Some trace monoids where both the star problem and the finite power problem are decidable
In I. Prívara, B. Rovan, and P. Ruzicka, editors, MFCS'94, volume 841 of Lecture Notes in Computer Science, pages 577-586. Springer Verlag, 1994. 

Abstract.
We address in this paper the decidability of the Star Problem in trace monoids (``Let X be a recognizable trace language, is L* recognizable ?'') and the decidability of the Finite Power Problem (``Let X be a recognizable trace language, does there exist an integer n such that X * = U i<= n Xi?''). We define a family F of free partially commutative monoids where both the Star Problem and the Finite Power Problem are decidable. The family F contains all the already known cases of decidability of the two problems.

Résumé.
Nous nous intéressons dans ce papier à la décidabilité du problème de l'étoile (étant donné un ensemble X reconnaissable de traces, est-ce que X * est reconnaissable) dans les monoïdes libres partiellement commutatifs. Nous nous intéressons aussi à la décidabilité du problème de la puissance finie (soit X un ensemble reconnaissable de traces, existe-t-il un entier k tel que X* = Ui<= nXi?''). On définit une famille F de monoïdes libres partiellement commutatifs dans lesquels le problème de l'étoile et le problème de la puissance finie sont décidables. La famille F contient tous les cas connus de décidabilité de ces deux problèmes.

@inproceedings{Ric1994,
  author = {Richomme, G.},
  title = {Some Trace Monoids where both the Star Problem and the Finite Power Problem are Decidable},
  booktitle = {MFCS'94},
  editor = {Pr\'{i}vara, I. and Rovan, B. and Ru\v{z}i\v{c}ka},
  pages = {577-586},
  year = {1994},
  volume = {841},
  series = {Lecture Notes in Computer Science},
  publisher = {Springer Verlag},
}