25 Exercices  PAGEREF _Toc434316476 \h 25 Automates dtats finis et langages rguliers  PAGEREF _Toc434316477 \h 29 1. Automates dtats finis  PAGEREF _Toc434316478 \h 30 1.1. Dfinition informelle  PAGEREF _Toc434316479 \h 30 1.2. Notations  PAGEREF _Toc434316480 \h 31 1.3. Reconnaissance dun mot  PAGEREF _Toc434316481 \h 32 1.4. Dfinition formelle des Automates Finis Dterministes (AFD)  PAGEREF _Toc434316482 \h 34 1.5. Dfinition formelle des automates finis non dterministes (AFN)  PAGEREF _Toc434316483 \h 35 1.5. Automate avec (-transition  PAGEREF _Toc434316484 \h 37 1.7. quivalences dautomates  PAGEREF _Toc434316485 \h 38 2. Passage dune expression rgulire vers un automate  PAGEREF _Toc434316486 \h 40 2.1. Proprit  PAGEREF _Toc434316487 \h 40 2.2. Cas de base  PAGEREF _Toc434316488 \h 40 2.2. Rcurrence  PAGEREF _Toc434316489 \h 41 2.4. limination des (-transitions  PAGEREF _Toc434316490 \h 44 3. Passage dun automate vers une expression rgulire  PAGEREF _Toc434316491 \h 46 3.1. Par rduction dautomates  PAGEREF _Toc434316492 \h 46 3.2. Par rsolution dquations  PAGEREF _Toc434316493 \h 49 4. Dterminisation & Minimisation  PAGEREF _Toc434316494 \h 52 4.1. Mthode de dterminisation  PAGEREF _Toc434316495 \h 52 4.3. Relation dquivalence sur les langages rguliers  PAGEREF _Toc434316496 \h 53 5. Autres oprations sur les automates  PAGEREF _Toc434316497 \h 57 5.1. Automate complmentaire A  PAGEREF _Toc434316498 \h 57 5.2. Automate miroir A~  PAGEREF _Toc434316499 \h 59 5.3. Intersection de deux automates  PAGEREF _Toc434316500 \h 61 Exercices  PAGEREF _Toc434316501 \h 65  Introduction Chapitre 1 Vocabulaires, mots, langages TOC \o "1-3" \n \p " "  1.1 Dfinitions de base Vocabulaire Mot Langage Codage Algorithme 1.2 Oprations sur les mots Prfixe Suffixe Infixe . Image miroir 1.3 Oprations sur les langages Oprations ensemblistes Concatnation Opration puissance Opration * (toile de Kleene) 1.4 Expressions rgulires Dfinition en intention et dfinition en extension Dfinition rcursive Exemples Lois algbriques sur les expressions rgulires Quelques proprits intressantes Dfinition arborescente 1.5 Conclusion  Dans ce chapitre, nous prsentons les concepts de base ncessaire la comprhension du reste du cours. Nous prsentons les notions de vocabulaire, de mots et de langages. Nous illustrons comment tout traitement informatique est entour de phases de dcodage et de codage dont la nature est un traitement sur un (ou plusieurs) langages. Les oprations de base sur les langages seront prsentes ainsi que la classe des langages rguliers. Les manipulations sur les expressions rgulires seront illustres. Nous supposons connues les dfinitions de base de la thorie des ensembles et de celle des nombres. 1. Dfinitions de base 1.1. Vocabulaire Un vocabulaire est un ensemble fini de signes. Par exemple, il peut sagir dun alphabet (latin, cyrillique, arabe), dun syllabaire (japonais), etc. ( Par exemple, on notera: V = {a, b, c} le vocabulaire V compos des lettre a, b et c. On peut aussi avoir: Vromain = {A, B, C, D, E, F, Z} Vthai = {, , , , , , , , ,   %      ,A     "]     =   %  ??&'533#5367#53533#3#3##5#535#&'#5&'6767#5 "!, & } Vnpalais = { , ' , - ,  , $ , % ,  , 7 , / , & } Vmorse = {(, ( } Vchat = {le, petit, chat, boit, du, lait } ( 1.2. Mot Sur cet alphabet, on construit des mots l aide de l opration de concatnation. Cette opration est note par le signe:  . Soient u, v des mots, alors u . v est un mot. ( Par exemple: a.b ( ab ab . c ( abc a . bc ( abc ( La longueur dun mot est le nombre dlments du vocabulaire le composant. ( Par exemple, le mot ab a une longueur gale 2 ( ( est le mot vide. Sa longueur est nulle, car il nest compos daucun lment du vocabulaire. Soient u et v deux mots de longueur lu et lv alors la longueur de u . v est lu+lv. On peut dfinir la fonction longueur par rcurrence: 1.3. Langage Soit V un vocabulaire. Lensemble des mots possibles sur V est not V*. ( Par exemple: V = {a, b} V* = {(, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, } ( On note ( le langage vide (il ne contient aucun mot). Le mot vide ( est bien un mot ne pas confondre avec (. V* est un monode. Un monode est un ensemble muni dune opration associative et possdant un lment neutre. Ici, lopration associative est la concatnation . et llment neutre est (. ( Par exemple: V = {a, b} a.(a.b) = (a.a).b et dune faon gnrale: si u ( V* et x ( V alors x.u = u.x et appartient V* si u, v, w ( V* alors u.(v.w) = (u.v). w et appartient V* de plus: a.( = (.a = a et dune faon gnrale: si u ( V* alors u.( = (.u = u ( On notera V+, lensemble V* priv de (. Autrement dit, nous avons V* = V+ ( {(}. Intuitivement, V+ est lensemble de tous les mots possibles sur V et dont la taille est suprieure ou gale 1. Un langage est dfini sur un vocabulaire V et constitue un sous-ensemble de V*. ( Par exemple, une langue utilisant lalphabet latin, comme le Franais, est un sous-ensemble des mots possibles sur le vocabulaire V={a, , z, A, , Z, ,?, }. Lensemble des entiers L est reprsent par le langage dfini sur V={0, 9} o aucun mot de commence par 0 part 0 lui-mme. De faon plus formelle, L = {0} ( ensemble des mots de V+ ne commenant pas par 0. ( 1.4. Codage Soit deux vocabulaires V1 et V2. Un codage est une fonction de V1* dans V2*. Le codage peut sappliquer sur le vocabulaire et tre tendu au langage. Dans ce cas, il sagit dun codage fixe.   Un codage f est dcodable que si f est une fonction injective. Une fonction f est injective si tout lment de limage de f a un antcdent unique. ( Par exemple, soit V1 = {a, b, c} et V2 = {1, 2, 3} et les rgles de codage suivantes: a ( 0 b ( 1 c ( 2 Alors le mot bab est cod 101. Il est facile de voir que tout mot de V1 est cod de faon unique. Ce codage est donc dcodable. On remarquera que dans ce cas f tant bijective, la fonction inverse f-1 est aussi un codage dcodable. ( Il existe des fonctions de codage partir desquelles on ne peut pas dduire facilement la fonction de dcodage. Cette fonction de dcodage nest en fait connue que par les personnes autorise dcoder les messages. Par contre, toute personne peut coder un message. De telles fonctions sont utilises pour le cryptage de donnes. Dune faon gnrale, le codage et le dcodage constituent des oprations fondamentales du traitement de linformation. ( Par exemple, lopration raliser est la somme de deux nombres a laide dun additionneur binaire. Le vocabulaire est V={0,,9,+}. Le mot trait est par exemple: 12+4. Le code de 12 est 1100. Le code de + est 111111. Le code de 4 est 0100. Le rsultat du traitement (que nous nexplicitons pas ici) est 10000. Le dcodage de 10000 donne 16. ( Exercice le codage Morse La table ci-dessous dcrit un codage de V1* sur V2*. En Morse, un message se termine toujours par le symbole de fin de message #. Une pause (note /) est toujours insre entre chaque caractre transmis sous forme code. cCodeSoncCodeSonA. _didahU. . _dididahB_ . . .dahdididitV. . . _didididahC_ . _ .dahdidahditW. _ _didahdahD_ . .dahdiditX_ . . _dahdididahE.ditY_ . _ _dahdidahdahF. . _ .dididahditZ_ _ . .dahdahdiditG_ _ .dahdahdit1. _ _ _ _didahdahdahdahH. . . .didididit2. . _ _ _dididahdahdahI. .didit3. . . _ _didididahdahJ. _ _ _didahdahdah4. . . . _dididididahK_ . _dahdidah5. . . . .dididididitL. _ . .didahdidit6_ . . . .dahdidididitM_ _dahdah7_ _ . . .dahdahdididitN_ .dahdit8_ _ _ . .dahdahdahdiditO_ _ _dahdahdah9_ _ _ _ .dahdahdahdahditP. _ _ .didahdahdit0_ _ _ _ _dahdahdahdahdahQ_ _ . _dahdahdidah.. _ . _ . _didahdidahdidahR. _ .didahdit,_ _ . . _ _dahdahdididahdahS. . .dididit?. . _ _ . .dididahdahdiditT_dah(. _ . _ .Didahdidahdit Explicitez V1 et V2. Que peut-on dire des mots de V1* et des mots de V2*? Ce codage est-il dcodable? Justifier votre rponse. Un apprenti tlgraphiste relev le message suivant, en oubliant dindiquer les pauses: . . . _ _ _ . . . _ . . _ . _ _ . . . _ . _ . _ . _ . _ _ _ . . _ . _ . . . . _ . _ . Pouvez-vous laider le transcrire? Comment sy prendrait-on avec une machine? ( Dune faon gnrale, un traitement informatique consiste rsoudre les points suivants: Reconnaissance des mots (cest--dire encore codage des mots); Traitement de ces mots sous forme code; Dcodage du rsultat. Ici, nous avons pris le point de vue humain. Du point de vue de la machine nous aurions: Reconnaissance des mots (cest--dire dcodage des mots); Traitement de ces mots sous forme dcode; Encodage du rsultat. Retenons simplement que linformatique constitue essentiellement une question de: Codage Traitement Dcodage 1.5. Algorithme Un algorithme est une suite finie doprations permettant de rsoudre un problme (cest--dire de rpondre une question). Exercice: Algorithme dEuclide permettant de trouver le pgcd (plus grand dnominateur commun) de deux nombres. Rponses: Les proprits du pgcd de u et v sont: Si u ( v alors u = bq + r avec r >0 Si r = 0 alors pgcd(u, v) = v Sinon (cest--dire si u < v), pgcd (u, v) = pgcd(v, r) car un diviseur de u doit tre un diviseur de qv et de r. Comme un diviseur de v est un diviseur de qv, un diviseur de u et v doit tre une diviseur de v et r. Algorithme dEuclide: soit u et v deux entiers. But: calculer pgcd(u, v) Si u ( v alors Si u est divisible par v (reste(u, v) = 0) alors rsultat = v Sinon rsultat = pgcd(v, reste(u, v)) Sinon rsultat = pgcd(v, u). Calculons le pgcd de 120 et 462: u = 120 et v = 462 u < v donc rsultat = pgcd(462, 120) u > v et reste(462, 120) = 102 donc rsultat = pgcd(120, 102) u > v et reste(120, 102) = 18 donc rsultat = pgcd(102, 18) u > v et reste(102, 18) = 12 donc rsultat = pgcd(18, 12) u > v et reste(18, 12) = 6 donc rsultat = pgcd(12, 6) u > v et reste(12, 6) = 0 donc rsultat = 6 ( On peut aussi concevoir des algorithmes sur des mots. Exercice: Codes de Csar Considrons le vocabulaire V = {A, B, C, Z} et les fonctions de codage: hi: V ( V avec 0 ( i ( 25 associant chaque lment de V, llment de V situ i positions plus loin dans le vocabulaire. La fin de V est continu cycliquement par le dbut. Par exemple: h2(A) = C, h7(Y) = F, h25(Z) = Z. La table ci-dessous (appele table de Vigenre) donne la dfinition de hi pour son ime rang: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z0A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z1B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A2C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B3D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C4E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D5F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E6G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F7H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G8I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H9J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I10K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J11L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K12M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L13N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M14O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N15P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O16Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P17R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q18S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R19T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S20U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T21V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U22W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V23X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W24Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X25Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y On considre lextension de hi sur V*: Hi: V* ( V* avec 0 ( i ( 25 Par exemple: Hi(ABC) = CDE Algorithme de codage dun mot selon le code de Csar : soit w ( V* et i un entier. Par ailleurs, on considre que tableV contient la table ci-dessus. But: calculer Hi(w) Si longueur(w) > 0 alors Soit c = premier(w) Rsultat = tableV [rang(c), i] . Hi(sauf-premier(w)) Sinon rsultat = ( La fonction premier(w) retourne le premier caractre du mot w. Par exemple: premier(abc) = a La fonction sauf-premier(w) retourne le mot w priv du premier caractre. Par exemple: sauf-premier(abc) = bc TableV[i, j] retourne llment de la table se trouvant la ime colonne et la jime ligne. Par exemple: TableV[3, 4] = F La fonction rang(c) retourne la position du caractre c dans le mot ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ. Il sagit donc de la position de ce caractre dans lalphabet. Par exemple: rang(E) = 5 ( On peut aussi concevoir des algorithmes travaillant la fois sur des nombres et sur des mots. Exercice: Passage dun entier cod en base dcimale un codage en base binaire. Soit n lentier coder. Lide est de diviser successivement n par 2. chaque tour, on concatne le reste (0 ou 1) gauche de la forme code courante. On sarrte quand n vaut 0. Soit n = 57. 57 / 2 = 28 reste 1 donc rsultat = 1 28 / 2 = 14 reste 0 donc rsultat = 0 . 1 = 01 14 / 2 = 7 reste 0 donc rsultat = 0 . 01 = 001 7 / 2 = 3 reste 1 donc rsultat = 1 . 001 = 1001 3 / 2 = 1 reste 1 donc rsultat = 1 . 1001 = 11001 1 / 2 = 0 reste 1 donc rsultat = 1 . 11001 = 111001 n = 0 donc la forme binaire de 57 est 111001. Algorithme de conversion dun entier en base dcimale une forme en base binaire: soit n un entier. But: calculer codage10vers2(n) Si n > 0 alors Soit r = reste (n, 2) Soit q = quotient (n, 2) Si r = 1 alors rsultat = codage10vers2(q) . 1 Sinon (r = 0) rsultat = codage10vers2(q) . 0 Sinon rsultat = ( ( Un algorithme doit tre constitu dun nombre fini doprations. Ceci ne signifie pas que lalgorithme se termine ncessairement. Exemple: numration de tous les nombres premiers. Il est clair qutant donn quil y a une infinit de nombres premiers, un algorithme rsolvant ce problme ne se terminera jamais. Selon le problme pos, un algorithme peut ou non se terminer. Exemple: savoir sil existe trois dcimal ! YY4  EAAP<<FM3          ($975#75#53&'3276=#?#67.'533#&''2767#5kkkkQ 5es conscutives de  dont la somme vaut un n entier fix. 2. Oprations sur les mots 2.1. Prfixe Un mot w1 est prfixe d un mot w2, s il existe un mot w3 tel que w1.w3 = w2. Un mot est toujours son propre prfixe (dans ce cas w3 = (). ( est prfixe de tout mot ((.w2 = w2). 2.2. Suffixe Un mot w1 est suffixe dun mot w2, sil existe un mot w3 tel que w3.w1 = w2. Un mot est toujours son propre suffixe (dans ce cas w3 = (). ( est suffixe de tout mot (w2.( = w2). 2.3. Infixe Un mot w1 est infixe dun mot w2, sil existe deux mots w3 et w3 tels que w3.w1.w4 = w2. Un mot est toujours son propre infixe (dans ce cas w3 = w4 = (). ( est infixe de tout mot (w3. (.w4 = w2). ( Par exemple: Pour le mot abbba, nous avons: PrfixesInfixesSuffixes(((aaaabbbaabbabbbaabbbbbbbbaabbbabaabbbaabbbbbbbaabbbbbbaabbba( 2.4. Image miroir Limage miroir w~ dun mot w est la lecture de droite gauche du mot w. ( (abc)~ = cba (~ = ( a~(bc)~ = acb ( On a toujours: w~~ = w Exercice: Dfinissez loprateur ~ par rcurrence.  Rponse: ( Un mot w est un palindrome si w~= w. ( (aba)~ = aba (abccba)~ = abccba ( Exercice: Soit V = {a, b}. Soit L le langage tels que w ( L puisse tre dcompos comme w = u . u~ avec u ( V*. Que peut-on dire sur L? et sur L? Soit L = {w | w = u . x . u~ avec x ( {a, b} et u ( V*}. Que reprsente L? Que peut-on dire sur lintersection entre L et L? Que se passe-t-il si x ( {(, a, b}? ( 3. Oprations sur les langages Nous rappelons ici que lopration de concatnation est associative. Llment neutre pour la concatnation est (. ( On a donc: (ab . (ac . bd)) = ((ab . ac) . bd) = abacbd et u . ( = ( . u = u ( 3.1. Oprations ensemblistes Un langage est une partie de V*, il sagit dun ensemble de mots. Les oprations suivantes sont donc dfinies: Union Intersection Complmentation On gardera lesprit que L ( V* et que: L ( V* = L L ( V* = V* L ( ( = ( L ( ( = L On notera (L le complmentaire de L: (L = V* - L On se rappellera que: ((L = L L ( L = L ( L = ( L ( L = L ( L = V* Dautre part, nous avons: L1 ( L2   P   8    s@X  )B@9    #Da+B  : g\ ;767&'7 `" (L1 ( L2) Mais, nous avons: L1 ( L2 = (L1 ( L2) L1 ( L2 = (L1 ( L2)  Remarquons que l intersection peut tre exprime l aide de l union et du complmentaire: L1 ( L2 = (L1 ( L2) 3.2. Concatnation On peut tendre l opration de concatnation aux ensembles en gnral et donc aux langages en particulier. Si L1 et L2 ( V* et a ( V alors: a . L1 = {a . w | w ( V} L1 . L2 = { w1 . w2 | w1 ( L1, w2 ( L2 } Exercice: Soit L le langage sur V = {a, b} dont les mots contiennent un nombre pair de a. 1) Que peut-on dire sur a . L? Sur L . a? 2) Que peut-on dire sur L? Sur L2? Sur (L2)? Et sur (L)2? 3) Avons nous (L2) = (L)2? Rponses: Tout dabord, jouons un peu avec L. On peut commencer numrer les mots de L par taille croissante (et par nombre de a dcroissant). On a donc L = {(, b, aa, bb, baa, aba, aab, bbb, aaaa, aaaab, aaaba, aabaa, abaaa, baaaa, bbaa, baba, baab, abab, aabb, }. On remarquera que toutes les tailles de mots sont reprsentes (on peut construire des mots de toutes les tailles avec uniquement des b) 1) (a . L) contient tous les mots de L o un a a t concatn gauche. Le nombre de a est donc impair. Il sagit donc des mots ayant un nombre impair de a et commenant par a. Idem pour (L . a), si ce nest que les mots contiennent un nombre impair de a se terminent par a. 2) L est le langage dont les mots contiennent un nombre impair de a. L = {a, ab, ba, aaa , abb, bab, bba, aaab, aaba, abaa, baaa, }. Comme prcdemment toutes les tailles de mot (sauf 0) sont reprsentes. L2 est lensemble des mots w1w2 ou w1, w2 ( L. Clairement, le nombre de a des mots de L2 est pair (laddition de deux nombres pairs donne un nombre pair). Donc L2 ( L. Si on essaye dnumrer les mots de L2, on peut, pour chaque mot de L1, concatner lensemble L: L2 = (( . L) ( (b . L) ( (aa , L) ( (bb . L) ( (baa . L) ( (aba . L) ( (aab . L) ( On remarque alors que le premier terme (( . L) = L. Donc, a: L2 = L ( (b . L) ( (aa , L) ( (bb . L) ( (baa . L) ( (aba . L) ( (aab . L) ( Donc L ( L2. Si L2 ( L et L ( L2 alors L = L2 Par suite (L2) = (L) = L 3) Nous avons: (L2)= L et (L)2= (L) . (L) La concatnation de deux mots dont le nombre de a est impair forme un mot dont le nombre de a est pair (mais non nul). Un tel ensemble est clairement L priv du mot vide. Donc: (L)2= (L) . (L) = L - ( A-t-on L - ( = L? Clairement aa ( L - (, mais aa ( L. Donc (L2) ( (L)2 ( On remarquera que, dans le cas gnral, on ne peut rien dire sur: (L2) = (L)(L)? Exercice: Vrifier lassertion ci-dessus. Cherchons un langage simple qui ne vrifie pas la proprit. Choisissons L = {a}. Alors L = V* - {a}. Donc L2 = {aa}. Donc (L2) = V* - {aa}. Or L = V* - {a}, donc (L)(L) = (V* - {a})(V* - {a}) Or aa ( (V* - {a})(V* - {a}). En effet: aa = (.aa On a trouve un mot qui appartient (L2) et pas (L)(L) Donc dans ce cas (L2) `" (L)(L). Cherchons un langage qui vrifie la proprit. Choisissons L = (. Alors L = V* Donc L2 = ( . ( = (. Donc (L2) = V* Or L = V*, donc (L)(L) = V* . V* = V* Donc dans ce cas (L2) = (L)(L). ( 3.3. Opration puissance Soit U un ensemble quelconque, nous avons par dfinition: U0 = ( Un = U . Un-1 = Un-1 . U Donc en particulier sur un langage L, nous avons: L0 = ( Ln = L . Ln-1 = Ln-1 . L Ainsi pour un langage L nous avons: L3 = L . L . L = LLL. Si L est le langage sur V = {a, b} dont les mots contiennent un nombre impair de a, alors L2 = LL ne contient que des mots ayant un nombre pair de a. Donc en particulier sur un mot w, nous avons: w0 = ( wn = w . wn-1 = wn-1 . w ( Ainsi: w3 = www (abc)4 = abcabcabcabc ( 3.4. Opration * (toile de Kleene) Par dfinition, pour tout ensemble U: Cette dfinition est donc valable pour tout langage L. En particulier sur un vocabulaire V, nous avons: V0 = ( V1 = V . {(} = V = mots de longueur 1 V2 = V . V = mots de longueur 2 Vn = V . Vn-1 = V n-1 . V = mots de longueur n V* est lensemble des mots de toutes les longueurs possibles, cest donc lensemble de tous les mots possibles. 4. Expressions rgulires 4.1. Dfinition en intention et dfinition en extension Pour dfinir un langage, il est ncessaire de disposer dun moyen de description des mots de ce langage. La premire mthode consiste numrer les mots de ce langage. Cest ce quon appelle une dfinition en extension. Cette mthode est trs lourde et ne permet pas de dfinir des ensembles infinis. On peut aussi dfinir un langage par la description des proprits (ou du comportement) que doivent avoir les mots de ce langage. Cest ce quon appelle une dfinition en intention. Il est possible de dcrire certains types de proprits laide dun autre langage. Ce mtalangage est dabord dcrit puis une interprtation des mots de ce mtalangage sera donne. 4.2. Dfinition rcursive Soit V un vocabulaire dans lequel les symboles de M = {+, ., *, (, ), (, (} napparaissent pas. Une expression rgulire sur V sera dfinie comme un mot sur V = V ( M. Ces mots sont dfinis rcursivement de la faon suivante: ( est une expression rgulire et reprsente le langage vide; ( est une expression rgulire et reprsente le langage contenant le mot vide; w ( V* est une expression rgulire et reprsente le langage {w} si A et B sont deux expressions rgulires reprsentant les langage LA et LB alors (A + B) est une expressions rgulire reprsentant le langage LA ( LB. si A et B sont deux expressions rgulires reprsentant les langages LA et LB alors (A . B) est une expression rgulire reprsentant le langage LA . LB. A* est une expression rgulire reprsentant le langage LA avec: Lorsquil ny a pas dambigut, les parenthses ou les points peuvent tre supprims. Un langage qui peut tre dcrit par une expression rgulire est appel langage rgulier. On remarquera que tous les langages possibles ne sont pas rguliers. Exercices: Essayez de trouver quelques langages qui nont pas lair rguliers. Rponse: L sur V = {a, b} o il y a le mme nombre de a que de b. La dmonstration (un peu complique) consiste montrer quil faudrait une union infinie dexpressions rgulires pour dcrire L. ( Exercices: Trouver une classe de langages incluse dans celle des langages rguliers. Rponse: La classe des langages finis (cest--dire ayant un nombre fini de mots) est incluse dans celle des langages rguliers. ( 4.3. Exemples Les nombres entiers sont reprsents par les mots du langage dfinis par lexpression rgulire: 0 + (1+2+3+4+5+6+7+8+9).(1+2+3+4+5+6+7+8+9)* Une extension des expressions rgulires est parfois dfinie avec une dfinition de plage de caractres (entre crochets). Par exemple: 0 + [1-9].[0-9]* Le langage compos alternativement de a et de b peut tre dcrit par lexpression rgulire: (ab)* Le langage compos alternativement dun a et dun nombre quelconque de b peut tre dcrit par lexpression rgulire: a(b)* = ab* En gnral, on prfrera rserver lutilisation du symbole + pour lunion. On crira donc plutt aa* (ou a*a) que a+. aa* = a*a correspond au langage dont les mots ne sont composs que de a. (a*b*)* = (a + b)* = V* si V = {a, b} Exercice: dmontrer lgalit prcdente Rponse: Clairement nous avons (1) a*b* ( a + b. En effet, avec lexpression rgulire a*b* on dcrit (entre autres) les mots a et b. De (1), on dduit (2) (a*b*)* ( (a + b)* Or (a + b)* = V* est lensemble de tous les mots possibles, donc il ne peut pas exister de mots non inclus dans V*, donc (a*b*)* = (a + b)* ( Exercice: dmontrer que L1 ( L2 ( L1* ( L2* lments de rponse: La dmonstration peut se faire en plusieurs tapes. (1) Dmontrer que si L1 ( L2 et L3 ( L4 alors L1 . L3 ( L2 . L4 (2) Dduire par rcurrence de ce qui prcde que si L1 ( L2 alors (L1)n ( (L2)n (3) Dduire de ce qui prcde en identifiant terme terme que si L1 ( L2 alors ( (L1)0 + (L1)1 + (L1)2 + (L1)3 + ) ( ( (L2)0 + (L2)1 + (L2)2 + (L2)3 + ) (4) Conclure que si L1 ( L2 alors L1* ( L2* ( Exercice: avons nous L1 ( L2 ( L1* ( L2* ? Rponse: On peut exhiber un contre-exemple, par exemple a* ( (* ( a ( ( ce qui est clairement faux. Donc dans le cas gnral, nous navons pas L1 ( L2 ( L1* ( L2* Est-ce pour autant toujours faux? Non, car on peut exhiber un exemple: a* ( (a*)* ( a ( a* ce qui est clairement vrai. ( 4.4. Lois algbriques sur les expressions rgulires (( + R) ( (R + () ( R lment neutre de lunion (( . R) ( (R . () ( R lment neutre de la concatnation (( . R) ( (R . () ( ( lment absorbant de la concatnation R + S ( S + R R + (S + T) ( (R + S) + T R . ( S . T) ( (R . S) . T R . (S + T) ( (R . S) + (R . T) ( S + T) . R ( (S. R) + (T . R) R + R ( R (* ( ( R . R* ( R* . R ( R+ R . R* + ( ( R* Exercice: Justification de 7 Rponse: Par la mthode de la double inclusion. Soit x ( L(R.(S+T)) ( x est de la forme: x = ry avec x ( L(R) et y ( L(S+T). y ( L(S+T) ( soit y ( L(S), soit y ( L(T), soit y ( L(S) et y ( L(T) y ( L(S) ( x = ry ( L(RS) ( x ( L(RS+RT) y ( L(T) ( x = ry ( L(RT) ( x ( L(RS+RT) Donc x ( L(R.(S+T)) ( x ( L(RS+RT)) et L(R.(S+T)) ( L(RS+RT)) Rciproque x ( L(RS+RT)) ( soit x ( L(RS), soit x ( L(RT), soit x ( L(RS) et x ( L(RT) x ( L(RS) ( x = ry et r ( L(R) et y ( L(S) ( y ( L(S+T) ( x = ry ( L(R.(S+T)) x ( L(RT) ( x = ry et r ( L(R) et y ( L(T) ( y ( L(S+T) ( x = ry ( L(R.(S+T)) Donc x ( L(RS+RT)) ( x ( L(R.(S+T)) et L(RS+RT)) ( L(R.(S+T)) (L(R.(S+T)) ( L(RS+RT)) et L(RS+RT)) ( L(R.(S+T)) ) ( L(RS+RT)) = L(R.(S+T)) ( Exercice: Dmontrer que a* = ( + aa* Rponse: a* = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + = ( + a1 + a2 + a3 + a4 + = ( + a(a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + ) = ( + a(a*) = ( + aa* Cette dmonstration est valable pour toutes expressions rgulires (point 12): R* = ( + RR* On remarquera que lon peut aussi bien factoriser a droite ce qui donne: a* = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + = ( + a1 + a2 + a3 + a4 + = ( + (a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + )a = ( + (a*)a = ( + a*a On en dduit que aa* = a*a Dune faon gnrale R* = ( + RR* = ( + R*R ( Exercice: Justification de (* ( ( Rponse: (* = (0 + (1 + (2 + (3 + ( + ( + (2 + (3 + Dmontrons par rcurrence que (n = ( pour n>0. Cas de base: (1 = ( Rcurrence: Supposons (n = ( vraie. Nous avons (n+1 = (n . ( = ( . ( = (. cqfd Donc (* = ( + ( + ( + ( + = ( + ( = ( ( 4.5. Quelques proprits intressantes Dans ce qui suit X et Y sont des expressions rgulires. X(YX)* = (XY)*X Dmonstration: faire en exercice ( (XY)* = ( + X(YX)*Y Dmonstration: faire en exercice ( (X+Y)* = X*(YX*)* Dmonstrationpar double inclusion a) (X+Y)* ( X*(YX*)* Soit w ( (X+Y)* Donc ( n ( 0 et z1 zn ( (X+Y) tq w = z1..zn Or zi = xy tq xi ( X* et y ( Y. Donc w = x0 . y1 . x1 . . yn . xn avec xi ( X* et yi ( Y Donc w ( X*(YX*)* Donc (X+Y)* ( X*(YX*)* b) Rciproque (X+Y)* ( X*(YX*)* faire en exercice ( (X+Y)* = (X*Y)*X* Dmonstration: (X+Y)* = X*(YX*)* et x(yx)* = (xy)*x donc si x = X* et y = Y nous avons X*(YX*)* = (X*Y)*X* = (X+Y)* ( X* = (( + X + + Xn-1)(Xn)* pour n > 1 Dmonstration: faire en exercice ( (a*)* = a* Dmonstration: par double inclusion 1) Dmontrons (a*)* ( a* (a*)* = a*0 + a*1 + a*2 + a*3 + a*4 + = ( + a* + a*2 + a*3 + a*4 + ( a* 2) (a*)* ( a* Dmontrons par rcurrence que (( + a1 + a2 + ) ( (( + a1 + a2 + )n pour n>0 Pour n=1, la proprit est vraie (( + a1 + a2 + ) ( (( + a1 + a2 + )1 Supposons, le proprit vraie pour n, lest-elle pour n+1? (( + a1 + a2 + ) ( (( + a1 + a2 + )n.(( + a1 + a2 + ) est vrai car L1 ( L3 et L2 ( L4 alors L1L2 ( L3L4 or ici L1 = (( + a1 + a2 + ) ( L3 = (( + a1 + a2 + )n L2 = ( ( L4 = (( + a1 + a2 + ) Donc nous avons (( + a1 + a2 + ) ( (( + a1 + a2 + )n+1 pour n>0 cqfd (a*)* = (a0 + a1 + a2 + )* = (( + a1 + a2 + )0 + (( + a1 + a2 + )1 + (( + a1 + a2 + )2 + = ( + a1 + a2 + ( 4.6. Dfinition arborescente Une arborescence est un graphe orient, o chaque point diffrent du point nomm racine a un et un seul antcdent. La racine na aucun antcdent. Un point est en gnral appel nud.  La structure syntaxique dune expression rgulire sur V est une arborescence dfinie par rcurrence de la faon suivante: Cas de base: Si lexpression rgulire est dfinie soit par un caractre x (x ( V), soit par les symboles ( ou (, alors lexpression constitue la structure syntaxique. x ( ( Rcurrence: Si lexpression rgulire est un oprateur (unaire) portant sur une expression rgulire A ou un oprateur (binaire) portant sur deux expressions rgulires A et B. Soit respectivement: A* A . B A + B Alors, les structures syntaxiques de lexpression rgulire sont respectivement:  ( Par exemple, lexpression rgulire (0+1)*.11(1+01)*.((+0) a pour structure syntaxique:  En prenant comme prcdence des oprateurs: (((0 + 1)*) . (1.1.(((1 + (0.1))*) . (( + 0)))) ( Nous appellerons occurrences doprateurs le nombre doprateurs prsents dans la structure syntaxique. Nous appellerons occurrences datomes, le nombre dlments de V ( {(, (} prsents dans la structure syntaxique. Nous appellerons occurrences de symboles la somme des occurrences doprateurs et doccurrence datomes. ( Dans lexpression rgulire prcdente, il y a 10 occurrences doprateurs et 9 occurrences datomes. ( On remarquera que les atomes sont les feuilles (nuds terminaux) de la structure arborescente et que les oprateurs sont les autres nuds. 5. Conclusion Ce chapitre a introduit les notions fondamentales de base que sont les mots, les vocabulaires, les langages. Nous avons illustr comment tout traitement informatique est prcd par une phase de codage et se termine par une phase de dcodage. Ces deux phases constituent un traitement sur des langages. Un algorithme est une suite finie dinstructions permettant deffectuer un traitement. Parmi, les traitements envisags on aura bien sur les phases de codage et dcodage. Les langages sont des ensembles (potentiellement infinis) de mots et ce titre acceptent les oprations ensemblistes. La description densemble de cardinalit infini ne peut se faire quen intention. Les expressions rgulires constituent un formalisme intressant pour dcrire en intention la classe des langages rguliers. Nous avons introduit certains des proprits et des oprateurs associs aux expressions rgulires. Exercices 1. Soit le vocabulaire V = {a, b, c}. numrer quelques mots de V*. quoi correspond V*? 2. Soit L1, le langage sur V = {a, b, c} compos dun nombre pair de a. Donner des mots de L1. Soit L2, le langage sur V = {a, b, c} compos dun nombre impair de a. Donner des mots de L2. Que peut-on dire de L1 ( L2? Et de L1 ( L2? Quid de V* ( L1? Soit V = {0, 1}. Soit L lensemble des mots sur V et ne commenant pas par 0. Donnez des exemples de mots de L. quoi correspond L? Soit L = L ( {0}. quoi correspond L? Soit les rgles de codage suivantes de V1 sur V2* : a ( 0, b ( 11 Sagit-il dun codage dcodable? Pourquoi? Mme question pour les rgles a ( 0, b ( 01 Mme question que prcdemment pour a ( 0, b ( 1, c ( 01. Que ce passe-il si le codage sapplique sur L2 qui est (V* - L1) ou L1 est le langage dont les mots contiennent au moins une fois ab? Soit V = {a, b, r, c, d}. Soit L lensemble des mots suivants: {abra, brac, acad, adab, dabra}. Trouver un mot le plus court possible sur V* contenant les mots de L. Solution immdiate mais non minimale: abracadabra (l = 11) Solution minimale: ( {brac,acad, adab, dabra} ( {acad, adab, dabrac} ( {acad, adabrac} ( {acadabrac} ( acadabrac (l = 9). Trouver un algorithme qui pour un ensemble fini L de mots sur V*, calcule le mot le plus court possible sur V* contenant tous les mots de L. (cet exercice est TRES difficile). L est le langage sur V = {a, b} dont les mots contiennent au moins une fois ab. Que peut-on dire sur L? L est le langage sur V = {a, b} dont les mots contiennent une fois ab. Que peut-on dire sur L? Soit L un langage quelconque sur V. Que peut-on dire sur les expressions suivantes: L ( L V* ( L V* ( L L ( L L ( L? Soit L le langage sur V = {a, b} ayant un nombre pair de a et quelconque de b. Que peut-on dire sur les langages suivants: a.L L.a L0 L1 L2 Ln L* (a.L)0 (a.L)1 (a.L)2 (a.L)n (a.L)* (L.a)0 (L.a)1 (L.a)2 (L.a)n (L.a)* a.L0 L1 a.L2 a.Ln a.L* Rpondez aux questions prcdentes avec les complmentaires des langages indiqus. Soit L, le langage sur {x, y} o les mots ont un nombre pair de x et quelconque de y. Donner une expression rgulire dcrivant L. Idem pour L. Soit L, le langage sur {x, y, z} o les mots ont un nombre impair de x, impair de y et pair de z. Donner une expression rgulire dcrivant L. Idem pour L. Soit L, le langage sur {x, y} o chaque occurrence de y est prcde et suivi par une occurrence de x. Donner une expression rgulire dcrivant L. Idem pour L. Montrer que tout langage fini peut tre dcrit laide dune expression rgulire. Dcrire les langages reprsents par les expressions rgulires suivantes: a. (z + y)*x b. xx* + yy* c. (xx*)(yy*) d. (x*y*)z* Montrer que si le langage L peut tre dcrit par une expression rgulire alors L= Lp o p est pair peut aussi tre dcrit par une expression rgulire. quoi correspondent: a. Lp b. Lp Produire la structure syntaxique de toutes les expressions rgulire de ce chapitre. Produire la structure syntaxique de (ab*)*ab*. Idem pour ab* (ab*)*. Les structures sont diffrentes, mais les deux expressions rgulires dcrivent le mme langage. Expliquez. En dduire des rgles de transformation darborescence applicables pour les expressions rgulires. ( ( ( ( ( ( Chapitre 2 Automates dtats finis et langages rguliers TOC \o "1-3" \n \p " "  2.1 Automates d'tats finis Dfinition informelle Notations Reconnaissance d'un mot Dfinition formelle des automates finis dterministes Automates finis non-dterministe Automates avec (-transition quivalences d'automates 2.2 Transformation d'une expression rgulire en un automate Proprit Cas de base Rcurrence . limination des (-transitions 2.3 Transformation d'un automate en une expression rgulire Par rduction d'automates Par rsolution d'quations 2.4 Dterminisation et Minimisation Mthode de dterminisation Relation d'quivalence sur les langages rguliers 2.5 Autres oprations sur les automates Automate complmentaire Automate miroir Intersection de deux automates 2.6 Conclusion  Dans ce chapitre, nous prsentons et tudions la classe de machines abstraites que sont les automates tats finis rguliers. Ces automates sont strictement quivalents en puissance aux langages rguliers. Ils constituent le niveau le plus faible des machines et langages qui nous tudierons. Aprs avoir prsent les diffrentes variations possibles sur les automates rguliers, nous abordons, en dtail, la transformation dune expression rgulire vers un automate. Elle est prsente selon deux approches distinctes quoique strictement quivalentes: la rduction dautomates et la rsolution dquations. Certains problmes sur les expressions rgulires peuvent tre aisment rsolus en passant par les automates les reconnaissant. De faon similaire, nous prsentons ensuite la transformation inverse, dun automate en une expression rgulire. La dterminisation permet de passer dun automate non-dterministe, souvent facile trouver, son quivalent dterministe. Cette transformation se base sur la dfinition dune relation dquivalence sur les tats. Enfin, plusieurs oprations sur les automates sont introduites: intersection, complmentaire, image miroir. Ces oprations sont en gnral faciles sur les automates mais difficiles raliser sur les expressions rgulires. 1. Automates dtats finis 1.1. Dfinition informelle Un automate effectue un ensemble dactions et fournit un rsultat. En ce sens un sagit dun algorithme. Lobjet de cette classe dalgorithmes est de reconnatre si un mot donn appartient un langage rgulier que dcrit lautomate. Lautomate dtats finis (dterministe ou non) est compos de: Une bande (infinie) de lecture comportant des cases. Chaque case contient un caractre de V; Une tte de lecture dsignant une case particulire;  Un dispositif de contrle pouvant prendre un nombre finis dtats. Ce dispositif peut tre dans ltat 0, 1, 2, 3, Lautomate dispose dune table de transition (son programme). Cette table de transition prcise le changement dtat de lautomate: abc(( 01-2( 1-1212qq Lautomate tant dans ltat q. Sa tte de lecture dsigne une case contenant le symbole (. Alors: Lautomate passe dans ltat q; Sa tte de lecture se dplace sur la case suivante (celle situe immdiatement droite de la case de (). Parmi lensemble des tats de lautomate, on distingue les tats initiaux (tats dentre) et les tats finals (tats de sortie). Un tat initial peut aussi tre final. En gnral, on sarrange pour navoir quun seul tat initial. On note L(A) lensemble des mots reconnus par lautomate A. Pour les automates dtats finis , cet ensemble est un langage rgulier. 1.2. Notations Une notation graphique quivalente la notation tabulaire est propose. Dans le reste de ce cours on tendra privilgier la notation graphique plus immdiatement lisible. Toutefois, il est parfois ncessaire de passer de lune lautre. La notation tabulaire est celle utilise par les algorithmes de construction et de transformation dautomates. (Par exemple, les deux reprsentations ci-dessous sont quivalentes: abc( 01-2( 1-1-212- ( Sous la forme tabulaire, on indique par une flche entrante (() les tats initiaux. On indique par une flche sortante (() les tat finaux. Les transitions inexistantes laissent des cases vides (-). Sous la forme graphique, on indique les tats initiaux laide dune flche sans origine. Les tats finaux sont barrs. Une notation fonctionelle est aussi parfois utilise. Celle-ci est proche de la dfinition formelle. Elle introduit une fonction de transition: ((un tat, un lment de V) = un tat. (Pour lautomate ci-dessus, on a la notation fonctionnelle suivante: V = {a, b ,c} tats = {0, 1, 2} tats initiaux = {0} tats finals = {1} ((0, a) = 1, ((0, c) = 2, ((1, b) = 1, ((2, a) = 1, ((2, b) = 1 ( On remarquera quune transition inexistante est quivalente une transition (, et que lautomate prcdent pourrait tre (beaucoup plus lourdement) crit:  ( abc( 01(2( 1(1(212( ( Un automate est dit bien form頻 sil vrifie les conditions suivantes: il nexiste aucune transition portant (; tous les tats sont ateignables partir dun tat initial. Sauf indication contraire on ne considrera que des automates bien forms. Un automate est dit satur頻 sil vrifie les conditions suivantes: il nexiste aucune transition portant (; de chaque tat partent au moins une transition pour chaque lment de V. 1.3. Reconnaissance dun mot Un mot est reconnu par lautomate si, partir de la position initiale (automate dans ltat initial, et la tte de lecture dsignant le premier caractre de ce mot), lautomate parcours le mot en entier et termine son parcours dans un tat final.  (Par exemple, soit lautomate suivant: abc( 01--1213( 2---323 Sans le dmontrer formellement, nous pouvons deviner que cet automate reconnat le langage dcrit par lexpression rgulire: ab*(a + cb*a) Faisons fonctionner lautomate sur le mot abba 1) abba 2) abba 3) abba 4) abba 5) abba Lautomate a parcouru compltement le mot et il sarrte dans ltat final q2. Le mot est donc reconnu. Essayons pour le mot abab: 1) abab 2) abab 3) abab 4) abab La transition (q2, b) nest pas dfinie. Lautomate sarrte sans avoir parcouru le mot. Le mot nest donc pas reconnu. Essayons pour le mot abc: 1) abc 2) abc 3) abc 4) abc Lautomate a parcouru compltement le mot, il sarrte donc dans ltat q3 qui nest pas un tat final. Le mot nest donc pas reconnu. ( Nous avons deux cas o lautomate refuse un mot (cest--dire que le mot nappartient pas au langage reconnu par lautomate): soit, avant davoir parcouru compltement le mot, lautomate se trouve bloqu dans un tat non final; soit, aprs avoir parcouru compltement le mot, lautomate ne se trouve pas dans un tat final. 1.4. Dfinition formelle des automates finis dterministes (AFD) Un automate dtat fini dterministe est un quintuplet: Adet= (VT, Q, Q0, F, () o Q est un ensemble fini dtats; Q0 ( Q; F ( Q; VT est un ensemble fini de symboles le vocabulaire; ( est une fonction de transition: Q ( VT ( Q; La fonction de transition induit une relation binaire (note () sur lensemble Q ( VT* de la manire suivante: (q, (w) ( (q, w) ( ((q, () = q Soit (* lextension rflexive et transitive de la relation (. ( q ( Q, w ( V* (q, w) (* (q, w) ( q, q, q ( Q, w, w, w ( V* (q, w) ( (q, w) ( (q, w) (* (q, w) ( (q, w) (* (q, w) Alors w ( L(A) si et seulement si: ( q ( F: (q0, w) (* (q, () Le mot w appartient au langage reconnu par lautomate si il existe un chemin de ltat initial un tat final qui dcrit ce mot. ( ( L(A) ( q0 ( F ( est un mot du langage reconnu par lautomate si ltat initial est final. 1.5. Dfinition formelle des automates finis non dterministes (AFN) Pour un automate dtat fini non dterministe, la fonction de transition est dfinie sur des ensembles. On a donc: Andet= (VT, Q, Q0, F, () o Q est un ensemble fini dtats; Q0 ( Q; F ( Q; VT est un ensemble fini de symboles le vocabulaire; ( est une fonction de transition: Q ( VT ( ((Q); ((Q) reprsente les parties de Q. La relation de transition devient: (q, (w) ( (q, w) ( q ( ((q, () ( Par exemple, soit lautomate non-dterministe suivant:  01( 000, 1( 1-- Cet automate permet la reconnaissance des mots sur VT = {0, 1} se terminant par 1. Faisons fonctionner lautomate sur le mot 01 1) 01 2) 01 3) ce stade, nous avons, le choix entre deux possibilits, choisissons la transition vers q0. 01 Ce fonctionnement rejte le mot. Ressayons, en choisissant lautre chemin. 1) 01 2) 01 3) Choisissons la transition vers q1. 01 Ce fonctionnement accepte le mot. Nous avons mis en vidence une faon daccepter le mot. Le mot appartient donc L(A). ( On remarquera quil est souvent plus facile de trouver un automate non-dterministe que dterministe. Nous verrons dans la suite quil est possible de dterminiser un automate. (Construisez lautomate du langage L sur V={a, b} ne contenant que les mots qui se termine par abb. Rponses: Lautomate non-dterministe est trs simple. Lexpression rgulire est galement simple:(a+b)*abb. Comment peut-on procder pour la deviner? Essayez de construire une version dterministe de lautomate. Que constatez-vous? ( On remarquera quun automate non-dterministe est souvent plus petit que sa version dterministe. Cependant, son excution est plus complexe. Il faut en effet se remmorer chaque point de choix et y revenir un cas dchec. 1.6. Automate avec (-transition Un automate avec (-transition ((AEF) dispose dune fonction de transition dfinie sur VT ( {(}. La relation de transition devient donc: (q, w) ( (q, w) ( q ( ((q, () (q, (w) ( (q, w) ( q ( ((q, () ( Par exemple, soit lautomate suivant:  (01( 0-0, 1012--2--3( 3--- Faisons fonctionner cet automate sur 01 1) 01 2) 01 3) On prend la (-transition qui ne fait pas avancer la tte de lecture sur la bande. 01 4) 01 Ce fonctionnement accepte le mot. ( 1.7. quivalences dautomates La classe des automates dtats finis (AEF) est la plus gnrale. Les automates finis peuvent tre dterministes (AEF-det) ou non dterministe (AEF-ndet). De plus, ils peuvent (ou non) contenir des (-transitions (de faon gnrale, nous appellerons ce type dautomate des (-automates). Les (-automates sont non-dterministes. On verra que tous ces types dautomates sont rigoureusement identiques et que lon peut toujours se ramener, par simplification et dterminisation un AEF-det. Pour rsumer, un automate est considr comme non-dterministe (au sens large) si au moins une des conditions suivantes est vrifie: Il existe au moins plusieurs transitions t1, t2, tn portant le mme symbole x partant dun tat unique q vers plusieurs tats q1, q2, qn; Il existe au moins une (-transition; Il existe plus dun tat initial. Autrement dit, sil existe un moment donn un point de choix lors de la reconnaissance dun mot, lautomate nest pas dterministe. De plus, chaque tape, le pointeur doit avancer sur la bande de lecture. (pour un mot de longueur l appartenant L(A), A tant dterministe, combien dtapes sera-t-il ncessaire pour que lautomate le reconnaisse? Que peut-on dire pour un mot qui nappartient pas L? Que peut-on dire si lautomate est satur? Que peut-on dire si lautomate nest pas bien form? ( On remarquera, par ailleurs, que pour tout automate A, on peut crer un automate A, nayant quun seul tat initial et quun seul tat final, tel que L(A) = L(A). En effet, si on a plusieurs tats finals, il suffit de crer un nouvel tat final F et de relier laide de (-transitions les tats finals dorigine cet tat F. De faon analogue, si on a plusieurs tats initiaux, il suffit de crer un nouvel tat initial I et de relier laide de (-transitions cet tat I aux tats initiaux dorigine.  ( Par exemple, soit lautomate A suivant: abc( 01--1213( 2---( ( 323 On peut deviner que le langage reconnu par cet automate pourrait tre not par lexpression rgulire: ab*a + ab*cb* + ab*cb*a + b* + b*a = ab*a + ab*cb*(( + a) + b*(( + a) = ab*a + (ab*c + ()b*(( + a) Lautomate ayant une structure simple, il est possible de suivre (sans en oublier) les diffrents chemins. Une telle mthode nest pas toujours aise si lautomate est plus touffu. 1) Soit A lautomate obtenu par ajout dun tat final unique:  (abc( 01--1213 2F---( 3F23( F--- 2) Soit A, lautomate obtenu par ajout dun tat initial unique:  (abc( I0, 3---01--1213( 2---( 323 3) On obtient donc lautomate A par combinaisons de A et A: (abc( I0, 3---01--12132F---3F23( F Lautomate ainsi obtenu peut ventuellement tre simplifi. Il ny a aucune transition entrante dans ltat initial et aucune transition sortante de ltat final. ( (Exercice: vrifier qu chaque tape le langage reconnu par lautomate reste inchang. ( Dans le cas dun automate disposant dun tat initial et dun tat final unique, il est parfois pratique de simplifier la notation graphique. Cette nouvelle notation permet de masquer les dtails lis lautomate pour ne se concentrer que sur son entre et sa sortie. Avec L(A) = L(R), un automate A peut se noter comme suit:  ( partir de lexemple prcdent, on pourra donc avoir:  ( 2. Transformation dune expression rgulire en un automate 2.1. Proprit Soit la proprit S(n) dfinie comme suit: Si R est une expression rgulire n occurrences doprateurs et aucune variable comme oprandes atomique (.) alors il existe un (-automate A qui accepte les mots de L(R) et aucune autres. A na: Quun seul tat dacceptation (tat final); Pas darc vers son tat initial; Pas darc issu de son tat final. 2.2. Cas de base Soit la case de base S(0) dfini comme suit: Si n=0 alors R doit tre un oprande atomique qui est: soit (, soit (, soit x pour un certain symbole x (x ( V). Pour chacun des trois cas, on peut concevoir un automate 2 tats pour lequel S(0) est vrai:    2.2. Rcurrence Nous allons supposer que si on a S(n) alors nous avons S(n+1): Nous allons crer de nouveaux automates. Pour chaque occurrence de lexpression rgulire, on cre un tat particulier. ( Par exemple, si lexpression rgulire contient 3 a, alors on crera 6 tats sur le modle:  ( Supposons que S(i) soit vraie pour tout i suprieur ou gal n ((i ( n). Autrement dit, pour une expression rgulire R quelconque avec au plus n occurrences doprateurs, il existe un automate satisfaisant lhypothse de rcurrence et acceptant tous les mots de L(R) et seulement ceux-l. Soit R une expression rgulire avec (n+1) occurrences doprateurs. On sintresse loprateur le plus extrieur, cest--dire, la racine de la structure syntaxique. Alors R est de la forme R1 + R2, ou R1.R2 ou R1* Dans chacun des trois cas, R1 et R2 ne peuvent comporter plus de n occurrences car loprateur situ la racine de la structure syntaxique ne fait partie ni de R1 ni de R2, et que R a exactement (n+1) occurrences doprateurs. Lhypothse de rcurrence sapplique donc R1 et R2 dans chacun des trois cas. On peut alors dmontrer S(n+1) dans chacun des trois cas. On remarquera, par ailleurs, que pour tout automate A, on peut crer un automate A, nayant quun seul tat initial et quun seul tat final, tel que L(A) = L(A). En effet, si on a plusieurs tats finals, il suffit de crer un nouvel tat final F et de relier laide de (-transitions les tats finals dorigine cet tat F. De faon analogue, si on a plusieurs tats initiaux, il suffit de crer un nouvel tat initial I et de relier laide de (-transitions cet tat I aux tats initiaux dorigine. 1) R = R1 + R2 Ltat initial associ R comporte des (-transitions vers les tats initiaux des automates associs R1 et R2. Les anciens tats initiaux deviennent des tats ordinaires. Les tats finals (dacceptation) de ces deux automates deviennent des tats ordinaires et on ajoute des (-transitions vers ltat dacceptation du nouvel automate. La seule faon datteindre ltat final partir de ltat de dpart consiste suivre un arc tiquet ( dirig vers R1 (resp. vers R2) puis de reconnatre un mot de L(R1) (resp. de L(R2)) et partir de ltat dacceptation de R1 (resp. R2) deffectuer la (-transition vers ltat dacceptation de L(R1)(L(R2) cest--dire L(R). 2) R = R1 . R2  Ltat final de R1 et ltat initial de R2 deviennent des tats ordinaires. Ltat initial de R1 devient ltat initial de R et ltat final de R2 devient ltat final de R. La seule faon de passer de ltat ltat final est de lire un mot de R1 puis de lire un mot de R2. 3) R = R1* = ( + R1+ La rptition non nulle (+) consiste relier ltat final de lautomate de R son tat initial. Pour ajouter ( au langage reconnu par lautomate, il suffit de crer un nouvel tat initial et un nouvel tat final et de les relier avec une transition (. Pour passer de ltat initial ltat final, on passe soit par la transition directe ( (et le mot ( est reconnu), soit on passe par une reconnaissance du L(R1) puis une transition directe. Lorsque lon a reconnu un mot de L(R1), il est possible de recommencer un nombre quelconque de fois en utilisant la (-transition entre ltat final et ltat initial de R1. (Expliquer pourquoi pour rajouter ( au langage reconnu par un automate A, il nest pas possible dans le cas gnral de rendre ltat initial de A final. Donner un exemple. Exhiber un cas particulier o lon pourrait procder de la sorte. ( Donc daprs 1), 2) et 3) nous avons vrifi S (n+1). et donc S(n) est vraie pour tout n. ( Considrons par exemple lexpression rgulire: a + bc* La structure syntaxique est: Soient pour chacun des atomes a, b et c, les automates suivants:  Automate pour c*:  Automate pour bc*:  Automate pour a+ bc*:  Il est possible (et mme recommand) de simplifier cet automate. ( (Essayer de trouver lexpression rgulire lautomate ci-dessus. Comment peut-on dcomposer les chemins de lautomate? Rponses: On peut essayer de lire les chemins de lautomate. Labsence de boucle trop complique doit rendre cette lecture possible. Nous avons les chemins suivants avec leur expression rgulire associe: ( (.a.( ( a ( (.b.(.(.( ( b ( (.b.(.(.c.((.c)*.(.( ( b.cc* Lexpression rgulire de lautomate est lunion des expressions rgulires ci-dessus: a + b + bcc* = a + bc* ( 2.4. limination des (-transitions Dans un automate, si lon se trouve dans un tat q quelconque comportant des (-transitions, on se trouve en ralit dans le mme temps dans chaque tat accessible q partir de q en suivant les (-transitions. En effet, soit le w le mot tiquetant le chemin de q0 (tat initial) q, alors w. ( (= w) est le chemin tiquetant le chemin de q0 q. Llimination des (-transitions est effectue en quatre tapes: Augmentation des transitions; Propagation des tats finals; Suppression des (-transitions; limination des tats inaccessibles. On construit un nouvel automate o il existe une transition entre ltat qi et ltat qj tiquet par x sil existe un tat qk tel quil existe une suite d(-transitions que qi qk et quil existe une transition x de qk qj. ( Si on augmente les transitions partir de lautomate donn en exemple ci-dessus, on obtient le nouvel automate suivant:  Un tat est final sil existe une suite d(-transitions qui mne un tat final.  On supprime les (-transitions.  On supprime les tats inaccessibles partir de ltat initial.  On obtient comme rsultat final lautomate dfini partir de lexpression rgulire = a + bc*. ( 3. Transformation dun automate en une expression rgulire 3.1. Par rduction dautomates Dans la mthode par rduction dautomates, la construction de lexpression rgulire dfinissant le mme langage que celui reconnu par lautomate passe par la suppression successive des tats de lautomate A. Pour ce faire, on remplace successivement ltiquetage des transitions de lautomate par des expression rgulires. On considre ltiquette dun chemin comme la concatnation des expressions rgulires associes ce chemin. ( Par exemple:   ( Soit un automate dterministe A. Considrons un tat q non-final n tats prdcesseurs (pi) et n tats successeur (si) et ventuellement une transition sur lui-mme. Cet tat q peut-tre limin condition de mettre jour les transitions restantes de lautomate  Chaque transition est dfinie par une expression rgulire. Llimination de q doit donc modifier les transitions pi sj (pour tout 1(i( n et 1(j(m). La transition allant de pi sj sera modifie de faon porter lexpression rgulire: Rij + PiU*Sj En effet, si on passe de pi sj directement cela seffectue en acceptant un mot de lexpression rgulire Rij. Si on passe par q, il faut: Reconnatre un mot dfini par Pi; Reconnatre 0 ou n fois un mot dfini par U; Reconnatre un mot dfini par Si. Donc au total, il faut reconnatre un mot de lexpression rgulire PiU*Sj. La mthode consiste donc liminer tous les tats sauf les tats finals (et bien sr ltat initial). Lorsque lautomate ne comprend quun tat initial et un tat final (ventuellement confondus), on peut en dduire le langage reconnu. Le langage reconnu est: S*U(T + VS*U)*. Si lautomate A ne comporte plus quun seul tat initial et n (n>1) tats finals (nots Fi), on cre n copies de lautomates. Pour chaque copie Ai, seul ltat Fi est final. Lexpression rgulire R(A) sera lunion des expressions R(Ai): R(A) = R(A1) + R(A2) + R(A3) + R(An) ( Soit par exemple, lautomate A suivant: Essayons de trouver une expression rgulire R(A) du langage L(A). On souhaite liminer ltat q1. Les prdcesseurs de q1 sont {q0}. Les successeurs de q1 sont {q0, q2}. Il ny aucune boucle sur q1, on considre donc quil y a une boucle tiquete (.  On supprime q1 et on ajoute les transitions q0-q0 et q0-q2. On obtient donc lautomate A suivant:   Lautomate A contient deux tats finals et un tat initial. Il nest pas possible continuer liminer directement des tats, il est ncessaire de dupliquer A. Soient B et C, les deux copies de A:   Pour B, on limine q3: Le langage reconnu par B est: (0+10)*11(1+01+00(0+10)*11)* Pour C, on limine q2: Le langage reconnu par C est: (0+10)*111*0(1*10+0(0+10)*111*0)* Le langage reconnu par A est donc: (0+10)*11(1+01+00(0+10)*11)* + (0+10)*111*0(1*10+0(0+10)*111*0)* ( (: essayer de monter que lexpression rgulire R(A) ci-dessus dcrit le langage L sur {0, 1} de tous les mots possibles ne se finissant pas par 00. lments de rponse: Une expression rgulire simple pour L est: (0+1)*01 + (0+1)*10 + (0+1)*11 On peut observer lexpression rgulire R(A). Avons-nous R(A) = R(L)? Il y a plusieurs manires de procder. Lesquelles? ( 3.2. Par rsolution dquations partir dun automate A, il est possible de poser les quations dcrivant les langages reconnus par chaque tat. Cest--dire que pour chaque tat on se pose la question suivante quel serait le langage reconnu en commenant par cet tat?. Pour n tats, on trouvera donc, n quation n inconnues. On note L(i), le langage reconnu partir de ltat i. Lobjectif est de rsoudre lquation pour la variable L(0). L(0) est le langage reconnu partir de ltat initial, cest--dire le langage reconnu par lensemble de lautomate donc L(A). Comme pour la mthode par rduction dautomates, le cas gnral minimal est: Les quations associes sont: L(0) = S . L(0) + U . L(f) L(f) = T . L(f) + V . L(0) + ( On remarquera quun tat final reconnat au moins {(}, cest--dire lexpression rgulire (. La rsolution du systme dquation se fait comme en arithmtique par substitution et rcriture. De plus, quand on trouve une quation de la forme: L=xL+y alors sa solution est x*y. L=xL+y ( L = x*y Rsolvons le systme dquations ci-dessus: a) L(0) = S . L(0) + U . L(f) b) L(f) = T . L(f) + V . L(0) + ( on obtient par rsolution c) L(f) = T*(V . L(0) + () on remplaant L(j) dans a) d) L(0) = S . L(0) + UT*(V . L(0) + () L(0) = (S + UT*V) L(i) + UT* L(0) = (S + UT*V)*UT* Nous avons L(0) = S*(UT*VS*)*UT* car (x + y)* = x*(yx*)* et ici x = S et y = UT*V L(0) = S*U(T*VS*U)*T* car (xy)*x = x(yx)* et ici x = U et y= T*VS* L(0) = S*U(VS*U + T)* car (x*y)*x* = (x + y)*et ici x = T et y = VS*U L(0) = S*U(T + VS*U)* Donc nous avons: (S + UT*V)*UT* = S*U(T + VS*U)*. Cest--dire que dans le cas gnral minimal on obtient un rsultat quivalent celui par la mthode de rduction dautomate. (dmontrez que la mthode par rsolution dquation est quivalente celle de rduction dautomates. lments de rponse: il est possible de procder par induction. La suppression dun tat quivaut la substitution de la variable associe dans le systme dquations. Quel est le cas de base? ( ( Par exemple, soit lautomate A suivant:  Cet automate est lautomate dterministe reconnaissant les mots de la forme:(a+ b)*abb. Essayons de retrouver lexpression rgulire. On pose les quations suivantes: a) L(0) = bL(0) + aL(1) b) L(1) = aL(1) + bL(2) c) L(2) = aL(1) + bL(3) d) L(3) = bL(0) + aL(1) + ( On peut dans c) remplacer L(3) par sa dfinition e) L(2) = aL(1) + b(bL(0) + aL(1) + () L(2) = aL(1) + bbL(0) + baL(1) + b On peut dans b) remplacer L(2) par sa dfinition f) L(1) = aL(1) + b(aL(1) + bbL(0) + baL(1) + b) L(1) = aL(1) + baL(1) + bbbL(0) + bbaL(1) + bb L(1) = (a + ba + bba)L(1) + bbbL(0) + bb L(1) = (a + ba + bba)*(bbbL(0) + bb) On peut remplacer dans a) remplacer L(1) g) L(0) = bL(0) + a(a + ba + bba)*(bbbL(0) + bb) L(0) = bL(0) + a(a + ba + bba)*bbbL(0) + a(a + ba + bba)*bb L(0) = (b + a(a + ba + bba)*bbb)L(0) + a(a + ba + bba)*bb L(0)= (b + a(a + ba + bba)*bbb)*a(a + ba + bba)*bb Cette expression rgulire semble difficile simplifier, toutefois essayons de dmontrer quelle est bien gale (a + b)*abb. Supposons donc: (a + b)*abb = (b + a(a + ba + bba)*bbb)*a(a + ba + bba)*bb si on supprime bb de part et dautre, on a lgalit: ( (a + b)*a = (b + a(a + ba + bba)*bbb)*a(a + ba + bba)* ( (a + b)*a = (b + a((( + b + bb)a)*bbb)*a((( + b + bb)a)* ( (a + b)*a = (b + (a(( + b + bb))*abbb)*(a(( + b + bb))*a car x(yx)* = (xy)*x si on supprime a de part et dautre, on a lgalit: ( (a + b)* = (b + (a(( + b + bb))*abbb)*(a(( + b + bb))* ( (a + b)* = (b + (a + ab + abb)*abbb)*(a + ab + abb)* ( (a + b)* = b*((a + ab + abb)*abbbb*)*(a + ab + abb)* car (x + y)* = x*(yx*)* ( (a + b)* = b*((a + ab + abb) + abbbb*)* car (x*y)*x* = (x + y)* ( (a + b)* = b*(a + ab + abb + abbbb*)* ( (a + b)* = b*(a (( + b + bb + bbbb*))* ( (a + b)* = b*(a b*)* ce qui est vrai car (x + y)* = x*(yx*)* Donc on a bien: (a + b)*abb = (b + a(a + ba + bba)*bbb)*a(a + ba + bba)*bb Donc lautomate reconnat bien le langage (a + b)*abb ( (Dans lexemple prcdent, nous avons suppos que: X* = (( + X + XX + XXXX*) Pouvez-vous le dmontrer? Pouvez-vous dmonter le cas gnral: X* = (( + X + XX + XXX + + XnX*) Rponses: X* = (( + X + XX + XXX(( + X + XX + )) (( + X + XX + XXX + XXXX + XXXXX + ) X* X* = (( + X + XX + XXX + + XnX*) (( + X + XX + XXX + + Xn(( + X + XX + )) (( + X + XX + XXX + + Xn + XnX + XnXX + ) (( + X + XX + XXX + + Xn + Xn+1 + Xn+2 + ) X* On remarquera que X* = (X*)n = (X*)* ( (Dans lexemple prcdent, plusieurs fois, on a supprim un mot de part et dautre dune galit afin de la dmontrer. Dans quel cas ne peut-on pas le faire et pourquoi? Vrifier que (a + b)*ab(a +b)* = b*a*ab(a+b)* Avons-nous (a + b)*ab = b*a*ab? Expliquez. ( (Soit lautomate A suivant: Produisez lexpression rgulire de A laide de la mthode de rsolution dquations. Quel langage reconnat cet automate? Rponse (non dtaille): il sagit de tous les mots sur {0, 1} sauf 11. ( 4. Dterminisation & Minimisation 4.1. Mthode de dterminisation Si dans un automate A, il existe deux chemins q0qn et q0qm dcrivant le mme mot alors ces deux chemins appartiennent la mme classe dquivalence. Ils peuvent donc tre regroups en un seul chemin pour ce mot. Cette constatation est la base de la mthode dterminisation. Proprit: Pour tout automate dtats finis non-dterministe, il existe un automate dtat fini dterministe quivalent. Soit A = (VT, Q, Q0, F, () un AEF non-dterministe Alors A = (VT, P(Q), Q0, F, () avec F = {Q  | Q  ( F `" (} Alors L(A) = L(A ) (Dmonstration de la proprit ci-dessus ( La mthode consiste dfinir des transitions sur des ensembles d tats et non des tats. partir d un ensemble d tats, on dfinit l ensemble successeur pour un x de V comme lensemble des tats atteignables par x depuis un tat de lensemble. Seule une partie des sous-ensembles possibles est utile. Pour calculer les sous-ensembles utiles, on itre jusqu ce que aucun nouveau sous-ensemble soit cr. Lensemble de dpart est lensemble des tats initiaux. Chaque ensemble dtats correspond un tat de lautomate dterministe. Un tat est final si un des tats dorigine le composant est final. (Soit par exemple, A lautomate non-dterministe suivant: Nous obtenons la table de transitions suivantes: abc( 0{0, 4}{1}-{2}1{1}-{2, 4}- 2{2}{3, 5}{2}3{2, 4}{3, 5}-{2}( 4{3, 5}-{6}-( 5{6}{2, 3}-( 6{2, 3}{3, 5}-{2}( ( Crer la table de transitions de lautomate non-dterministe. Dessiner et commentez lautomate dterministe ci-dessus. ( 4.3. Relation dquivalence sur les langages rguliers partir de la notion dautomate, on peut dfinir une relation dquivalence sur les mots de VT*. Si deux mots distincts conduisent dans un automate A ltat qi, alors ces deux mots sont quivalents. Dfinition: w1 ( w2 ( ( z ( VT*, w1z ( L ( w2z ( L La relation ( est rflexive w1 ( w1 La relation ( est symtrique w1 ( w2 ( w2 ( w1 La relation ( est transitive w1 ( w2, w2 ( w3 ( w1 ( w3 Soit un automate A reconnaissant le langage L. Relation rflexive: w ( L(A) ( (q0, w) (* (q, () q ( F Par dfinition de (* (q0, w1) (* (q, () ( (q0, w2) (* (q, () donc w1 ( w1 Relation symtrique: w1 ( w2: ( z ( VT* (q0, w1z) (* (q,, () q ( F ( (q0, w2z) (* (q, () q ( F donc ( z ( VT* (q0, w2z) (* (q, () q ( F ( (q0, w1z) (* (q,, () q ( F donc w2 ( w1 Relation transitive: w1 ( w2 et w2 ( w3: w1 ( w2: ( z ( VT* (q0, w1z) (* (q,, () q ( F ( (q0, w2z) (* (q, () q ( F w2 ( w3: ( z ( VT* (q0, w2z) (* (q,, () q ( F ( (q0, w3z) (* (q, () q ( F ( z ( VT* (q0, w1z) (* (q, () q ( F ( (q0, w2z) (* (q () q ( F ( (q0, w3z) (* (q () q ( F ( Soit, par exemple, lautomate suivant:  Les tats q2 et q4 sont ( Soient les mots ab et b, ils sont ( En effet, pour q2: (q0, ab) ( (q2, () Ensuite un mot appartient L si et seulement si, il est de la forme ab* pour q4: (q0, b) ( (q4, () Ensuite un mot appartient L si et seulement si, il est de la forme ab* Nous aurions pu dfinir lautomate: La relation dquivalence nous permet de dfinir un automate ayant un nombre minimum dtats. ici on na pas ( ( a car (.aba ( L a.aba ( L Donc q0 et q1 nappartiennent pas la mme classe dquivalence. ( Une relation dquivalence est invariante droite si et seulement si: ( w1,w2 ( VT* w1 ( w2 ( ( z ( VT* w1z ( w2z Les proprits suivantes sont quivalentes: a)le langage L est reconnu par un automate dtats fini; b)le langage L est la runion dun ensemble de classes dquivalence dune relation dquivalence invariante droite dindex fini. Dmonstration: 1)a ( b Soit A un automate dtats fini tel que L = L(A). Alors soit R la relation: w1 ( w2 ( (q0, w1) (* (q, () ( (q0, w2) (* (q, () ( est un relation dquivalence rflexive, symtrique et transitive. Soit [q] la classe dquivalence dfinie par: w ( [q] ( (q0, w) (* (q, ()  Alors ( est dindice fini. 2)b ( a Soit ( la relation dquivalence. On dfini donc un automate dtat fini tel que: Q = {[w] | w ( VT*} lensemble des classes Q est fini car lindice de la relation est fini. A = (VT, Q, [(], F, () F = {[w] | w ( L] (: (([w], () = [w(] donc ( z ( VT* ([(], w) (* ([w], () et w ( L ( [w] ( L (soit L le langage sur {a, b} dont les mots contiennent au moins un ab. Donnez une expression rgulire simple de ce langage. Construisez les automates non-dterministe et dterministe. Quels tats de lautomate dterministe peut-on regrouper dans de mmes classes dquivalence? Rponses: (peu dtaille) R(L) = (a + b)*ab(a + b)* On a comme automates A et Adet:   Pour avoir si deux tat de Adet sont quivalents, posons et rsolvons les quations dtats pour Adet: L0 = bL0 + aL1 L1 = aL1 + bL2 L2 = bL2 + aL3 + ( L3 = bL2 + aL3 + ( On constate que L2 = L3. Ici, on na pas besoin de rsoudre lquation pour constater que les deux langages sont gaux, car les parties droites des quations sont identiques. Toutefois on gardera lesprit, que si deux quations sont diffrentes, il est possible que leurs solutions soient gales. Si on rsout L3 L3 = a*(bL2 + () Donc L2 = bL2 + aa*(bL2 + () + ( L2 = (b + aa*b)L2 + aa* + ( L2 = (b + aa*b)*(aa* + () Donc L2 = (b + aa*b)*a* = (( ( + aa*)b)*a* = (a*b)*a* = (a + b)* On obtient bien la mme chose pour L3. On peut donc simplifier lautomate Adet en Adet:  Vrifiez si lautomate peut tre simplifi plus avant. ( (soit L le langage dcrit par lexpression rgulire b*a*ab(a+b)*. Montrer que L est quivalent au langage L de lexercice prcdent. Commentez. ( 5. Autres oprations sur les automates 5.1. Automate complmentaire A Il peut tre difficile de trouver partir de lexpression rgulire le complmentaire L dun langage rgulier L. Par contre, produire le complmentaire A dun automate rgulier dterministe A est ais. Pour produire partir de A (qui reconnat le langage L(A)) lautomate complmentaire A reconnaissant le langage complmentaire (L(A)), il suffit de: Crer un tat trappe T; Soit vi les lments du vocabulaire V sur lequel est dfini L(A). Pour chaque tat q, crer une transition vi de q vers T sil nexiste pas de transition vi partant de q; Chaque tat final devient ordinaire et chaque tat ordinaire devient final. Ltat initial reste initial. Ltat trappe T devient final. Si ltat trappe T nest pas reli, il pourra tre supprim. ( Soit, par exemple, L le langage sur V = {a, b, c} compos de mots compos que de a ou de b et contenant une fois une squence de 0 ou n c. Essayons de produire lexpression rgulire de L. Lexpression rgulire R(L) est (a + b)*c*(a + b)* et lautomate non-dterministe est:  Lautomate dterministe quivalent est: abc( ( 0{0}{0, 2}{0, 2}{1}( 1{0, 2}{0, 2}{0, 2}{1} ( 2{1}{2}{2}{1}( 3{2}{2}{2}-  On cr un tat trappe T et on sature les transitions de lautomate vers cet tat. Le langage est inchang. On inverse les tats finals et non-finals. Lautomate obtenu reconnat L. Lexpression rgulire peut tre trouve par la mthode des quations dtats. Lautomate est satur, chaque quation comportera trois termes (pour a, b et c) pour un tat ordinaire et on rajoutera ( pour les tats finals. a) L0 = (a + b)L1 + cL2 b) L1 = (a + b)L1 + cL2 c) L2 = (a + b)L3 + cL2 d) L3 = (a + b)L3 + cLT e) LT = (a + b + c)LT + ( LT = (a + b + c)* = V* L3 = (a + b)*cLT = (a + b)*c(a + b + c)* L2 = c*(a + b)L3 = c*(a + b)(a + b)*c(a + b + c)* L1 = (a + b)*c L2 = (a + b)*cc*(a + b)(a + b)*c(a + b + c)* L0 = L1 = (a + b)*cc*(a + b)(a + b)*c(a + b + c)* Il sagit du langage des mots quelconques sur {a, b} qui comportent au moins 2 squences non nulles de c. Il sagit bien du complmentaire du langage qui comporte une seule squence ventuellement nulle de c. Daprs les quations ci-dessus, on saperoit que q0 et q1 sont dans la mme classe dquivalence. On peut donc simplifier lautomate:  ( (Dcrire et caractriser la classe des automates rguliers invariants par lopration de complmentation. Commentez. ( (Lopration de complmentation fonctionne-t-elle sur des automates non-dterministe? Commentez. ( 5.2. Automate miroir A~ Pour produire partir de A (qui reconnat le langage L(A)) lautomate miroir A~ reconnaissant le langage miroir (L(A))~, il suffit de: Inverser le sens des transitions; changer les tats initiaux et les tats finals; Dterminiser lautomate produit (si ncessaire). On notera que L(A~) = L(A)~. Il sagit juste dun jeu dcritures. Lopration consistant inverser le sens des transitions, peut partir dun automate dterministe produire un automate non-dterministe. ( Par exemple, soit lautomate A suivant: Cet automate est lautomate dterministe reconnaissant les mots de la forme:(a+b)*abb Aprs inversion des transitions et des tats, nous avons lautomate miroir non-dterministe (A~)ndet suivant:  Lautomate dterministe A~ quivalent est: ab( 0{0}-{1}1{1}-{2}3{2}{0, 1, 2, 3}-( 3{0, 1, 2, 3}{0, 1, 2, 3}{0, 1, 2, 3} Cet automate est dterministe et reconnat les mots de la forme bba(a+b)* = ((a+b)*abb)~ On remarquera que si on cherche produire limage miroir de lautomate ci-dessus, cest--dire (A~)~, on obtiendra avant dterminisation lautomate non-dterministe du langage (a+b)*abb. ( (soit lautomate A ci-contre: Trouver lexpression rgulire du langage reconnu par A. Construire lautomate A~ et trouver lexpression du langage reconnu. Commentez. Rponses Lexpression rgulire correspondante est R(A) = ab*a + ab*cb*a = ab*(a + cb*a). Si on inverse le sens des flches et que les tats initiaux deviennent finals et que les tats finals deviennent initiaux alors on obtient:  Lautomate non-dterministe miroir A~ est (aprs avoir renomm les tats):  Lexpression rgulire R(A~) est: ab*a + ab*cb*a On remarque ici que R(A~) = R(A), donc L(A~) = L(A), donc L(A) = L(A)~. Le langage L(A) est donc un langage dont lexpression rgulire est une union de palindromes. Ceci ne veut pas dire que les mots de L(A) sont ncessairement des palindromes. La version dterministe de cet automate est: abc( 0{0}{1, 2}--1{1, 2}{3}{1, 2}{1}2{1}{3}{1}-( 3{3}--- Il sagit du mme automate que A. ( (Est-il possible dobtenir un automate dterministe partir dun automate non-dterministe aprs inversion des transitions? Et partir dun automate dterministe? ( (Dcrire et caractriser la classe des automates rguliers invariants par lopration miroir. ( 5.3. Intersection de deux automates La production de lexpression rgulire du langage L = L1 ( L2 partir des expressions rgulire de L1 et L2 nest pas aise. Par contre, il existe une mthode simple pour construire lintersection de deux automates dterministes A1 et A2. Un mot appartient deux automates dterministes A1 et A2 si on est capable de suivre dans les deux automates un chemin dcrivant ce mot de ltat initial un tat final. A1= (VT1, Q1, Q01, F1, (1) et A2= (VT2, Q2, Q02, F2, (2) w ( L(A) = L(A1 ( A2) si et seulement si: ( (q,q) ( F1 ( F2: ((q01,q02), w) (* ((q,q), () Le mot w appartient au langage reconnu par lautomate A sil existe un chemin de ltat initial un tat final qui dcrit ce mot la fois dans A1 et A2. La construction de A = A1 ( A2 consiste parcourir en parallle les deux automates, et ne retenir comme tat que les couples dtats atteignables la fois dans les deux automates. Un tat q du nouvel automate A sera final si les deux tats (q, q) issus de A1 et A2 sont finals. ( Exemple: Soit La2, le langage sur {a,b} compos de n a, ou n est un multiple de 2. Soit La3, le langage compos dune succession de n a, ou n est un multiple de 3. Quelle est lintersection de La2 et La3? R(La2) = b*(ab*ab*)* et R(La3) = b*(ab*ab*ab*)*   On obtient la table de transitions suivante: ab( 0(0,0)(1, 1)(0, 0)1(1, 1)(2, 2)(1, 1)2(2, 2)(1, 3)(2, 2)3(1, 3)(2, 1)(1, 3)4(2, 1)(1, 2)(2, 1)5(1, 2)(2, 3)(1, 2)( 6(2, 3)(1, 1)(2, 3) R(A) = b*(ab*ab*ab*ab*ab*ab*)* Il sagit du langage La6. ( (Dune faon gnrale, que peut-on dire de Lan ( Lam (n(1 et m(1)? Calculez galement La2 ( Lb2 et gnralisez vos rsultats. Rponses: A(La2 ( Lb2) 9 tats et reconnat les mots ou le nombre de a et le nombre de b sont pairs. Un automate Lan a n+1 tats. A(Lan ( Lbm) (m + 1)*(n + 1) tats. La dfinition fonctionnelle de A(La2 ( Lb2) est: V= {a, b} F = {6, 7, 8} Q0 = {0} Q = {0, 1, 2, 3, 4 5, 6, 7 ,8} ((0,a) = 1 ((0,b) = 2 ((1,a) = 3 ((1,b) = 5 ((2,a) = 5 ((2,b) = 4 ((3,a) = 1 ((3,b) = 7 ((4,a) = 6 ((4,b) = 2 ((5,a) = 7 ((5,b) = 6 ((6,a) = 8 ((6,b) = 5 ((7,a) = 5 ((7,b) = 8 ((8,a) = 6 ((8,b) = 7 ( (On appelle A((), la classe dautomates nacceptant aucun mot. Quelle est la proprit suffisante pour quun automate appartienne A((). Quelle proprit doivent vrifier les automates pour quelle soit aussi ncessaire? Montrer que cette classe dautomates rguliers est infinie. Montrer que quelque soit A, on a: A ( A ( A((). ( 6. Conclusion Nous avons introduit dans ce chapitre le concept dautomate tat finis rgulier. Ce type de machine abstraite est quivalent aux langages rguliers et aux expressions rgulires. Cependant, un certain nombre doprations de manipulation se font aisment sur les automates, ce qui nest pas ncessairement le cas sur les expressions rgulires. Exercices 1. Construisez lautomate dterministe qui accepte les mots sur V={a, b} tels que le nombre de a soit impair. Mme question avec un nombre de a pair. 2. Construisez lautomate dterministe qui accepte les mots sur V={a, b} tels que le nombre de a soit pair et le nombre de b pair. Mme question avec: a pair et b impair; a impair et b pair; et a et b impair. 3. Construisez les automates non-dterministe et dterministe qui accepte L dont les mots sur V={a, b, c, d} ne se terminant que par abc. Retrouvez partir de lautomate lexpression rgulire de ce langage. Mme questions avec L, L~, (L)~, (L~) et L ( (L)~ 4. Construisez systmatiquement lautomate partir des expressions rgulires suivantes: a. ((ab)*b*)* b. (abb*)* c. ((a*b)*b)* Essayez de rduire la taille des automates obtenus. Produisez des versions non-dterministes. 5. Construisez les automates des deux expressions rgulires suivantes: L1 = a*ba* et L2 = b*ab* Construisez lautomate de L = L1 ( L2. Retrouver R(L). 6. Dcrivez un algorithme qui permet de tester si le langage reconnu par un automate rgulier donn est vide, fini non vide, ou infini. 7. (Lemme de ltoile) Dmontrez que pour tout langage rgulier L, il existe un entier N tel que tout mot w de L de longueur |w| ( N admet une factorisation w=uxv avec 0 <|x|< N et vrifiant ux*v ( L. 8. Utilisez le lemme de ltoile pour prouver que les langages suivants ne sont pas rguliers: {anbn | n ( 0} {anbp |n(p(0} {anbn|n ( p} 9. Montrez prouver que les langages suivants ne sont pas rguliers: {a2n | n ( 1} {ap |p premier} {an!|| n ( 1} 10. Montrez que les deux automates suivants reconnaissent le mme langage: Construire lautomate dterministe reconnaissant le mme langage. Retrouver lexpression rgulire de ce langage partir de lautomate dterministe. Plus gnralement, montrer que les langages V*wVn, avec V={a, b}, n> 0 sont reconnu par au moins |w| + 1 automates non dterministe non isomorphes ayant strictement moins dtats que lautomate dterministe minimal de ce langage. 11. Soient deux automates A et A. On se propose de tester si ces deux automates sont quivalents, cest--dire quils reconnaissent le mme langage. Donnez une mthode base sur lopration dunion dautomates. 12. Dcrivez pour lautomate ci-dessous le langage L quil reconnat. Produisez son expression rgulire. Produisez un automate non-dterministe, plus petit (si possible). Peut-on produire un automate dterministe plus petit? 13. Soit lopration de diffrence (note \) dfinie sur les langages de la mme faon quelle est dfinie sur les ensembles (A \ B = A ( B). L \ L est lensemble des mots de L moins les mots de L. Expliquez pourquoi si L et L sont des langages rguliers, L \ L est bien un langage rgulier. En passant par les automates, expliquez comment on peut trouver L \ L. Appliquer votre mthode aux exemples suivants: (ab)*a \ a*(ba)* b*(ab*ab*)* \ a*b(ba*ba*)* Commentez. 14. La squence 527943001 est la liste des chiffres qui apparaissent dans les colonnes quand on pose laddition: 95 + 42 137 Nous avons rempli les colonnes avec des 0 si ncessaire. Construisez un automate qui accepte les squences qui correspondent des additions correctes et rejtent les autres. Une version plus simple, consiste construire lautomate pour les additions de nombres binaires uniquement. 15. Montrez que le langage sur V={a, b} ne contenant pas trois a de suite est rgulier. Construire les automates non-dterministes, dterministes et (au moins) une expression rgulire. 16. Montrez que si un automate dterministe A accepte un mot dont la longueur est suprieure au nombre dtats de A, alors A accepte un nombre infini de mots. 17. Trouvez une expression rgulire qui reprsente les langages suivants: (a + b*) ( (a + b)* a(a + b)* ( (a + b)*b (a + b)b(a + b)* ( b(a + b)* (ab)*(a + () ( (a + b)(ab)* 18. Montrez que si L est un langage rgulier qui ne contient pas (, alors L peut tre reconnu par un automate rgulier non-dterministe avec un seul tat dacceptation. 19. Construisez un automate A sur V = {a, b, c, d} qui reconnat un langage dont les mots ont les proprits suivantes: le sous-mot ab est toujours suivi de c, et le sous-mot ba est toujours suivi de d. 20. Construisez un automate A sur V = {a, b} qui reconnat un langage dont les mots ne contiennent jamais la sous-chane bab. 21. Soit X, Y ( V*. On dfinit XY-1 = {w | wy ( X pour y ( Y) Montrer que si X est rgulier alors XY-1 est rgulier. ( ( ( ( ( (  PAGE iv  PAGE iii  PAGE 3  PAGE 24 Chapitre 1 Vocabulaires, mots, langages  PAGE 25 J. Chauch & M. Lafourcade version doctobre 1998  PAGE 26 Chapitre 1 Vocabulaires, mots, langages  PAGE 27  PAGE 66 Chapitre 2 Automates detats finis et langages rguliers  PAGE 67 f V2* V1* L1 L2 V* L1 L2  L2 L1 (L1 ( L2) (L1 ( L2) q1 q2 q0 a b a b c a b c q1 a q3 q2 q0 b a 0 1 2 2 1 0 1 1 b 0 1 1 3 c b a b a q2 q1 q0 ( ( ( ( 0 0 0 0 q0 1 0 1 1 1 q1 0 + 1 0 ( q3 q2 0 + 1 q1 1 q0 3 2 A B C E D racine B A . B A + A * . 1 0 . a * + 1 . 1 . q3 0 ( + . 0 + * 1 0 q2 q0 a q1 q0 x q1 q0 ( ( q0 q1 q0 q0 ( q1 q1 c b q1 b a a q3 c a ( b q0 q2 q1 a F a b ( ( R1 R2 ( R1 q a a b q1 b c a q3 q2 q0 I ( ( I a a b q1 b c a q3 q2 q0 ( ( F ( R ab*a + (ab*c + ()b*(( + a) R1 R2 ( ( ( ( ( ( ( ( * b c q3 b . a + q2 b q5 q4 a q2 q1 c q8 q7 ( ( ( ( q9 c q7 q6 q8 * c * b c . a + b q1 a q0 q2 b q3 b a a b q1 b c a q3 q2 q0 a a b q1 b c a q3 q2 q0 a a b q1 b c a q2 q0 q3 a a b q1 b c a q3 q2 q0 b a q1 a q0 a a b b b b a a q0 b q1 b a q2 a q3 q3 a q2 c b q1 a q0 q3 a q2 b a + b q1 b q0 a b q0 a q1 a b q2 b q3 a a b b U V q0 S qf T q2 a +b q1 c a + b q3 a + b q0 a + b q0 a + b a + b q1 q2 a +b c q0 a +b q1 q0 q2 a + b c c c U qf S V T q0 S*U(T + VS*U)* ( s1 sm pn p1 s2 S2 U q P2 p2 R11 Rnm P1 P2 Pn Sm 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 q2 q1 q3 a +b 0 1 0 q0 q2 q1 0 + 10 ( 1(*1 q0 1 q3 q2 0 +10 q3 0 0 q0 0 1 11 1 q2 1(*0 0 q0 soit 0 1 11 1 q2 q3 0 q0 0 1 11 q2 q3 0 q0 0 + 10 1 1 + 01 00 0 + 10 q2 11 q0 0 q3 111*0 q0 11*0 0 + 10 a a c q2 b a a q5 q3 q0 b q4 b q1 q6 c a b b q2 a b q1 a q0 b b b q3 a q2 a q0 a 1 q1 a b q1 a a a b b b q3 a q2 a b b 0 q2 a q1 et q0 a q0 b b a 1 0 0 0 q2 q1 q3 1 1 q0 b a b a q3 a q2 b q1 a q0 a + b a + b q2 a q1 b q0 b b q3 a q2 b q1 a q0 b q5 b 1 q4 b b q3 a q2 b q1 a q0 c a + b a b q3 ( a + b q2 b q1 a q0 ( ( ( q9 q7 q6 q8 ( q5 . c b * q8 q6 q7 q9 ( ( ( ( c q5 ( a + q1 q2 ( ( a q0 ( ( b q4 b ( q3 q0 a ( ( q1 q2 q5 c q4 ( ( ( q9 b q3 ( q7 q6 q8 ( b q4 c ( c a c c a c ( ( b q4 ( q3 q0 a ( ( q1 q2 q5 c ( ( ( q9 q7 q6 q8 ( c b c a c q2 a b q4 ( q3 q0 a a + b c q1 q2 q5 c q0 (a + b) . 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