ࡱ> !Root EntryL99 :9l:: FT;W@8<Data,<<=<=0==0= >D?>D?dABWordDocumentBC0DD0DpDD|D0EDEObjectPoolGGH HHtIHDe;(LL  !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWZ[\]^_abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~ %&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~$Equation Native Z1Table120FYSummaryInformation(DocumentSummaryInformation8     xCompObj0FX0TablejCompObj]ObjInfoNativest q et que le symbole courant est x alors on remplace x avec la symbole y et le nouvel tat est q. ( (q, x) = (q, G) signifie si ltat courant est q et que le symbole courant est x alors on dplace la tte de lecture dune cellule vers la gauche et le nouvel tat est q. ( (q, x) = (q, D) signifie si ltat courant est q et que le symbole courant est x alors on dplace la tte de lecture dune cellule vers la droite et le nouvel tat est q. Un automate de Turing est dterministe dans la mesure o il y a une et une seule transition associe une paire dtat/symbole donne. On peut reprsenter graphiquement un automate de Turing de la manire suivant: ((((( En gnral, plutt que la reprsentation graphique ci-dessus, on utilise la notation allge suivante: ---(--- q La cellule sur laquelle se trouve la tte de lecture est souligne. Ltat est indiqu droite. Le tiret (-) indique que le contenu de la cellule est indfinie ou quelconque. partir de l'tat prcdent, on peut avoir trois nouvelles configurations: ---(--- q (q, (, q, D) ((q, () = (q, D)---(--- q (q, (, q, () ((q, () = (q, ()---(--- q (q, (, q, G) ((q, () = (q, G) Il sagit respectivement du dplacement droite, de lcriture dun symbole et du dplacement gauche. On remarquera quil nest pas possible de ne rien faire. Le rsultat le plus proche est de rcrire le symbole de la cellule o se trouve le pointeur. Comme tous automate dtats finis, il est possible de reprsenter graphiquement lautomate sous la forme dun diagramme de transitions. Soit par exemple, lautomate suivant:  Sa dfinition sous forme fonctionnelle est: V = {0, a, b} et q0 est initial, et q2 final 1 (q0, 0, q2, 0)2 (q0, a, q0, D)3 (q0, b, q1, D)4 (q1, 0, q2, 0)5 (q1, b, q1, D) Cet automate reconnat les mots de la forme a*b*. Toute autre forme arrtera en erreur lautomate, cest--dire quil naura pas trouv la bonne transition. Il est possible la dfinition des automates de Turing et de rajouter un tat derreur qe. Ainsi, tout automate de cette forme peut tre satur.  1 (q0, 0, q2, 0)2 (q0, a, q0, D)3 (q0, b, q1, D)4 (q1, 0, q2, 0)5 (q1, a, qe, a)6 (q1, b, q1, D) Soit par exemple, lautomate suivant:  Sa dfinition sous forme fonctionnelle est: V = {0, a, b} q0 initial, q2 final 1 (q0, 0, q2, 0)2 (q0, a, q0, b)3 (q0, b, q1, D)4 (q1, 0, q2, 0)5 (q1, a, q1, D)6 (q1, b, q1, a) Faisons fonctionner cet automate sur la bande: 0aaabba0: 0aaabb0 q00baabb0 q00baabb0 q10baabb0 q20bbabb0 q10bbabb0 q20bbabb0 q10bbbbb0 q10bbbbb0 q20bbbbb0 q20bbbab0 q20bbabbb0 q1 1.2. Reprsentation des nombres On considre ici que nous disposons du vocabulaire V = {0, 1}.  EMBED Equation.3  btons Ainsi on peut reprsenter le 0 avec un seul 1 (on parle parfois de bton): 0 ( 1 1 ( 11 2 ( 111 3 ( 1111 4 ( 11111 Les couples se reprsentent avec un 0 sparateur entre les deux entiers: (3, 5) ( 11110111111 Cette mthode peut tre gnralise tout n-uplet: (3,5,1,6) ( 1111011111101101111111 Quels sont les problmes qui peuvent poser la prsence dun nombre quelconque de 0 entre deux arguments. Quen est-il avec un codage o  EMBED Equation.3  btons ? ( Tout type de codage peut convenir sil est quivalent celui prsent ci-dessus. Fonctionnement et exemples sur des entiers On place sur la bande de donne la donne traiter: un entier ou un n-uplet dentiers. On fait ensuite fonctionner la machine, lorsquelle sarrte le rsultat est sur la bande. Faire fonctionner la machine consiste prendre la transition qui est applicable un moment donn. Il est impratif dexpliciter les conditions initiales. En gnral, on se trouve toujours sur le 1 le plus gauche de largument le plus gauche. De mme, il est ncessaire de prciser les conditions finales dsires. En gnral, on souhaite se trouver sur le 1, le plus gauche du rsultat. ( Soit par exemple, machine qui rajoute un 1 la fin de largument sur lequel le pointeur est plac ltat initial. Il sagit donc, de la machine qui incrmente de 1 lentier argument.  000111111000000 Programme: q0 initial, q2 final  Excution1 (q0, 1, q0, D)01110 q02 (q0, 0, q1, 1)01110 q03 (q1, 1, q1, G)01110 q04 (q1, 0, q2, D)01110 q1011110 q1011110 q1011110 q1011110 q1011110 q1011110 q2 La ligne 1 permet de passer tous les 1 vers la droite. La ligne 2 permet de rcrire en 1, le premier 0 rencontr aprs avoir pass les 1. La ligne 3 permet de passer tous les 1 vers la gauche. La ligne 4 permet partir du premier 0 gauche de tous les 1, de se dplacer dun cran droite, cest--dire sur la cellule de dpart. On remarquera que si le reste de la bande nest pas compltement blanc (largument mis part), le rsultat obtenu pourrait ne pas tre celui espr. Il en est de mme si les conditions initiales ne sont pas respectes. Par exemple: 011101111 ( 011111111 011101111 ( 011111111 ( ( Dans quel cas pourrait-on avoir que boucle. Peut-on crire un automate qui, partir dun tat initial quelconque, se mettre sur le 1 le plus gauche? Expliquez. ( Les conditions initiales standards, font en sorte que lautomate ignore se qui se passe gauche du largument sur lequel il est plac (avec le 0 gauche inclus). Ce rsultat est dterminant quand on souhaite composer des machines de Turing. ( Soit Taddition, lautomate de Turing implmentant laddition de deux entiers. N ( N ( N Principe: EMBED Equation.3  Il faut remplacer lunique 0 sparant les deux arguments par un 1 et liminer un 1 lune des extrmits (celle de droite). Programme Excution1 (q0, 1, q0, D)01110110 q02 (q0, 0, q1, 1)01110110 q03 (q1, 1, q1, D)01110110 q04 (q1, 0, q2, G)01110110 q05 (q2, 1, q3, 0)01111110 q16 (q3, 0, q4, G)01111110 q17 (q4, 1, q4, G)01111110 q18 (q4, 0, q5, D)01111110 q101111110 q201111100 q301111100 q401111100 q401111100 q401111100 q5 ( ( Implmenter lautomate de Turing quivalent celui ci-dessus sur le vocabulaire V={0, 1, *} o * est utilis comme sparateur des deux arguments. Principe: EMBED Equation.3 . Discutez. Idem si on accepte plusieurs 0 entre les deux arguments. ( Ce dernier exemple, complexe montrer quil est ncessaire de disposer dune mthode systmatique et non artisanale pour construire des automates de Turing. Les fonctions rcursives constituent un tel outil. Combinaisons dautomates de Turing Il est intressant de pouvoir combiner des automates de Turing afin den construire de plus grand de la mme faon quen gnie logiciel on combine des modules de programmes. Pour cela, il est utile Pour combiner les diagrammes de transition de plusieurs automates de Turing, pour obtenir un automate qui simule la combinaisons des machines dorigines, il Fonctions rcursives La machine de Turing permet de dfinir un procd de calcul. Nous avons vu que lon pouvait mcaniquement raliser les oprations lmentaires comme laddition, la multiplication, etc. La dfinition des fonctions rcursives permet de prciser la classe des fonctions calculables. La dfinition de cette classe seffectue de manire rcursive, cest--dire en dfinissant un ensemble restreint de base et des moyens dobtenir une nouvelle fonction laide dun schma. 2.1. Les fonctions de base Annulation Null(x) = 0  EMBED Equation.3  Successeur S(x) = x + 1  EMBED Equation.3  Projection  EMBED Equation.3  Par exemple:  EMBED Equation.3  Ce sont les seules fonctions de base dont nous avons besoin. Les schmas qui permettent dengendrer dautres fonctions sont au nombre de 2. 2.2. Substitution (composition gnralise) Soit deux fonctions f(x) et g(x). h(x) = f(g(x)) est dit tre obtenue par substitution. Plus gnralement, si f est une fonction m arguments f(x1, xm), il faut m fonctions n arguments g1(x1, xm), gm(x1, xm) afin de dfinir h: h(x1, xn) = f(g1(x1, xm), gm(x1, xm)) 2.3. Schma de rcursion primitive Le schma de rcursion primitive permet de dfinir une fonction par rcurence. Par exemple:  EMBED Equation.3  Calcul de Somme(3,2): Somme(3,2) = Somme (3, 1+1) = Somme (3, 1) + 1 = Somme (3, 0 + 1) +1 = Somme (3, 0 + 1) +1 = (Somme (3, 0) + 1) +1 = (Somme (3, 0) + 1) +1 = (3 + 1) +1 = (4) +1 = (4) +1 Pour avoir un schma gnral, il faut: 1 fonction avec 1 argument de moins; 1 fonction avec 1 argument de plus. Soit h(x1, xn-1) une fonction n-1 arguments et g(x1, xn, xn+1) une fonction n+1 arguments. Alors la fonction f n arguments est dfinie par le schma de rcursion primitive:  EMBED Equation.3  La somme devient alors:  EMBED Equation.3  Quelles fonctions h et g peut-on trouver afin que la dfinition de Somme corresponde sa dfinition par rcurrence? Il faut dabord avoir h(x) = x donc h(x) =  EMBED Equation.3 . Ensuite, il faut que g(x, y, Somme(x,y)) = Somme(x,y) + 1 = S(Somme(x,y)). Donc g(x,y,z) =  EMBED Equation.3 . Cette fonction est obtenue par substitution. Donc on obtient:  EMBED Equation.3  La classe des fonctions rcursives primitives est la plus petite classe des fonctions engendre par le schma de rcursion primitive, et contenant les fonctions de base. 3. Quelques fonctions rcursives primitives Somme(x, y) = x + y  EMBED Equation.3  Produit(x, y) = x *y  EMBED Equation.3  La fonction  EMBED Equation.3 est une fonction 3 arguments obtenue par substitution. Puissance(x, y) = xy  EMBED Equation.3  Factorielle(x) = x! = 1*2*3*4**(x-1)*x = EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  Dcrmentation(x) "(x) = EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  Soustraction  EMBED Equation.3  Cette soustraction est asymtrique.  EMBED Equation.3  Valeur absolue abs(x,y) = |x-y| =  EMBED Equation.3  Signe  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  On remarquera que Sg(x) = S(0) pour x > 0. Signe bar  EMBED Equation.3   EMBED Equation.3  On remarquera que  EMBED Equation.3 (0) = La caractristique des fonctions rcursives vient du fait quelles sont mcanisables et donc quelles reprsentent une classe calculable en machine. On peut facilement imaginer une machine de Turing qui ralise les fonctions de base et une machine qui partir de machines connues ralise les schmas de rcursion et de substitution. Ces fonctions ne sont pas trop complexes lorsque seulement un paramtre entre dans la rcursion. Elles sont appeles fonctions rcursives primitives. Lorsque lon dfinit un schma de rcursion o plusieurs paramtres entre en fonction, alors nous avons la classe des fonctions rcurives. Passage dune fonction rcursive un automate de Turing 6. Conclusion Nous avons introduit dans ce chapitre le concept dautomate tat finis rgulier. Ce type de machine abstraite est quivalent aux langages rguliers et aux expressions rgulires. Cependant, un certain nombre doprations de manipulation se font aisment sur les automates, ce qui nest pas ncessairement le cas sur les expressions rgulires. Exercices 1. Soit lautomate de Turing suivant: Quelle sera la configuration finale de lautomate aprs son excution partir des bandes suivantes: a) 0xxxx0 b) 0xxx0xxxx0 c) 0xxx00xxxx0 2. ( ( ( ( ( (  PAGE 14 Chapitre 2 Automates detats finis et langages rguliers  PAGE 15 q1 q0 b/D a/D 0/0 b/D b/D 0/0 q2 q1 a/D a/D qe b/D b/D a/D 0/0 q0 q2 0/0 b/D q1 0/0 a/D 0/0 b/c q2 q1 x/D 0/0 0/D 0/0 q0 x/D q2 q1 q0 q  EMBED Equation.3  q 78PQRn9v.R"#cdghjkIJOPTUXY]^ghQR^_ js>* jUmH js j j j j j j H*OJQJ jdH* jU jeCJCJmHCJ jCJUE Rn9v.Rn"$dL Rn9v.Rn"$%&L{ W 8 þ}xsnid_*CkRr~ ,c|"$%&L{ W 8 L 23rgVW$$( & Fu & Fu8 L 23rgVWþ|ung`YR                  _`((O(-(.(((((Du  u d$$Ff$$$$$~wpib[TMF                                                    LMFf/$$$LMZ[  YZhiwx}xqjc\UN - , - > - ? - M - N - \][-\-ij                      MZ[  YZhiwxZ$$l #/ <-$-_`mnxy}~z`aFG\]lm}~ j^EHU#j-: CJOJPJQJUVmH jUH* jUmHmH js>* jd js>*NZz{}xrmhc^YR       ;<\ -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  - Zz{./BCVWjkPPPPP-$ $$Lk $./BCVWjkl ¾xtmib^WS -  -  -  -  -  -   JKL - _ ` - s  t -   -   -  kl PPPPPP-$ $$Lk $FHIJKLMNOPQRĿyunjc_X -  -  -  -     (7defghijklmnp FHIJKLMNOPQRPPPPP-$ $$Lk $ Zijyz    Ľzvokd`XS  -   -  -  -  -  -  -   -    - ,- - <= - L M  - \ -  -  Zijyz  P@@@@@@@@@@-$$-$ $$Lk      !"#$%&'()I jD $$Lk -$$   !"#$%&'()I jb~ytohc^YT Py Qt  5   -    -    -     qrbcvwxy?SE F !!%!&!6!7!B!C!m!n!!!!!!!!!!!""""""#"3"4"}$~$$$$$$$$$$$$$$$X%Y%S&T&[&c& j4 j<>*H* jUmH j>6 j3 jhEHUjA.: OJPJQJUVmH jU jMbD E !!!!! ! !!!$$$$$$ & FvB & FyD E !!!!! ! !!!!!!!!!! !"!$!%!'!zsle^WSN                                )^v   ^P!!!!!!!! !"!$!$$$ $!%!'!(!)!420.$$Tl4d-] J z 8g%U'!(!)!5!J!K!L!M!W!X!k!y!z!!!!!!!!!!!!!!!"""yrng`\UN -  -  -  -  -  -  -  -  - + - >? - M - `a - o -             )!5!J!K!L!M!W!X!k!y!z!!!!!!!!!!!!!!!""@@@ $$Kk "-$ $$Lk "$""""" "!"/"0"1"?"@"A"##l$z${$$$$$X%Z%[%R&S&@@@- $$Kk "-$"""" "!"/"0"1"?"@"A"##l$z${$$$$$X%Z%[%R&S&&&&L'M'W'X'zupkfaZS     -7-()+-E-_`nLM -  -  -  -  -  -  S&&&&L'M'W'X'b'c'v'''''''''''' (((/(@(ߔ $$Kk "-$ $$Lk "$c&&&&&&&&&&&x'y'''''''((5(6([(\((((((((((((((())))))))))**~.........OJQJ jEHU#jƬ9 CJOJPJQJUVmH j3 jEHUj: OJPJQJUVmH j4 j<>* jB EHU#j: CJOJPJQJUVmH jU j j;X'b'c'v'''''''''''' (((/(@(A(T(e(f(y((((((ÿ{wpie^WS= - N - OP - a - tu -  -  -  -  -  -  -  -  -  - -. - ? - RS - d - wx  @(A(T(e(f(y(((((((((((((((((((((())LLLLLL-$ $$Kk "((((((((((((((((())))))*******+ü{vqlgbTO]v   ]- -  -  -  -  -  -  -  -  - ( - )* - ; - <)))))*******+a,v,/--K.f.....///) ( & F  & F & Fv-++S,V,W,`,a,v,/--K.f.....////00 1Y1111111212A2M2Y2}xsnid_Zo{ &=c) O*) ))(6(  (  (H   y6N  "............. / ///[0\0a0b00000000000000000000000000000g1h1{1|1}1~12222 j"EHU#j9 CJOJPJQJUVmHH* j[EHU#j9 CJOJPJQJUVmH jEHU#j9 CJOJPJQJUVmH jU jEHU#j9 CJOJPJQJUVmH://00 1Y1111111212A2M2Y222233333C44-5?5+(*$)Y222233333C44-5?5W5X56.6C6[6r666677X7p7d8f88880929}wrmhb]X  g   |   d+e+}++5+y+ !*9)((;)c!2223333 333"3D3F3333333333333n4o44444444444?5@5S5T5U5V5C6D6W6y j8EHU#j9 CJOJPJQJUVmH j25EHU#j9 CJOJPJQJUVmH j1EHU#j9 CJOJPJQJUVmH j-EHU#j9 CJOJPJQJUVmH jq'EHU#jL9 CJOJPJQJUVmH jUH*6-?5W5X56.6C6[6r666677X7p7d8f88880929b9d99999:d+W6X6Y6Z6r6s6666666666666667777@7A7T7U7V7W7X7Y7l7m7n7o74868\8{ib jSEHU#j?9 CJOJPJQJUVmH jPEHU#j*9 CJOJPJQJUVmH jKEHU#j?9 CJOJPJQJUVmHH* jGEHU#j19 CJOJPJQJUVmH jBEHU#j9 CJOJPJQJUVmH jU jP=EHU#j9 CJOJPJQJUVmH&\8^8`8b8f8h888888888882949Z9\9^9`999999999 : : ::::#:$:}vd#j9 CJOJPJQJUVmH jnEHU#jV9 CJOJPJQJUVmH jiEHU jbdEHU#jh9 CJOJPJQJUVmH jA`EHU#j9 CJOJPJQJUVmH j[EHU#j9 CJOJPJQJUVmH jU jWEHU#j9 CJOJPJQJUVmH%`. 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A!"#$% |,,  3 ;g{,,(d'` T}3u`#E8y%h`'<Kx}SMo@;]$˨Rq/HR8\{Xu֖w =q+Wp?vı/}3oz,k£EKGWU9CřSsTHsDL{u^pvuR RiǠ./)*@tLt]c=idP,MH#tƁ+Y)qhb& 2ض zqK`Yy'(r]m(nI0l!haBZEEIR]3H8u([ Y?!wjdEJoS&^9 DV",a}3l8>*m4#jA"H8Q"#UeQIRu +_6UTZk$S潲ۨJQڵvq40_vnH/ӛkY{'qIKcI.=I͇o y%5f,UTӪczM8u&4Mөg٭lsMls Qu-0 ^u::#Mu|=R@_~))o﷿`FzFE-Qڛb>"JFIFKKMSO Palette C   ")$+*($''-2@7-0=0''8L9=CEHIH+6OUNFT@GHEC !!E.'.EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE"!!1AQqa!1 ?F3]'IƓe5,J$3?O 5LXyYL4tO%fxM\DXL`: a2HS=rtd+f\UtV5m7L?cf7 `Zx5\kc ,CjbjbSS 11:V]twtwtw4x***hTr2(̇̇vc$,Ftẇ5?VṖtwwBx,x bXtw߀z*m $ Chapitre 4 Automates de Turing et fonctions rcursives TOC \o "1-3" \n \p " "  2.1 Automates d'tats finis Dfinition informelle Notations Reconnaissance d'un mot Dfinition formelle des automates finis dterministes Automates finis non-dterministe Automates avec (-transition quivalences d'automates 2.2 Transformation d'une expression rgulire en un automate Proprit Cas de base Rcurrence . limination des (-transitions 2.3 Transformation d'un automate en une expression rgulire Par rduction d'automates Par rsolution d'quations 2.4 Dterminisation et Minimisation Mthode de dterminisation Relation d'quivalence sur les langages rguliers 2.5 Autres oprations sur les automates Automate complmentaire Automate miroir Intersection de deux automates 2.6 Conclusion  Dans ce chapitre, nous prsentons et tudions la classe de machines abstraites que sont les automates tats finis rguliers. Ces automates sont strictement quivalents en puissance aux langages rguliers. Ils constituent le niveau le plus faible des machines et langages qui nous tudierons. Aprs avoir prsent les diffrentes variations possibles sur les automates rguliers, nous abordons, en dtail, la transformation dune expression rgulire vers un automate. Elle est prsente selon deux approches distinctes quoique strictement quivalentes: la rduction dautomates et la rsolution dquations. Certains problmes sur les expressions rgulires peuvent tre aisment rsolus en passant par les automates les reconnaissant. De faon similaire, nous prsentons ensuite la transformation inverse, dun automate en une expression rgulire. La dterminisation permet de passer dun automate non-dterministe, souvent facile trouver, son quivalent dterministe. Cette transformation se base sur la dfinition dune relation dquivalence sur les tats. Enfin, plusieurs oprations sur les automates sont introduites: intersection, complmentaire, image miroir. Ces oprations sont en gnral faciles sur les automates mais difficiles raliser sur les expressions rgulires. Automates de Turing La machine de Turing reprsente loutil formel dfinissant la puissance maximale dun calcul automatique. Dfinition et fonctionnement Lautomate de Turing est un automate dtats finis. Il est constitu dune bande infinie, on chaque cellule est initialis blanc. Le vocabulaire minimal pour travailler comporte deux symboles (en gnral V = {0, 1}). Plus la taille du vocabulaire est importante, plus la fonction de transition est simple pour un mme calcul ( un codage prs). Un automate de Turing est un quadruplet (V, Q, q0, qf, () o: V est le vocabulaire; par exemple V = {0,1} Q est un ensemble non vide dtats; il ne contient pas ltat final. q0 est ltat initial: q0 ( Q; qf est ltat final; ( est une fonction de transition de la forme (:(Q ( V) ( Q ( (V ( {G, D}). G et D nappartiennent pas V. La smantique de cette reprsentation fonctionnelle est la suivante: ( (q, x) = (q, y) signifie si ltat courant e29b9d99999:':R:S:u:::: <<-=.=0=1=j=k=l=m=n=o=p=~=>>>>>??}wrolhe`[%%k lm +   jjk r x p#$:%:&:]:^:q:r:s:t:u:v:::::::::::n=o=>>?????????????????????????~ 0JCJmH0JCJj0JCJU jn>* jUmH5:OJQJ jBEHU#j69 CJOJPJQJUVmH je{EHU#jY9 CJOJPJQJUVmH jwEHU#j9 CJOJPJQJUVmH jU jrEHU1:':R:S:u:::: <<-=.=0=1=j=k=l=m=n=o=p=~=>>>>>?%d????????@@@@@@@@@@@@@@@ @!@"@#@$@%@ X '%???????@@@@@@@@@@@@@@@ @!@"@#@$@%@&@'@(@)@*@+@,@-@.@/@0@1@2@3@4@5@6@7@8@9@:@;@<@=@>@?@@@A@B@C@D@E@F@G@H@I@J@K@L@M@N@O@P@Q@R@S@T@U@V@W@X@Y@Z@[@\@]@^@_@`@a@b@c@d@e@f@g@h@'''%^???@@ @ @@@@BBBBC C%C&C4C5CLCMCPCQC^C_CvCwCzC{CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 0JCJmH j\EHU#jh: CJOJPJQJUVmH jUCJH*0J:CJmH 0J:CJj0J:CJUCJ4%@&@'@(@)@*@+@,@-@.@/@0@1@2@3@4@5@6@7@8@9@:@;@<@=@>@?@@@A@B@B@C@D@E@F@G@H@I@J@K@L@M@N@O@P@Q@R@S@T@U@V@W@X@Y@Z@[@\@]@^@_@jCkCoCpCtCuCxCyC|C}CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC'/CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC$CCCCCCCCC ' (. A!"#$% 6 0 0/R . A!"#$% |,,  3 ;g{,,(d'`3 0/R . 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Ces automates sont strictement quivalents en puissance aux langages rguliers. Ils constituent le niveau le plus faible des machines et langages qui nous tudierons. Aprs avoir prsent les diffrentes variations possibles sur les automates rguliers, nous abordons, en dtail, la transformation dune expression rgulire vers un automate. Elle est prsente selon deux approches distinctes quoique strictement quivalentes: la rduction dautomates et la rsolution dquations. Certains problmes sur les expressions rgulires peuvent tre aisment rsolus en passant par les automates les reconnaissant. De faon similaire, nous prsentons ensuite la transformation inverse, dun automate en une expression rgulire. La dterminisation permet de passer dun automate non-dterministe, souvent facile trouver, son quivalent dterministe. Cette transformation se base sur la dfinition dune relation dquivalence sur les tats. Enfin, plusieurs oprations sur les automates sont introduites: intersection, complmentaire, image miroir. Ces oprations sont en gnral faciles sur les automates mais difficiles raliser sur les expressions rgulires. Automates de Turing La machine de Turing reprsente loutil formel dfinissant la puissance maximale dun calcul automatique. Dfinition et fonctionnement Lautomate de Turing est un automate dtats finis. Il est constitu dune bande infinie, on chaque cellule est initialis blanc. Le vocabulaire minimal pour travailler comporte deux symboles (en gnral V = {0, 1}). Plus la taille du vocabulaire est importante, plus la fonction de transition est simple pour un mme calcul ( un codage prs). Un automate de Turing est un quadruplet (V, Q, q0, qf, () o: V est le vocabulaire; par exemple V = {0,1} Q est un ensemble non vide dtats; il ne contient pas ltat final. q0 est ltat initial: q0 ( Q; qf est ltat final; ( est une fonction de transition de la forme (:(Q ( V) ( Q ( (V ( {G, D}). G et D nappartiennent pas V. La smantique de cette reprsentation fonctionnelle est la suivante: ( (q, x) = (q, y) signifie si ltat courant e29b9d99999:':R:S:u:::: <<-=.=0=1=j=k=l=m=n=o=p=~=>>>>>??}wrolhe`[%%k lm +   jjk r x p#$:%:&:]:^:q:r:s:t:u:v:::::::::::n=o=>>?????????????????????????~ 0JCJmH0JCJj0JCJU jn>* jUmH5:OJQJ jBEHU#j69 CJOJPJQJUVmH je{EHU#jY9 CJOJPJQJUVmH jwEHU#j9 CJOJPJQJUVmH jU jrEHU1:':R:S:u:::: <<-=.=0=1=j=k=l=m=n=o=p=~=>>>>>?%d????????@@@@@@@@@@@@@@@ @!@"@#@$@%@ X '%???????@@@@@@@@@@@@@@@ @!@"@#@$@%@&@'@(@)@*@+@,@-@.@/@0@1@2@3@4@5@6@7@8@9@:@;@<@=@>@?@@@A@B@C@D@E@F@G@H@I@J@K@L@M@N@O@P@Q@R@S@T@U@V@W@X@Y@Z@[@\@]@^@_@`@a@b@c@d@e@f@g@h@'''%^???@@ @ @@@@BBBBC C%C&C4C5CLCMCPCQC^C_CvCwCzC{CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC 0JCJmH j\EHU#jh: CJOJPJQJUVmH jUCJH*0J:CJmH 0J:CJj0J:CJUCJ7%@&@'@(@)@*@+@,@-@.@/@0@1@2@3@4@5@6@7@8@9@:@;@<@=@>@?@@@A@B@B@C@D@E@F@G@H@I@J@K@L@M@N@O@P@Q@R@S@T@U@V@W@X@Y@Z@[@\@]@^@_@jCkCoCpCtCuCxCyC|C}CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC'/CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC$CCCCCCCCC ' (. 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